采用改進(jìn)最大相關(guān)熵自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波算法的鋰離子電池荷電狀態(tài)估計(jì)

摘要：針對非高斯噪聲干擾下傳統(tǒng)濾波算法在估計(jì)鋰離子電池荷電狀態(tài)（SOC）時(shí)存在不穩(wěn)定以及精度低的問題，提出一種改進(jìn)的最大相關(guān)熵自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波（IMCC-AICKF）算法，用于估計(jì)鋰離子電池荷電狀態(tài)。所提算法將加權(quán)最小二乘方法與最大相關(guān)熵準(zhǔn)則（MCC）相結(jié)合，定義了一種新的代價(jià)權(quán)函數(shù)作為優(yōu)化準(zhǔn)則，通過優(yōu)化噪聲最小協(xié)方差矩陣來減小濾波誤差，保證長時(shí)間濾波的收斂性和穩(wěn)定性；再與自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波（AICKF）算法相結(jié)合，對過程噪聲協(xié)方差和測量噪聲協(xié)方差進(jìn)行更新來提高估計(jì)的準(zhǔn)確性和魯棒性?；趦煞N電池?cái)?shù)據(jù)，在非高斯噪聲干擾下，運(yùn)用所提算法對電池SOC進(jìn)行估計(jì)，仿真結(jié)果表明：與容積卡爾曼濾波（CKF）算法和最大相關(guān)熵容積卡爾曼濾波（IMCC-CKF）算法相比，IMCC-AICKF算法對荷電狀態(tài)估計(jì)的最大絕對誤差、平均絕對誤差和均方根誤差都是最小的，且平均絕對誤差和均方根誤差均小于1%；在給定初始值錯(cuò)誤的情況下，IMCC-AICKF算法可以準(zhǔn)確收斂到真實(shí)值，具有較好的魯棒性。所提算法在非高斯噪聲下能實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的估計(jì)，是一種估計(jì)精度高且魯棒性好的SOC估計(jì)方法。

關(guān)鍵詞：荷電狀態(tài)估計(jì)；最大相關(guān)熵準(zhǔn)則；容積卡爾曼濾波；非高斯噪聲；魯棒性

中圖分類號(hào)：TM912 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202411005 文章編號(hào)：0253-987X（2024）11-0052-13

Estimation of Lithium-Ion Battery State of Charge Using an Innovation

Maximum Correlation-Entropy Criterion Adaptive Iterative Cubature Kalman Filter Algorithm

WU Chunling¹， ZHAO Yubing¹， MA Yao¹， ZHANG Yong¹， MENG Jinhao²

（1. School of Energy and Electrical Engineering， Chang’an University， Xi’an 710064， China;2. School of Electrical Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：In response to the issues of instability and low accuracy in estimating the state of charge （SOC） of lithium-ion batteries under non-Gaussian noise interference traditional filtering algorithms， an innovation maximum correlation-entropy criterion adaptive iterated cubature Kalman filtering algorithm （IMCC-AICKF） is proposed for SOC estimation of lithium-ion batteries. The proposed algorithm combines the weighted least squares method with the maximum correlation-entropy criterion （MCC） to define a new cost-weight function as the optimization criterion. This approach aids in reducing filtering errors by optimizing the minimum noise covariance matrix to reduce filtering errors and stability of long-term filtering. Subsequently， by integrating with the adaptive iterative covariance Kalman filter （AICKF）， the process noise covariances and measurement noise covariances are updated to enhance estimation accuracy and robustness. Based on two sets of battery data and under non-Gaussian noise interference， the proposed algorithm is applied to estimate the SOC of the batteries. The simulation results demonstrate that compared to cubature Kalman filtering （CKF） and innovation maximum correlation-entropy criterion cubature Kalman filtering （IMCC-CKF）， the IMCC-AICKF algorithm yields the smallest maximum absolute error （MaxAE）， mean absolute error （MAE）， and root mean square error （RMSE） in SOC estimation， with both MAE and RMSE below 1%. Additionally， even with initial value errors， IMCC-AICKF can accurately converge to the true values， demonstrating good robustness. The proposed algorithm achieves more accurate estimation under non-Gaussian noise， providing a high-precision and robust method for SOC estimation.

