線上線下混合式教學在初中數學教學中的應用

摘 要：信息技術背景下，線上線下混合式教學是一種教學方法，其融合了線下教學和在線教學的優勢.以“圓的對稱性”為例，探討線上線下混合式教學在初中數學教學中的應用.線上時，學生可以訪問多媒體教學資源和互動練習，以便更好地理解圓的對稱性概念；線下時，教師可以引導學生動手操作，并運用“圓的對稱性”分析問題和解決問題，強化學生的數學解題能力.

關鍵詞：混合式教學；初中數學；數學教學；圓的對稱性

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0020-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：季葉紅（1983.1—），女，江蘇省常熟人，本科，中學高級教師，從事初中數學教學研究.

隨著信息技術的發展和教學方式的不斷改進，線上線下混合式教學成為現代教育的重要趨勢.筆者以“圓的對稱性”為例，深入探討如何利用線上線下混合式教學，使學生深度理解所學知識，從而提高學生的學習效果，提升其數學核心素養.

1 線上線下混合式教學設計

1.1 線上預習環節教學設計

課前預習是混合式教學的關鍵環節之一.首先，教師在線上教學平臺提供教材和資源，這些資源可以隨時隨地訪問，學生能夠按需學習.其次，設計互動性強的在線學習任務，如在線測驗、討論板等，幫助學生鞏固知識，促使其主動參與學習過程.教師可以利用線上互動交流功能解答疑問、講解難點、實際演示等，引導學生更好地理解和應用他們在課前預習中學到的知識.最后，為評估學生的學習成果，教師可以利用在線測驗、作業和小組項目等方式進行定期評估，這有助于教師了解學生的學習進展，并及時調整線下教學策略，具體設計如下：

學習目標：理解圓的對稱性.

內容設計：①學習導入：借助移動設備為學生展示摩天輪圍繞軸心旋轉的動畫，提出問題：“摩天輪繞軸心旋轉180°后是否與初始位置重合？”以此導入新知識，激發學生對“圓的對稱性”有關知識的學習興趣.②概念理解：理解中心對稱和圓的對稱性，并給出與其有關的圖形，演示中心對稱的概念.③互動合作：學生參與在線討論，并回答問題.學生可以在論壇上互相回復，分享觀點和想法.④自我評估：學生完成在線自測，包括選擇題和簡答題，以測試對知識的理解程度.教師可以查看成績和正確答案，為接下來的課堂教學設計提供理論依據.

1.2 課中教學環節設計

在混合式教學中，線下課堂應側重于教學內容的重點和難點.基于此，在學習“圓的對稱性”時，設計以下教學內容，以此突破學習重點和難點.

1.2.1 利用問題探索圓的對稱性

問題1 在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間存在怎樣的關系？

設計意圖：設計此問題，旨在引導學生探索同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間的關系，培養學生的數學思維和問題解決能力.

問題2 在圓心角、弧、弦這三個量中，圓心角的大小可以用度數刻畫，弦的大小可以用長度刻畫，那么弧的大小如何刻畫？

設計意圖：在認識圓的對稱性的基礎上，進行擴展性學習，培養學生的數學思維能力.首先，引導學生思考：可以用“度數”刻畫圓心角的大小，用“長度”刻畫弦的長短，如何刻畫弧的大小？以此引導學生感受引入“弧度”的必要性.為此，教師引導學生理解同圓中圓心角與其對應的弧之間的關系，讓學生從中理解“弧度”的概念.在教學過程中，教師可借助信息技術將整個圓等分成360份，1度的圓心角對應1度的弧.由此讓學生認識到，一條弧的大小可以利用“度數”刻畫.需要強調的是，圓心角與其對應弧的“度數”雖然相等，但它們屬于不同的圖形，不能直接視為相等.另外，度數相等的弧不一定是等弧.通過此問題，學生不但能夠認識刻畫弧的大小的方法，而且能夠理解圓心角和弧之間的關系.

1.2.2 利用易錯問題突破重點和難點

問題3 如圖1，⊙O的直徑為10，AB=8，P是弦AB上的一點，若OP的長度為整數，則滿足條件的點P有（ ）個.

A.2 B.3 C.4 D.5

學生思考：如圖1，過點O作OM⊥AB，垂足為M，連接OA，OB.根據垂徑定理可得AM=BM=4.在Rt△AOM中，根據勾股定理可得OM=OA2-AM2=52-42=3.從而3≤OP≤5，由此可知長度為整數的線段OP有3個，即OP=3或4或5，故選B.

教師點評：解題過程正確，但答案錯誤，因為遺漏了圓的軸對稱性，正確答案應為5個，故選D.

問題4 如圖3所示，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=3，過點P的弦中長度為整數的有（ ）條.

A.2 B.3 C.4 D.5

學生思考：設過點P的弦長為x.如圖2，過點P的最長弦為AB，最短弦為MN，且垂直于OP.連接OM，在Rt△MOP中，因為OP=3，MP=4，所以OM=OP2+PM2=32+42=5，所以AB=10.由垂徑定理可得MN=8.因此8≤x≤10，所以x=8或9或10，從而得出答案為3條，故選B.

