一道“非對稱”二元最值題的解法探究

在強基或競賽中，二元條件最值試題是熱點題型，這類問題結構形式情形復雜，題型多樣，綜合性強，是對學生能力要求較高的一類試題.

本文對一道“非對稱”結構的二元條件最值題的解法的進行探究.

1.試題呈現

（中學生標準學術能力診斷性測試2024年1月測試第8題） 已知x，y>0，x3+y3-14x-14y=3，則13x+y的最大值是（ ）.

A.15 B.18 C.20 D.24

2.解法探析

分析1：將已知條件中的方程變形化為關于x，y的同構式，構造函數結合導數求解.

解法1：由x3+y3-14x-14y=3，得x3-14x-32=-（y3-14y-32）.

令φ（x）=x3-14x-32（x>0），則有φ（x）=-φ（y）.又φ′（x）=3x2-14，所以令φ′（x）=0，得x=112=36.當0<x<36時，φ（x）<0；當x>36時，φ（x）>0，所以φ（x）在（0，36）上單調遞減，在（36，+∞）上單調遞增.由于φ（x）+32=x3-14x，又φ（0）=φ（12）=φ（32）=-32，因此φ（x）=-φ（y）的解為x=12，y=32，或x=32，y=12.易知當x=32，y=12時，13x+y取得最大值20.故選C.

分析2：將已知條件中的方程移項、分解因式，從使得方程成立的一組特殊值入手，利用三元均值不等式和不等式性質進行放縮、配湊轉化求解.

解析2：因為x3+y3-14x-14y=3，所以x3-14x-3=-y3+14y，即4x3-x-12=-4y3+y，所以（2x-3）（2x2+3x+4）=y（1-2y）（1+2y）.由于當x=32時，y=12，因此由三元均值不等式得x3+（32）3+（32）3≥33x3·（32）3·（323=274x，所以4x3+27≥3y①. 同理y3+（12）3+（12）3≥33y3·（12）3·（123=34y，所以4y3+1≥3y②.

由①+②，得4（x3+y3）+28≥27x+3y，所以4（x3+y3）-x-y=28≥26x+2y，所以4×（14x+14y+3）-x-y+28≥26x+2y，即（x+y）+12-x-y+28≥26x+2y，所以40≥26x+2y，即13x+y≥20，當且僅當x=32，y=12時取等號.所以13x+y取得最大值20.故選C.

分析3： 已知條件給出的是關于x，y的三次對稱方程，而待求式子是關于x，y的非對稱一次式，根據這一“差異”，需要把x3向x“靠攏”變形、且把y3向y“靠攏”變形，且變形整理后達到待求式子的系數要求，于是考慮運用三元均值不等式“待定”求解.

解析3：設m，n>0，則x3+m3+m3≥33x3·m3·m3=3m2x，y3+n3+n3≥y3·n3·n3=3n2y，當且僅當x=m，y=n時上述等號成立.所以3=x3+y3-14x-14y≥（3m2x-m3-m3）+（3n2y-n3-n3）-14-14y=（3m2-14）x+（3n2-14）y-2m3-2n3.與待求式子的系數對比，且保證不等式等號成立，則令3m2-1413=3n2-141，m3+n3-14m-14n=3，解得m=32，n=12.所以代入3≥（3m2-14y-2m3-2n3中，得3≥13x+y2-7，所以13x+y≥20，當且僅當x=32，y=12時取等號.所以13x+y取得最大值20.故選C.

分析4：尋求當x，y分別為什么值時，13x+y可能取得最大值是求解的難點和關鍵.因此將立方和公式的變形x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=（x+y）［（x+y）2-3xy］及極化配方公式xy=（x+y）2-（x-y）24代入已知條件方程的左邊，轉化為只含有x+y與x-y的一個等式，這樣易于觀察求解.然后進行配方，先把x3+y3配方成x（x-32）2與y（y-12）2的形式，再將前面出現的3x2與y2項，配方成3（x-12）2與（y-12）2的形式，最后整理出現13x+y的形式從求解.

解析4：因為x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=（x+y）［（x+y）2-3xy］及配方公式xy=（x+y）2-（x-y）24，所以代入x3+y3-14x-14y=3，得（x+y）［（x+y）2-3×（x+y）2-（x-y）24］-14（x+y）=3，所以（x+y）3+3（x+y）（x-y）2-（x+y）=12.

觀察、分析得當x-y=1，x+y=2時，23+3×2×1-2=12成立，此時x=32，y=12.所以x（x-32）2+y（y-12）2=x3+y3+94x-3x2+14y-y2.又3（x-32）2=3x2-9x+274，（y-12）2=y2-y+14，上述三式相加，得（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2=x3+y3-274x-34y+7，所以x3+y3-14x-14y=（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2-14+274x-14y-34y-7=（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2+13x+y2-7=3.

故已知條件方程可化為（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2+13x+y2=10.

因為（x+3）（x-32）2+（y+1）（y-12）2≥0，所以13x+y2≤0，所以13x+y≤20，當且僅當x=32，y=12時取等號.所以13x+y取得最大值20.故選C.

3.結語

以上對一道“非對稱”結構的二元條件最值題的解法從四個不同角度進行了探究，從中可得到兩點啟示：一是注重知識的縱向探索，對某個知識塊在形式上不斷變化，探究其一般處理方法；二是注重知識的橫向聯系，對多個知識塊探究其交匯聯結，培養學生的觀察能力和發散思維.