Keywords：state of charge estimation; maximum correlation-entropy criterion; cubature Kalman filter; non-Gaussian noise; robustness

鋰離子電池因其具有能量密度高、自放電率低、循環(huán)壽命長等優(yōu)勢，在電動(dòng)汽車中被廣泛運(yùn)用^［1-3］。電池管理系統(tǒng)（BMS）對保障電動(dòng)汽車的安全穩(wěn)定運(yùn)行起著至關(guān)重要的作用，其中電池荷電狀態(tài)（SOC）估計(jì)在BMS中起著不可或缺的作用。SOC的準(zhǔn)確估計(jì)是提高電池使用的安全性、準(zhǔn)確性和可靠性的重要保障^［4］。鋰離子電池作為一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，受到許多因素的影響，這些因素的變化會(huì)導(dǎo)致電池特性和行為的非線性變化，使得準(zhǔn)確估計(jì)電池的荷電狀態(tài)成為一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。

SOC估計(jì)方法大致可分為傳統(tǒng)方法（主要包括安時(shí)積分法^［5］和開路電壓（OCV）法^［6］）、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法^［7］和基于模型的方法^［8］。安時(shí)積分法容易實(shí)現(xiàn)，但是隨著時(shí)間的推移，SOC的估計(jì)精度很容易受到累積誤差的影響^［9］。電池在靜態(tài)平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定電壓被視為開路電壓。開路電壓法是一種相對簡單且常用的方法，但是由于電池內(nèi)部復(fù)雜的擴(kuò)散效應(yīng)和極化機(jī)制，電池需要數(shù)小時(shí)才能達(dá)到靜態(tài)平衡狀態(tài)^［10］。在電動(dòng)汽車等對精度要求較高的應(yīng)用場景中，傳統(tǒng)的開路電壓法可能無法滿足高精度的能源管理需求。在實(shí)際應(yīng)用中，這種方法可能會(huì)受到溫度變化、充放電速率、循環(huán)壽命等因素的影響，從而導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果的不確定性。由于這些常見缺陷，傳統(tǒng)方法不適合高精度的電動(dòng)汽車能源管理。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^［11］、極限學(xué)習(xí)機(jī)^［12］和支持向量機(jī)^［13］等已被廣泛應(yīng)用于SOC估計(jì)，利用機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析技術(shù)來建立SOC估計(jì)模型。通過分析大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，訓(xùn)練出適應(yīng)各種工況的SOC估計(jì)模型。這種方法能夠提高估計(jì)精度，尤其在復(fù)雜環(huán)境下表現(xiàn)較好。然而，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)必須使用大量數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練并驗(yàn)證其準(zhǔn)確性，數(shù)據(jù)的質(zhì)量和來源對訓(xùn)練效果有很大影響。因此，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法在SOC估計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中面臨著諸多挑戰(zhàn)。

相對于傳統(tǒng)估計(jì)方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法來說，基于模型的方法在電池SOC估計(jì)中具有獨(dú)特的優(yōu)勢。基于模型的方法是通過建立等效電路模型來對SOC進(jìn)行估計(jì)^［14］，具有較低的計(jì)算復(fù)雜性和較高的估計(jì)精度。目前最常用的算法是卡爾曼濾波算法及其衍生算法^［15-16］，這些算法在狀態(tài)估計(jì)中具有顯著的優(yōu)勢^［17］。然而，這些算法在處理非線性系統(tǒng)時(shí)確實(shí)存在一些局限性，需要針對不同的應(yīng)用場景進(jìn)行選擇。擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）^［18］通過線性化非線性系統(tǒng)來簡化計(jì)算，但可能導(dǎo)致高階損失誤差和估計(jì)性能下降。無跡卡爾曼濾波（UKF）^［19］利用無跡變換和進(jìn)行sigma點(diǎn)采樣來處理非線性系統(tǒng)，但在狀態(tài)維度較高時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)定性下降。容積卡爾曼濾波（CKF）^［20］算法則使用球面徑向容積法則，具有更高的穩(wěn)定性和適用于更高維度的非線性濾波問題的優(yōu)勢。為了不斷優(yōu)化和提高狀態(tài)估計(jì)的精度，文獻(xiàn)［21］提出迭代容積卡爾曼濾波（ICKF）算法，通過對狀態(tài)更新過程進(jìn)行多次迭代，來提高CKF的估計(jì)精度及穩(wěn)定性。然而，這種算法可能會(huì)造成計(jì)算浪費(fèi)。為了解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)［22］在ICKF算法的基礎(chǔ)上提出自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波（AICKF）算法，對過程噪聲和測量噪聲進(jìn)行修正，提高估計(jì)精度并減少不必要的計(jì)算。以上算法在高斯噪聲干擾下估計(jì)效果較好，但是無法很好地處理非高斯分布的測量噪聲，因?yàn)槠浠谧钚【秸`差（MMSE）準(zhǔn)則導(dǎo)出，適應(yīng)能力有限。