教師點評：由圓的軸對稱性可知，過點P且長度為9的弦有兩條，故正確答案為4條，選C.

設計意圖：這兩個問題為學生提供了練習的機會，幫助其鞏固解題圓的對稱性.通過漏解不但能夠強調圓的對稱性在幾何計算中的重要性，而且還能加深學生對圓的對稱性的理解.錯題反思可幫助學生提高運用所學知識分析問題和解決問題的能力，降低解題的錯誤率，提升其數學核心素養［1］.

問題5 如圖3所示，AM為⊙O直徑，過點B作BN⊥AM，垂足為N，延長線交⊙O于C，弦CD交AM于點E.如果弦CD交AB于點F，且CD=AB.求證：CE2=EF·ED.

解析 如圖3，連接AC，BD，BE.因為AM為⊙O直徑，BN⊥AM，所以點B與點C點關于AM對稱，從而BE=CE.只需證明△BEF∽△DEB，即可得出CE2=EF·ED.因為∠EBF與∠ECA關于AM對稱，所以∠EBF=∠ECA.又∠ECA=∠DBF，所以∠DBF=∠EBF.由CD=AB易知AD=BC，所以∠BDE=∠DBF，所以∠EBF=∠BDE.又因為∠BEF=∠DEB，所以△BEF∽△DEB，從而可得EFBE=BEED，所以BE2=EF·ED，所以CE2=EF·ED.

變式 如果弦CD、AB的延長線交于點F，且CD=AB，那么問題5中的結論是否仍然成立？

解析 如圖4所示，連接AC，BD， BE.因為點B與點C關于AM對稱，所以BE=CE.令∠ACB=α，∠BCF=β，則∠ABC=α，∠CBE=β.由CD=AB易知AB=CD，所以∠CBD=∠ACB=α，所以∠DBE=α-β.又因為∠ABC=∠F+∠BCF，所以∠F=∠ABC-∠BCF=α-β，所以∠DBE=∠F，又因為∠BEF=∠DEB，所以△BEF∽△DEB，從而可知問題5中的結論仍成立.

設計意圖：對典型問題進行分析，能夠幫助學生更加清晰地理解相關問題的求解思路，并通過問題變式，引導學生靈活運用所學知識解決復雜問題，從而提高學生分析問題和解決問題的能力.

1.3 線上復習教學設計

相比傳統線下復習教學，線上課后復習更具有針對性.教師可依托線上教學平臺，構建智慧化復習體系，讓不同學生都能獲取自身需要的復習內容，從而提高復習效果［2］.以“圓的對稱性”為例，教師可將課堂知識進行模塊化分解，設計為層次化習題，讓學生能根據自身學習情況挑選復習內容.

問題6 在兩張透明紙上，分別作兩個半徑相等的圓⊙O和⊙O′，沿著圓周，將兩個圓剪下來，在圓⊙O和⊙O′上分別作圓心角∠AOB和∠A′O′B′，使∠AOB=∠A′O′B′，并固定圓心不動.

（1）在作∠AOB和∠A′O′B′時，為什么要確保OA與O′A′的方向一致，OB與O′B′的方向一致？

（2）驗證圓心角定理時，為什么需要旋轉其中一個圓，使OA與O′A′重合？

（3）當OA與O′A′重合時，你能得到什么結論？

2 線上線下混合式教學反思

2.1 設計問題串，引導學生深度學習

在初中數學教學中，創設問題串是一種重要的教學策略.在設計問題串時，教師需根據教學內容和學生實際情況進行設計，以確保實現教學目標.首先，問題串應從相對簡單的問題開始，逐漸增加難度，以適應不同學生的學習需求.在“圓的對稱性”教學中，教師可從最簡單的問題入手設計問題.例如，尋找圓上的對稱點，然后，教師可利用問題串引導學生思考更復雜的問題.其次，問題串應涵蓋多個知識點.在學習“圓的對稱性”時，問題串可以包括對稱圖形的性質、對稱軸的特征、對稱點的特征等，使學生全面理解有關概念，提高教學效果.

2.2 強化教學設計，實現線上線下教學有效聯動

為提升初中數學教學效果，教師需強化教學設計整體布局，實現線上線下教學的有效聯動，提高學生的學習效果.一是教學內容銜接方面，教師要確保線上和線下教學環節緊密銜接；二是學習目標設計方面，教師確保線上和線下教學目標的一致性.這有助于學生明確學習目標，并增強教學活動的針對性.

3 結束語

在初中數學教學中，線上線下混合式教學有助于學生更好地理解和應用數學知識.為進一步提升混合式教學效果，教師需精心設計教學過程，及時反思教學效果.通過持續探索和改進，為學生提供更豐富、更靈活、更有深度的數學學習體驗.

參考文獻：［1］ 張閩.以圓的對稱性貫穿平面三角運算教學［J］.數學教學，2022（5）：7-11，6.

［2］ 孫凱.遞進式問題鏈的教學設計與思考：以蘇科版“圓的對稱性（1）”為例［J］.數學通訊，2022（5）：10-12.

［責任編輯：李 璟］