借助“一題多解” 發展數學思維

摘 要：“一題多解”是培養學生數學思維能力的重要途徑.基于此，筆者分析“一題多解”的價值，深入研究2023年蘇州中考數學第16題，從不同角度出發，給出試題的多種解法，旨在幫助學生靈活應用不同的方法分析問題和解決問題的能力，以此培養學生的數學思維能力.

關鍵詞：一題多解；直角三角形；構造；解法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0062-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：張新如（2001.4—），女，江蘇省淮安人，研究生在讀，從事數學教學研究.

中考是對學生學習成果的綜合檢驗，中考數學試題主要考查學生的數學知識、解決問題的能力、邏輯推理能力和數學思維能力.在數學教學中，教師經常強調唯一正確的答案和嚴謹的邏輯推導，但是在實際解題過程中常出現學生用不同方法解決同一道題目的情況，這正是數學中一個令人著迷的領域——“一題多解”.筆者以2023年蘇州中考數學第16題為例，從不同角度探尋問題的解法，以此提高學生分析問題和解決問題的能力.

1 幾何問題“一題多解”的價值

“一題多解”是指同一個問題可以有多種不同的解法.初中幾何問題的“一題多解”通常需從已知條件出發，根據圖形結構特征，作出不同的輔助線，建立已知條件與所求結論之間的邏輯關系，從而為解決問題創造有利條件［1］ .幾何問題“一題多解”有著重要的價值.在解題中，教師應鼓勵學生尋求“一題多解”，培養學生思維的靈活性和創造力，使學生能夠在面對問題時靈活運用所學知識尋找有效的解決方案.在尋求“一題多解”的過程中，學生能夠增強問題意識，有助于培養學生的批判性思維和分析能力，他們可以從不同角度審視問題，并提出更合理的解決方案.“一題多解”往往具有一定的挑戰性和創造性，通過解決多解題目，學生能夠感受到解決問題的成就感，從而更愿意投入到數學學習中去.

2 試題呈現

如圖1，∠BAC=90°，AB=AC=32，過點C作CD⊥BC，延長CB到E，使BE=13CD，連接AE，ED.若ED=2AE，則BE=_______.

3 試題分析

本題是一道以直角三角形為載體的幾何計算問題，題目簡潔明了，圖形一目了然.從圖形結構可以看出，雖然BE在直角三角形的一條直角邊上，但是并不能直接利用勾股定理得出結果. 在初中階段，解決線段長度問題有四大法寶——勾股定理、相似三角形、銳角函數和面積法［2］.在解決問題過程中，充分利用好這些法寶是解決本題的關鍵.

首先，從直觀圖形出發，圖1中有兩個直角三角形，其中一個是等腰直角三角形，故可以考慮利用其性質構造輔助線求解；其次，圖1中有兩個直角，可嘗試建立平面直角坐標系來解決問題.從所求線段來看，欲求線段BE的長，聯想到直角三角形的邊角關系，可利用三角函數求解.除此之外，還可構造出與線段BE相等的線段，故利用圖形變換求解.

4 解法探究

4.1 利用等腰直角三角形的性質列方程求解

解法1 如圖2，過點A作AF⊥CE于點F.

因為AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BE=CF=AF=3.設BE=x，則由BE=13CD得CD=3x.在Rt△CDE和Rt△AEF中，由勾股定理得

DE2=CE2+CD2=（x+6）2+9x2，AE2=AF2+EF2=32+（x+3）2.由DE=2AE得DE2=4AE2，所以x+62+9x2=432+（x+3）2，化簡得x2-2x-6=0，解得x=7+1或x=-7+1（不合題意，舍去），從而可知BE=7+1.

解法2 如圖3，過點E作EQ⊥CA，交CA的延長線于點Q.

設BE=x，AE=y，則CD=3x，ED=2y.因為AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，則CE=6+x.因為∠BAC=90°，AB=AC=32，所以△CQE是等腰直角三角形，所以QE=QC=22CE=32+22x，所以AQ=22x.在Rt△CDE和Rt△AEQ中，由勾股定理得（2y）2=（6+x）2+（3x）2，y2=（22）2+（32+22x）2，解得x=7+1（負根已舍去），即BE=7+1.

點評 這兩種解法的本質相同，都是利用等腰直角三角形的性質作出輔助線，找到已知線段與所求線段之間的數量關系，并運用勾股定理列方程求解.在解決幾何問題時，構造輔助線是解決的問題有效途徑，對學生創造性思維要求較高.