為了更好地解決此問題，將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則（MCC）與卡爾曼濾波算法相結(jié)合應(yīng)用于鋰離子電池的SOC估計(jì)，例如最大相關(guān)熵卡爾曼濾波（MCC-KF）^［23］、MCC-EKF^［24］、MCC-AEKF^［25］、MCC-UKF^［26］和MCC-CKF^［27］算法等。在MCC中通常使用高斯核函數(shù)。研究結(jié)果表明，在抑制非高斯噪聲方面，基于MCC改進(jìn)的一系列算法顯著提高了SOC估計(jì)的精度。

為了使估計(jì)性能得到進(jìn)一步提高，本文將最大相關(guān)熵和加權(quán)最小二乘（WLS）^［28-30］相結(jié)合，然后結(jié)合AICKF算法的優(yōu)勢，提出一種改進(jìn)的最大相關(guān)熵加權(quán)最小二乘自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波（IMCC-AICKF）算法。該算法通過準(zhǔn)確估計(jì)電池的荷電狀態(tài)，可以延長電池壽命、優(yōu)化能量管理策略，并提升系統(tǒng)的性能和安全性。此外，該算法對于其他領(lǐng)域中非高斯噪聲下的狀態(tài)估計(jì)問題也具有借鑒意義。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法可以更好地進(jìn)行非高斯噪聲干擾下的電池SOC估計(jì)且魯棒性好。

1 電池建模和參數(shù)辨識(shí)

1.1 二階RC等效電路模型

鋰電池內(nèi)部涉及復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，建立一個(gè)準(zhǔn)確的鋰電池模型需要考慮鋰電池的動(dòng)態(tài)特性、非線性響應(yīng)以及外部環(huán)境的相互作用^［31-32］。本文采用的二階RC等效電路模型（ECM）如圖1所示，具有結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算量小、精度高等優(yōu)點(diǎn)。

通常使用x_k=［U_1，k U_2，k β_SOC，k］^T表示狀態(tài)向量，z_k表示k時(shí)刻的觀測量。其中，U_1，k、U_2，k分別表示k時(shí)刻第1、2個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的電壓；β_SOC，k表示k時(shí)刻電池的荷電狀態(tài)。此時(shí)，非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程可以表示為

式中：f（·）和h（·）分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和觀測函數(shù)；w_k－1和v_k分別為過程噪聲和觀測噪聲，兩者之間不相關(guān)，都服從正態(tài)分布，w_k～N（0，Q_k），v_k～N（0，R_k），Q_k為過程噪聲協(xié)方差矩陣；R_k為觀測噪聲均方差矩陣。

根據(jù)二階RC等效電路模型，系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和測量方程可以表示為

式中：I_k為k時(shí)刻的電流；ε為電池的容量；Δt為采樣時(shí)間間隔；［w_1，k w_2，k w_3，k］^T為系統(tǒng)的過程噪聲；v_k為測量噪聲。

1.2 開路電壓與SOC關(guān)系

在鋰離子電池中，開路電壓U_OC是指在沒有外部負(fù)載的情況下測量得到的電池端電壓。在充放電過程中，由于電池內(nèi)部發(fā)生著多種復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，導(dǎo)致OCV隨著SOC的變化呈現(xiàn)出非線性而難以預(yù)測。

本文選擇了標(biāo)稱容量/標(biāo)稱電壓為35 A·h/3.7V的LiMn₂O₄鋰離子電池（命名為電池B1）和標(biāo)稱容量/標(biāo)稱電壓為1.5 A·h/3.6 V的ICR18650單體電池（命名為電池B2）作為實(shí)驗(yàn)對象，電池B1的數(shù)據(jù)由北京理工大學(xué)先進(jìn)儲(chǔ)能科學(xué)與應(yīng)用課題組獲得，電池B2數(shù)據(jù)是由藍(lán)電CT6001A電池測試儀測量得到。

