“怎樣解題表”用于添加輔助線的教學實踐

摘 要：在初中數(shù)學學習中，經(jīng)常出現(xiàn)學生對數(shù)學知識理解不深刻的現(xiàn)象，嚴重影響數(shù)學教學質(zhì)量的提高.基于此，筆者依據(jù)波利亞“怎樣解題表”，設計了兩道難度遞進的幾何證明題的教學過程.在教師的引導下，學生展開有效思考，適時進行多次回顧總結(jié)，在經(jīng)歷“坍塌又重建”的過程后，扎實積累“根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，適當添加輔助線”的解題經(jīng)驗，幫助學生加深對所學知識的理解.

關鍵詞：怎樣解題表；初中數(shù)學；幾何證明題；輔助線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0023-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：江瑜琪（1999.5—），男，浙江省寧波人，湖州師范學院研究生（在讀），從事中學數(shù)學教學研究.

波利亞認為，教師要教給學生的不單單是知識本身，最重要的是要教會學生思考及怎樣思考［1］.在日常教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學生學習停留于知識表面.究其原因，是其明所為，亦不明何為.數(shù)學教學的關鍵在于引導學生展開有效思考［2］.“怎樣解題表”是《怎樣解題》的核心內(nèi)容，將解題過程分為“理解問題、擬訂計劃、執(zhí)行計劃、檢驗回顧”四個步驟［3］.筆者計劃在一堂專題課上，依據(jù)“怎樣解題表”完成兩道由易到難的幾何證明題的教學，通過適時回顧總結(jié)，促進學生展開有效思考，深刻理解知識間的聯(lián)系，幫助學生積累解題經(jīng)驗.

1 建于基礎，隱于深處

例1 如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線，G是CE的中點，連接DG，CD=AE，CE與AD交于點F.求證：DG⊥CE.

1.1 理解題目

在教學過程中，教師需預留一定時間讓學生讀題思考，尋找題目的未知量.此題需證明DG⊥CE，可將已知條件進行分類，其中“AD是BC邊上LcTcUa+nO5uuaEmKazekaw==的高”“CE是AB邊上的中線”“G是CE的中點”這三個條件可以歸為一類，都與“三線合一”有關，“CD=AE”可以歸為一類.

1.2 擬訂方案

閱讀題目后，學生已能夠?qū)σ徊糠趾唵螚l件進行轉(zhuǎn)化.例如，“AD是BC邊上的高”意味著“△ABD與△ADC是直角三角形”；“CE是AB邊上的中線”意味著“點E是邊AB的中點”；“G是CE的中點”意味著“DG是邊CE上的中線”.對于條件“CD=AE”，學生短時間內(nèi)無法將其合理轉(zhuǎn)化應用，教師應在此處展開相應的引導.在講解過程中，師生都應明確需“將所有的條件進行串聯(lián)”，那么如何串聯(lián)成為教學重點，教師可以設計問題串：“CD=AE”對于結(jié)果的證明有何幫助？如何將該條件與其余條件進行聯(lián)系？具體怎么操作呢？

本題需要證明線與線之間的垂直關系，對于八年級的學生而言，關于直線垂直關系證明的知識儲備較為有限，教師可以引導學生從“三線合一”入手，據(jù)此找出對應的等腰三角形.

根據(jù)圖形特征，圖1中并沒有等腰三角形，教師在此處可提出問題：根據(jù)哪些條件能夠構(gòu)造等腰三角形？如何運用已知條件構(gòu)造等腰三角形？由此，學生再一次閱讀題目，并進行深入思考.部分學生會發(fā)現(xiàn)，已知條件中還有一條高線，并且能夠意識到需要“添加輔助線”解決問題，如圖2所示.

1.3 執(zhí)行方案

方案擬訂后，教師還需帶領學生驗證方案的可行性.對于本方案，在擬定過程后，思路已經(jīng)明確，因此在講解中，教師可以適當加快速度，并進行板書.連接DE后，由“AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線”可得△ABD是直角三角形，且AE=EB=ED.結(jié)合已知的“CD=AE”，通過等量代換，可以得到DE與CD之間的相等關系，由此判斷△DEC為等腰三角形，聯(lián)系“三線合一”，也就能夠得到DG⊥CE，從而完成本題的證明.

1.4 回顧全程

在解答證明題時，若正向思考行不通，則需及時考慮逆向推導.解答此題前，學生在七年級學習了與平行線相關的輔助線添加方式.近期在學習三角形的相關內(nèi)容中，接觸了作高線、角平分線、中線等輔助線的方法，但總體上對“輔助線”的添加不熟練.推導過程中，若學生能意識到已知條件之所以無法串聯(lián)，是“橋梁”缺失造成的，便可探究如何有依據(jù)地創(chuàng)建“橋梁”，憑空捏造的臆想難以支撐，“公理、定義、基本事實”等方為砥柱.

2 立于新穎，匿于創(chuàng)生

當學生面對更為復雜的問題時，例1的解題流程是否適用？需學生具備哪些能力？教師又應如何基于“怎樣解題表”引導學生積累添加輔助線的經(jīng)驗？為此，筆者展示另一道幾何證明題進行闡述.

例2 若點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN三部分，且以AM，MN和BN為邊的三角形是直角三角形，則稱M，N是線段AB的“勾股分割點”.如圖3，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，點M，N在斜邊AB上，且∠MCN=45°.求證：M，N是線段AB的“勾股分割點”.

2.1 理解題目

通過閱讀，學生可將已知條件“∠BCA=90°”與“AC=BC”歸為一類，由此可得出△ABC為等腰直角三角形；再將“∠MCN=45°”歸為一類.