4.2 利用相似三角形和勾股定理列方程求解

解法3 如圖3， 過點E作EQ⊥CA的延長線于點Q.設BE=x，易證△ACB∽△QCE，則有ACQA=BCEB，所以QA=22x.在Rt△CDE和Rt△AEQ中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2=x+62+9x2，AE2=AQ2+EQ2=（22x）2+12（x+6）2.由DE=2AE得DE2=4AE2，化簡得x2-2x-6=0，易得x=7+1（負根已舍去），即BE=7+1.

點評 根據圖形結構特征，構造直角三角形，利用相似三角的性質和勾股定理，列方程求解也是處理線段長問題的最基本方法.這種解法與解法2構造輔助線的方法相同，但解題思路卻截然不同，同時掌握這兩種方法有助于培養學生的發散性思維.

4.3 利用旋轉變換構造等腰直角三角形求解

解法4 如圖4，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，則AE=AG，BE=CG.設BE=x=CG，AE=y=AG，則CD=3x，ED=2y，EG=2y.因為AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，則CE=6+x.在Rt△ECG和Rt△ECD中，由勾股定理得（2y）2=（6+x）2+（x）2，（2y）2=（6+x）2+（3x）2，易得x=7+1（負根已舍去），即BE=7+1.

點評 當幾何圖形中含有公共端點且長度相等的線段時，可以考慮借助圖形的旋轉變換，實現某些邊與角的轉移，使其集中在某一個特殊圖形中，然后借助特殊圖形的性質解決問題.

4.4 利用面積法求解

解法5 如圖5， 過點A作AM⊥CE于點M，過點E作EN⊥CA，交CA的延長線于點N.

由已知條件得AM=3，設BE=x，AE=y，則CD=3x，ED=2y.故S△ACE=12EC·AM=12AC·NE，求出NE長即可得出方程求解.易證△ACB∽△NCE，則有ACNA=BCEB，所以NA=22x.在Rt△ANE中，可得NE2=AE2-AN2=y2-12x2，所以（6+x）×3=32×y2-12x2，（x+6）2+（3x）2=（2y）2，解得x=7+1（負根已舍去），即BE=7+1.

點評 這種解法容易想到，但是求解過程中的計算量較大，涉及的知識點多，綜合運用了相似三角形的性質和勾股定理，需要學生有較強的數學邏輯思維能力，這對學生而言具有一定的難度.

4.5 利用三角函數和勾股定理求解

解法6 如圖1，根據已知條件， 因為AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，∠ACB=45°.設BE=x，則CD=3x，EC=EB+BC=x+6.因為CD⊥BC，所以ED2=EC2+CD2=x+62+3x2.因為ED=2AE，所以AE2=14ED2=14［x+62+3x2］.在△ACE中，AE2=AC2+CE2-2AC·CE·cos∠ACE，即14x+62+3x2=322+x+62-2×32×（x+6）×22，解得x=7+1（負根已舍去），即BE=7+1.

點評 這種方法在初中階段暫時還未學到，學有余力的學生可以嘗試學習并求解.利用余弦定理求解不需作任何輔助線，根據條件中的等腰直角三角形即可聯想到特殊角，而特殊角的三角函數值是特殊值，這是遇到特殊角度時常用的解題策略.

5 解題反思

從試題的解決過程可以看出，其核心是方程思想，即靈活運用相似三角形的性質、勾股定理、三角函數等知識列出相關方程，通過解方程最終解決問題.由此可以看出，解決三角形問題的思路和方法非常靈活，但其解法是有章可循的.在初中數學教學中，教師應引導學生跳出題海，尋找解決問題的通性通法，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.

6 結束語

在初中數學解題過程中，不同的解法對學生的思維要求也不同.“一題多解”，不僅能夠培養學生的創造性思維、邏輯思維、抽象思維和探索性思維，而且還能提高學生分析問題和解決問題的能力，提升其數學核心素養.

參考文獻：［1］ 蔣浩文，余志淵.借一題多解，助數學思維發展：以一道初中幾何題為例［J］.數學教學通訊，2022（20）：85-88.

［2］ 李加祿.聯想探究 延伸推廣：對2022年貴陽中考數學第16題的深層次思考［J］.初中數學教與學，2023（11）：24-26，42.

［責任編輯：李 璟］