為了獲得相對準(zhǔn)確的荷電狀態(tài)-開路電壓曲線，分別對電池B1和電池B2進(jìn)行完整的充放電實(shí)驗(yàn)。首先，將電池在25℃的環(huán)境下充滿電，讓其靜置一段時(shí)間達(dá)到相對穩(wěn)定的狀態(tài)，并記錄此時(shí)的端電壓作為β_SOC=100%時(shí)的U_OC值。然后進(jìn)行一段固定時(shí)間的恒流放電操作，等待足夠長的時(shí)間使電池內(nèi)部反應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，記錄穩(wěn)定時(shí)的電池端電壓作為該時(shí)刻荷電狀態(tài)對應(yīng)的開路電壓。重復(fù)放電操作直到電池完全放電，并記錄每次放電操作的次數(shù)，將不同荷電狀態(tài)對應(yīng)的開路電壓記錄下來，最終得到一條完整的放電過程的荷電狀態(tài)-開路電壓曲線。

充電過程與放電過程類似。為了準(zhǔn)確描述開路電壓和荷電狀態(tài)之間的函數(shù)關(guān)系，首先將荷電狀態(tài)-開路電壓數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Matlab中，然后使用Curve Fitting工具箱進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，并設(shè)置合適的多項(xiàng)式次數(shù)來擬合出最佳多項(xiàng)式曲線，以描述開路電壓和荷電狀態(tài)的關(guān)系，如圖2、圖3所示。

為了更加確切地描述荷電狀態(tài)-開路電壓的函數(shù)關(guān)系，選取8次多項(xiàng)式對電池B1進(jìn)行荷電狀態(tài)和開路電壓擬合，擬合方程如下

由于多項(xiàng)式次數(shù)影響曲線的擬合效果。在完成擬合以后，使用均方根誤差（RMSE，設(shè)為ξ_RMSE）、決定系數(shù)（R-square，設(shè)為R²）、誤差平方和（SSE，設(shè)為ξ_SSE）來評價(jià)擬合效果的優(yōu)劣。本文選取5～8次多項(xiàng)式對電池B2進(jìn)行擬合，分析結(jié)果見表1。

根據(jù)表1可以看出，隨著多項(xiàng)式次數(shù)的增加，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)為8時(shí)，ξ_RMSE與ξ_SSE相對于前邊其他階次數(shù)據(jù)更接近于0，而R²更加接近于1，表明在8階時(shí)擬合效果較好，因此選擇8次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，則電池B2的荷電狀態(tài)和開路電壓之間的映射關(guān)系如下

1.3 參數(shù)辨識(shí)

準(zhǔn)確的參數(shù)辨識(shí)直接影響著電池模型的精度，本節(jié)使用最小二乘擬合法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)來得到模型未知參數(shù)R₀、R₁、C₁、R₂、C₂與β_SOC之間的關(guān)系。使用脈沖電流在不同的β_SOC下對電池進(jìn)行放電，在放電過程中，由于歐姆內(nèi)阻的作用導(dǎo)致電壓急劇下降，當(dāng)電流放電完成時(shí)，電壓會(huì)因?yàn)殡娀瘜W(xué)反應(yīng)的動(dòng)態(tài)平衡而逐漸回升，并趨于穩(wěn)定，然后通過記錄這些電壓和電流，用最小二乘擬合法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到各參數(shù)與β_SOC的關(guān)系。電池B1、B2的辨識(shí)結(jié)果的擬合曲線如圖4、圖5所示。

由辨識(shí)的結(jié)果可知，不同荷電狀態(tài)參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果是不同的，最小二乘擬合法得出的各參數(shù)隨著荷電狀態(tài)動(dòng)態(tài)變化，因此為了獲得準(zhǔn)確的模型精度，需要根據(jù)不同荷電狀態(tài)選擇相應(yīng)的參數(shù)。