2.2 初次擬訂方案

從結(jié)果出發(fā)，要證明M，N是線段AB的“勾股分割點”，此處有兩個思路可供參考：一是將三條線段轉(zhuǎn)化至同一個三角形中，通過證明由這三條線段組成的三角形是直角三角形，得出M，N是“勾股分割點”；二是通過代數(shù)的方法得出AM2，MN2，NB2三者的關系，若能得出兩者之和等于第三者，即證M，N為“勾股分割點”.閱讀完題目中的剩余條件，發(fā)現(xiàn)沒有任何數(shù)據(jù)信息，否定第二條思路，教師應引導學生探索第一條思路.

假定學生根據(jù)結(jié)論思考，結(jié)合新定義，會認為高線的添加更具有合理性.教師通過這條線索，假設學生提出“過點M作線段CN的高線，垂足為E”的想法，若沒有學生提出，則教師自行陳述引導，作出該條輔助線，如圖4所示，并向?qū)W生提問：“∠MCN=45°要怎么用進去呢？”有學生也許會搶答：“△MEC為等腰直角三角形.”這位學生的回答嘗試將∠MCN進行應用，但很快被其他學生否定了.雖然△MEC為等腰直角三角形，但這一條件并不能將AM、MN、NB三邊聯(lián)系在一起，初次擬訂方案失敗.

2.3 再次擬訂方案

師生在構(gòu)思初次方案的過程中，發(fā)現(xiàn)該方案并不能串聯(lián)題中的所有條件，那么通往結(jié)果的“橋梁”就無法創(chuàng)建.由于學生添加輔助線的經(jīng)驗不足，大部分學生對于“垂線”的執(zhí)念較深，那么順著“作垂線”的想法，教師可帶領學生繼續(xù)嘗試，如圖5所示.

在解答此題之前，學生已掌握了“旋轉(zhuǎn)”和“對稱”的相關知識，但無法將兩者應用至幾何證明題的解答中，教師應點撥學生探索新的輔助線作法.已知條件“∠MCN=45°”的運用一定是解答本題的關鍵，也是將“AM，MN，NB”三邊轉(zhuǎn)化至一個三角形中的關鍵.易發(fā)現(xiàn)隱藏條件“∠ACM+∠NCB=45°”，那么如何添加輔助，能夠?qū)⑦@兩角合二為一，成為證明結(jié)論的必備條件.由于△ABC是等腰三角形，可得CA=CB.結(jié)合以上兩點，教師可引導學生將△CNB繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直至CB與CA重合，可得到新△ACD，如圖6所示.

2.4 實施方案

在△ACD中，AD=NB，據(jù)此可建立NB與AM之間的關系，此條件也與之前的初步思路相吻合，目前只剩下MN并未與兩邊相結(jié)合.學生能夠發(fā)現(xiàn)∠MCN=∠MCD，并且CD=CN，而CM為公共邊，連接DM，易得△CDM≌△CMN，從而將MN化為DM，如圖7所示.至此，三條線段都在△ADM中，而∠MAD=∠MAC+∠DAC=90°，易證結(jié)論成立.

2.5 探索新方案

學生運用旋轉(zhuǎn)完成了例2的證明.教師繼續(xù)提出問題：能否利用“對稱”證明呢？∠ACM+∠NCB=45°，能否對∠MCN進行拆解呢？有了之前證明的鋪墊，學生思路隨之打開，既然能將△CNB進行旋轉(zhuǎn)，同樣也能以直線CN為對稱軸，將△CNB進行對稱變換，得到新△CNG，而NG=NB，實現(xiàn)了初步的轉(zhuǎn)化.還有一邊如何轉(zhuǎn)化？教師將問題拋給學生，根據(jù)證明三角形全等的思路，連接MG，因為∠ACM+∠NCB=45°，那么∠ACM=∠GCM，前者通過角的相加得到全等，后者通過角的相減得到△AMC≌△CMG，從而AM=MG，且∠MGN=90°，易證結(jié)論成立.

2.6 回顧反思

完成證明后，教師應點明新的輔助線作法——旋轉(zhuǎn)、對稱，讓學生明白輔助線不僅僅局限于作高線、角平分線、中線，突破學生的固有的知識框架.

結(jié)合例1，逆向推導的方式仍舊適用，但兩題相對比，例2串聯(lián)結(jié)論與已知條件的“橋梁”跨度更大，構(gòu)造的難度隨之遞增.同樣，例1的構(gòu)造是建立在“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的基礎上，例2則是依托于勾股定理，兩題的底層邏輯一致，但后者的靈活性更強，需要學生有更為扎實的基礎知識.學生在日后遇到類似問題時，須不斷嘗試探索，不斷完善自身的知識結(jié)構(gòu)，從而積累“根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，適當添加輔助線”的解題經(jīng)驗.

3 結(jié)束語

在問題解決過程中，學生通過經(jīng)歷“坍塌又重建”的過程，積累了更為豐富的經(jīng)驗，這可助力其構(gòu)建更為完整的知識體系.在初中數(shù)學解題教學中，教師應引導學生學會思考，培養(yǎng)其邏輯思維能力，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：［1］ 閆惠澤.基于波利亞解題思想的高中數(shù)學公式的教學研究［D］.大連：遼寧師范大學，2020.

［2］ 李晶.例談波利亞“怎樣解題”表在初中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)學教學通訊，2011（6）：20-22.

［3］ G·波利亞.怎樣解題［M］.閆育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

［責任編輯：李 璟］