2 基于改進(jìn)的最大相關(guān)熵自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波算法

2.1 最大相關(guān)熵準(zhǔn)則

對于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，最大相關(guān)熵^［33］可定義為

式中：E［·］為期望算子；F_X，Y（x，y）為聯(lián)合概率密度函數(shù)；G_σ（·）為滿足Mercer定理且核寬度為σ的核函數(shù)。由于高斯核函數(shù)對非線性模型具有無限逼近能力，因此本文采用高斯核函數(shù)，其表達(dá)式為

G_σ（x－y）=e^{－‖x－y‖2/2σ2}（7）

2.2 改進(jìn)的最大相關(guān)熵容積卡爾曼濾波

相較于傳統(tǒng)的最大相關(guān)熵，本文將MCC和WLS相結(jié)合，并將兩者加入到CKF算法中形成改進(jìn)的最大相關(guān)熵容積卡爾曼濾波（IMCC-CKF），使其收斂性好、精度高、穩(wěn)定性好。一方面，利用MCC準(zhǔn)則來處理非高斯噪聲，通過引入高斯核函數(shù)來表征非高斯噪聲的高階信息；另一方面，WLS對模型起到修正作用，將測量噪聲協(xié)方差矩陣和先驗(yàn)誤差協(xié)方差矩陣引入最大相關(guān)熵準(zhǔn)則中修改代價(jià)函數(shù)，進(jìn)一步提高了SOC的估計(jì)精度^［33］。

IMCC-CKF算法包括時(shí)間更新和測量更新兩個(gè)步驟，具體的實(shí)現(xiàn)步驟^［30］如下。

在算法迭代開始前需要對一系列參數(shù)進(jìn)行初始化，給出初始狀態(tài)值x₀與誤差協(xié)方差矩陣初始值P₀。

步驟1（時(shí)間更新） 容積點(diǎn)由狀態(tài)估計(jì)值_k－1和誤差協(xié)方差矩陣估計(jì)值P_k－1生成

式中：chol（·）代表Cholesky分解；S_k－1為P_k－1Cholesky分解得到；x^（i）_k－1為k－1時(shí)刻的第i個(gè)容積點(diǎn)，i=1，2，…，2n；ζ_i表示容積點(diǎn)集，具體表達(dá)式如下

其中［δ］_i為第i個(gè)容積點(diǎn)，表示為

［δ］_i=［I_n -I_n］，其中I_n是n×n的單位矩陣。

經(jīng)非線性狀態(tài)函數(shù)f（·）傳播的容積點(diǎn)x^*（i）_kk－1為

先驗(yàn)狀態(tài)值_kk－1為

先驗(yàn)誤差協(xié)方差矩陣P_kk－1為

步驟2（測量更新） 通過_kk－1和P_kk－1重新進(jìn)行容積點(diǎn)采樣

容積點(diǎn)傳遞值與預(yù)測測量值的表達(dá)式分別為

式中：z^（i）_kk－1表示非線性測量函數(shù)h（·）對容積點(diǎn)進(jìn)行二次傳播。

預(yù)測的測量誤差協(xié)方差矩陣為

互協(xié)方差矩陣P_xz，kk－1為

偽測量矩陣H_k為

則測量函數(shù)可以近似表示為

將WLS和高斯核結(jié)合，就是在高斯核函數(shù)中加入相關(guān)權(quán)重矩陣R^－1_k和P_kk－1，即采用基于權(quán)重矩陣的高斯核函數(shù)的代價(jià)函數(shù)為

式中，‖·‖²_A=（·）^TA（·）表示向量A加權(quán)平方馬氏距離。重新定義具有馬氏距離平方的高斯核為

通過最大化目標(biāo)函數(shù)得到了x_k的最優(yōu)估計(jì)

然后解決優(yōu)化問題，求解

式（23）被重新計(jì)算可以得到

狀態(tài)x_k可以通過固定點(diǎn)迭代算法計(jì)算得到。由于_kk－1是通過動(dòng)態(tài)模型獲得，并且對異常值不敏感，因此，可以通過用_kk－1在式（25）中替換x_k來執(zhí)行單次迭代，并獲得令人滿意的近似結(jié)果?？梢酝ㄟ^下式獲得

增益矩陣K_k為

更新的后驗(yàn)誤差矩陣為

高斯核σ對任何熵濾波算法都起著重要作用。在式（28）中，σ越小，L^z_k越小，就會(huì)導(dǎo)致增益K_k越小。在高斯噪聲下，濾波性能會(huì)下降甚至發(fā)散。

由于不同噪聲環(huán)境下的最優(yōu)核大小不同，因此需要改進(jìn)核大小的自適應(yīng)方法。遵循文獻(xiàn)［28］中提出并在文獻(xiàn)［34］中實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)策略來選擇σ（即在每個(gè)迭代步驟中σ=‖z_k－_kk－1－H_k（x_k－_kk－1）‖2_R－1k），在每個(gè)迭代步驟中動(dòng)態(tài)調(diào)整核大小。適當(dāng)?shù)暮舜笮τ谔岣唪敯粜院托阅苤陵P(guān)重要。

2.3 改進(jìn)的最大相關(guān)熵自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波算法

對于電池系統(tǒng)而言，過程噪聲和測量噪聲是隨著外界干擾的動(dòng)態(tài)變化而變化的。使用固定的過程噪聲和測量噪聲的協(xié)方差矩陣會(huì)導(dǎo)致估計(jì)誤差，并難以滿足實(shí)際需求。因此在IMCC-CKF算法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采用自適應(yīng)和迭代的方法提高算法的精度，WLS的作用是通過調(diào)整加權(quán)矩陣來最小化估計(jì)的方差，二者相結(jié)合便會(huì)構(gòu)造成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)^［30］。同時(shí)，AICKF作為一種自適應(yīng)濾波器，可以根據(jù)當(dāng)前的測量情況實(shí)時(shí)調(diào)整濾波器增益和協(xié)方差矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)［22］中的迭代方法，在本文中同樣使用端電壓誤差的絕對值作為迭代測量更新的判斷依據(jù)。具體而言，當(dāng)端電壓誤差的絕對值超過設(shè)定的閾值C，即z_k－_kk－1≥C時(shí)，表明當(dāng)前的狀態(tài)估計(jì)存在較大的偏差，需要進(jìn)行迭代測量更新以提高估算精度。相反地，如果端電壓誤差的絕對值滿足z_k－_kk－1lt;C時(shí)，則說明當(dāng)前的狀態(tài)估計(jì)已經(jīng)足夠接近真實(shí)值，無需再進(jìn)行迭代測量更新。C一般取0～20 mV。通過不斷迭代讓估計(jì)值更加逼近真實(shí)值，提升估計(jì)值的準(zhǔn)確性，降低計(jì)算復(fù)雜度，優(yōu)化算法效率。

為了更好地適應(yīng)外界的動(dòng)態(tài)干擾，本文通過自適應(yīng)調(diào)整過程噪聲和測量噪聲的協(xié)方差矩陣來進(jìn)一步提高算法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，e_k表示k時(shí)刻估計(jì)狀態(tài)的殘差，e_k=z_k-_k|k-1，Q_k和R_k的自適應(yīng)更新過程^［35］如下式

式中：M表示移動(dòng)估計(jì)窗口的大小；E_k表示k時(shí)刻的自適應(yīng)協(xié)方差矩陣。

通過將改進(jìn)的最大相關(guān)熵容積卡爾曼濾波結(jié)合迭代優(yōu)化和自適應(yīng)調(diào)整，可以在保持算法高效性的同時(shí)提高準(zhǔn)確性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)采用兩種工況數(shù)據(jù)來評估本文算法的性能，即動(dòng)態(tài)應(yīng)力測試（DST）工況和新歐洲駕駛循環(huán)（NEDC）工況。圖6為DST工況下電池B1端電壓和電流，圖7為NEDC工況下電池B2端電壓和電流。

采用平均絕對誤差（MAE，設(shè)為ξ_MAE）、均方根誤差和最大絕對誤差（MaxAE，設(shè)為ξ_MaxAE）等評價(jià)指標(biāo)評價(jià)算法的性能，表達(dá)式如下式

式中：β_SOC，k為真實(shí)值；_SOC，k為估計(jì)值；N為總的采樣點(diǎn)數(shù)。

為驗(yàn)證本文算法的有效性，基于電池B1和B2數(shù)據(jù)，在非高斯噪聲的干擾下，將本文算法與CKF和IMCC-CKF算法分別用于SOC的估計(jì)。

采用兩種非高斯噪聲干擾來驗(yàn)證算法的有效性。第一種非高斯噪聲將均勻分布噪聲和高斯噪聲的混合加入到原本的高斯噪聲中，將其定義為非高斯噪聲A

式中：a為權(quán)重系數(shù)，設(shè)a為0.5；W是均勻分布噪聲；V是均值為0、方差為0.02的高斯噪聲。

第二種非高斯噪聲參照文獻(xiàn)［25］的方法生成，將其定義為非高斯噪聲B。

3.1 非高斯噪聲A干擾下的電池SOC估計(jì)

3.1.1 電池B1的驗(yàn)證

將非高斯噪聲加入到電壓和電流中估計(jì)荷電狀態(tài)，產(chǎn)生的非高斯噪聲如圖8、圖9所示。

在非高斯噪聲環(huán)境下時(shí)，CKF、IMCC-CKF和IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)對比結(jié)果如圖10所示。

從圖10可以看出，基于MCC準(zhǔn)則的IMCC-AICKF算法顯著降低了非高斯噪聲下的SOC估計(jì)誤差，雖然在估算初期IMCC-AICKF算法的誤差相較于另外兩種算法較大，但是隨著時(shí)間的推移，改進(jìn)的算法逐漸收斂并且在非高斯噪聲下的SOC估計(jì)值更接近真實(shí)值，收斂速度最快且波動(dòng)最小。此外，表2給出了不同算法運(yùn)行時(shí)間以及定量的估計(jì)誤差對比。

從表2的結(jié)果可以看出，在非高斯噪聲A的干擾下，相較于CKF和IMCC-CKF算法，IMCC-AICKF算法計(jì)算時(shí)間有所增加，但ξ_RMSE顯著降低。具體來說，與CKF相比，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)計(jì)算時(shí)間增加了0.587 5 s，ξ_RMSE降低了72.5%。與IMCC-CKF相比，計(jì)算時(shí)間增加了0.336 9 s，ξ_RMSE降低了54.4%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在非高斯噪聲A干擾下，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)值更接近真實(shí)值，能有效提升電池SOC估計(jì)的精度。

3.1.2 電池B2的驗(yàn)證

在電池B2的電流和電壓中加入非高斯噪聲A，得到不同算法估計(jì)結(jié)果，如圖11所示。

從圖11可以看出，在非高斯噪聲A下，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)相較于其他兩種算法更接近真實(shí)值，誤差最小，估計(jì)性能更優(yōu)。由于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則能夠更好地處理系統(tǒng)的非線性和噪聲，相較于傳統(tǒng)的均方誤差方法，其利用高階信息將高斯核應(yīng)用于估計(jì)誤差矩陣的每個(gè)元素，再結(jié)合AICKF的優(yōu)勢，從而提高估計(jì)的準(zhǔn)確性和魯棒性。定量估計(jì)誤差和計(jì)算復(fù)雜度的比較見表3。

從表3可以看出，與CKF相比，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)計(jì)算時(shí)間增加了0.393 8 s，ξ_RMSE降低了88.9%。與IMCC-CKF相比，IMCC-AICKF的計(jì)算時(shí)間增加了0.089 9 s，ξ_RMSE降低了55.9%。比較表3中的定量估計(jì)誤差和計(jì)算復(fù)雜度可以得出結(jié)論，IMCC-AICKF算法能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)電池B2的SOC，與真實(shí)值之間的誤差較小。

3.2 非高斯噪聲B干擾下的電池SOC估計(jì)

3.2.1 電池B1的驗(yàn)證

電池B1的電流中加入非高斯噪聲如圖12所示。

在非高斯噪聲B干擾下，已知SOC初始值為1的情況下，基于3種算法的SOC估計(jì)和估計(jì)誤差如圖13所示。

從圖13（a）、13（b）可以看出，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)曲線與真實(shí)值的偏差較小，基本上能夠緊密地跟隨真實(shí)值的變化。相比之下，其他兩種算法的SOC估計(jì)曲線存在一定的偏離和波動(dòng)。這表明在非高斯噪聲B的干擾下，基于IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)誤差更小，精度更高，可以更準(zhǔn)確地估計(jì)電池的SOC。表4給出了定量的性能比較。

從表4可以看出，與CKF相比，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)計(jì)算時(shí)間增加了0.363 3 s，ξ_RMSE降低了67.0%。與IMCC-CKF相比，計(jì)算時(shí)間增加了0.116 s，ξ_RMSE降低了43.3%。這進(jìn)一步證實(shí)了IMCC-AICKF算法在估計(jì)SOC方面具有更高的精度和更小的誤差。由于IMCC-AICKF算法比CKF算法和IMCC-CKF算法更復(fù)雜，因此增加了計(jì)算時(shí)間，但是提高了SOC的估計(jì)精度。

3.2.2 電池B2的驗(yàn)證

將非高斯噪聲B添加到電池B2的電流中，3種算法估計(jì)結(jié)果如圖14所示。從圖14可以看出，在非高斯噪聲B的環(huán)境下，3種算法的估計(jì)誤差都有增大的趨勢，但是由于IMCC-AICKF算法將IMCC和AICKF算法結(jié)合使用，能夠克服算法的局限性，提高了整體的SOC估計(jì)精度和穩(wěn)定性。定量的性能比較見表5。

從表5可以看出，與CKF相比，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)計(jì)算時(shí)間增加了0.366 5 s，ξ_RMSE降低了62.4%。與IMCC-CKF相比，IMCC-AICKF算法的計(jì)算時(shí)間增加了0.251 6 s，ξ_RMSE降低了55.7%。經(jīng)過分析可得，IMCC-AICKF算法的SOC估計(jì)相對于CKF和IMCC-CKF算法具有更低的ξ_RMSE值，即更高的估計(jì)精度，但是需要額外的運(yùn)算時(shí)間。這表明在非高斯噪聲B下，IMCC-AICKF算法在提高SOC估計(jì)精度方面具有顯著的優(yōu)勢。

由此可以得出，在兩種非高斯噪聲環(huán)境下，IMCC-AICKF算法在運(yùn)算時(shí)間增加不多的情況下，估計(jì)精度顯著提高。

3.3 魯棒性分析

SOC的初始值影響SOC估計(jì)的精度和收斂速度。為了驗(yàn)證本文算法的收斂能力，在非高斯噪聲A環(huán)境下，取準(zhǔn)確的β_SOC（0）=1與錯(cuò)誤的β_SOC（0）=［0.99，0.98，0.97，0.96，0.95］以驗(yàn)證本文算法的魯棒性。圖15、16為電池B1、B2在非高斯噪聲A環(huán)境下不同SOC初值條件下IMCC-AICKF算法對SOC的估計(jì)結(jié)果及誤差曲線。

綜上所述，不同程度的初始SOC誤差會(huì)導(dǎo)致初始階段的誤差收斂速度和精度不同，隨著SOC初始值減小，則需要更多的時(shí)間才可以收斂到真實(shí)值附近。而且初始誤差越大，對SOC估計(jì)精度的影響也會(huì)越大，表明不正確的初始SOC會(huì)對SOC估計(jì)精度產(chǎn)生不利影響。因此，必須確保初始SOC的準(zhǔn)確性以獲得更準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文提出一種改進(jìn)的最大相關(guān)熵自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波算法用于非高斯噪聲干擾下電池的SOC估計(jì)。將加權(quán)最小二乘法與最大相關(guān)熵準(zhǔn)則結(jié)合定義了一種新的代價(jià)權(quán)函數(shù)作為優(yōu)化準(zhǔn)則，通過優(yōu)化噪聲最小協(xié)方差矩陣來減小濾波誤差，再與自適應(yīng)迭代容積卡爾曼濾波相結(jié)合，對過程噪聲協(xié)方差和測量噪聲協(xié)方差進(jìn)行更新來提高估計(jì)的精度和魯棒性，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

（1）與CKF和IMCC-CKF算法相比，本文所提算法的運(yùn)行時(shí)間有所增加，但增幅不大，估計(jì)精度顯著提高，證明算法具有較高的估計(jì)精度。

（2）在初始荷電狀態(tài)錯(cuò)誤的情況下，本文所提算法可以收斂到實(shí)際荷電狀態(tài)值，表明該算法具有較好的魯棒性。

（3）為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的有效性，可以驗(yàn)證算法在不同溫度和工作條件下抑制非高斯噪聲的能力。

本文所提算法可以在非高斯噪聲環(huán)境下提高電池荷電狀態(tài)估計(jì)的精度且具有較好的魯棒性，為電池管理系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供了有效的技術(shù)支持。

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（編輯 武紅江）