歐氏幾何公理系統中外角定理及推論的研究與證明

【摘要】本文研究、補充和整理歐氏幾何公理系統中外角定理及其推論，介紹歐氏幾何公理系統、合同公理及相關重要定理，重點介紹外角定理并證明其主要推論，說明歐氏幾何公理系統與中學幾何公理系統的聯系與區別.

【關鍵詞】歐氏幾何；高中數學；外角定理

1 引言

外角定理在歐氏幾何中至關重要，它奠定了三角形角邊關系、合同定理及線段中點等定理的理論基礎，并豐富了絕對幾何內容.當前文獻雖推論豐富，但證明不足.本文旨在深入研究和整理外角定理的推論，補充完善，為該領域提供全面深入的理論支持，確保推論完善且易于理解.

2 歐氏幾何公理系統簡介

公元前2世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中總結了前人的經驗，建立了初等幾何的基礎.然而，隨著時間的推移，《幾何原本》的缺陷逐漸顯現.為了修正這些缺陷，數學家們進行了不懈的努力，其中希爾伯特的《幾何基礎》尤為突出.他提出了完整的歐氏幾何公理系統，不僅解決了《幾何原本》中的問題，還闡明了近代公理化的基本思想.希爾伯特以“點、直線、平面”為基礎，通過五組公理的約束，成功推導出歐氏幾何內容，即中學初等幾何，使幾何邏輯結構更加清晰，對幾何學的發展產生了深遠的影響.

3 預備知識

3.1 合同公理

公理Ⅲ 對于直線a上兩點A，B及直線a′（或a）上一點A′，在指定a′或a上A′的一側恒有一點B′，使線段AB與線段A′B′合同，并記作AB≡A′B′．

公理Ⅲ 若A′B′≡AB，A″B″≡AB，則A′B′≡A″B″．

公理Ⅲ 若AB*C，A′B′*C′成立，且AB=A′B′，BC=B′C′，則AC≡A′C′.

公理Ⅲ 對于平面α上的角∠h，k，在平面α′（或α）上射線h′所在直線的某一側，恰有一條射線k′使∠h，k與∠h′，k′合同，并記作∠h，k≡∠h′，k′，每一個角都與它自身合同.

公理Ⅲ 對△ABC和△A′B′C′，若AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，則∠ABC≡∠A′B′C′.

3.2 合同公理的重要推論

由外角定理可以得出一系列基本的且重要的定理及推論：

（1）同位角合同或內錯角合同，兩直線平行；

（2）過直線外一點至少可作一條與已知直線共面但不相交的直線；

（3）三角形中，較大的邊所對內角較大，反之亦然；

（4）兩三角形中，若有兩對角及其中一對角所對邊分別合同，則兩三角形合同（角角邊）；

（5）兩三角形中，若有兩對邊及較大邊所對角分別相等，則兩三角形合同（邊邊角）；

（6）三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（7）線段小于任意連接其兩端點的折線；

（8）兩三角形中，若有兩對邊相等但夾角不等，則夾角大者對應邊也大，反之亦然.

4 外角定理及其推論的研究與證明

4.1 外角定理

外角的定義 三角形每一個角的鄰補角都叫做這個三角形的外角.

外角定理內容 三角形的外角大于任一與其不相鄰的內角．

證明 對于△ABC，在直線AB上取一點D，使得DA*B且DA≡CB，那么∠DAC是△ABC的一個外角，記為∠1.

先證∠1>∠C.

（1）如圖1，若∠1≡∠C，則∠2≡∠A，因為∠A是∠1的鄰補角，所以∠2是∠C的鄰補角，即B、C、D共線.換句話說，點C在直線AB上，這與三角形定義矛盾．

（2）若∠1<∠C，作∠ACB′≡∠1，且CB′在∠C的內部，AB*′B.對于△AB′C，∠1是其外角，且有∠1≡∠ACB′，由（1）知，這將導致矛盾．

因此，∠1>∠C得證．同理可證：∠1>∠B．

從證明可知，前三組希爾伯特公理可推出外角定理，無需歐氏平行公理.因此，外角定理在歐氏幾何中位于歐氏平行公理之前，是絕對幾何命題.

4.2 外角定理推論的證明與研究

外角定理是歐氏幾何的重要定理，可推導出多個重要定理及推論.

4.2.1 外角定理推論1

內容 共面兩直線被第三直線所截，如果截得的同位角合同，或內錯角合同，則這兩條直線不相交（同位角、內錯角等概念易給出定義）.

證明 （1）已知兩直線a，b被直線c所截，∠1與∠2是同位角且∠1≡∠2．假設直線a，b相交于點A（如圖2），則∠2是△ABC的外角，由定理可知∠2>∠1，這與∠1≡∠2矛盾．所以，直線a，b不相交．

（2）∠1 與∠3是內錯角且∠1≡∠3，則同理可證直線a，b不相交．

“同位角合同，兩線平行”和“內錯角合同，兩線平行”為平行線判定定理，確保過一點有直線與已知線不相交，因此有以下定理.

4.2.2 外角定理推論2

內容 過直線外一點，可作至少一條與已知直線共面不相交的直線.

證明 已知點A在直線a外（如圖3），過點A作任一直線b，

（1）若直線b與直線a不相交，則結論成立；

（2）若直線b與直線a相交，設交點為B，則過點A作直線AC使得∠1≡∠2，推論1表明直線a過點B且與直線c不相交.綜上，結論成立.

推論 過直線外一點，存在至少一條與已知直線共面且不相交的直線.

4.2.3 外角定理推論3

內容 任意三角形中，大邊對大角，大角對大邊.

證明 （1）已知△ABC中，BC>AC，現欲證∠A>∠B（如圖4），對于△ABC，由于BC>AC，根據定理3.2（3），可以在直線BC上取一點D，使得BD*C且DC≡AC，連接AD，由DC≡AC可得∠ADC≡∠DAC.在△ABD中，∠ADC為△∠ADB的一個外角，由外角定理得∠ADC>∠B，因為∠BAC≡∠BAD+∠DAC≡∠BAD+∠ADC，所以∠BAC>∠ADC>∠B，因此∠BAC>∠B成立.

（2）已知△ABC中，∠A>∠B，現欲證BC>AC.假設BC>AC不成立.若BC≡AC，則∠A≡∠B，這與已知∠A>∠B矛盾；若BC<AC，則由（1）的證明可知∠B>∠A，這與已知∠A>∠B矛盾；所以，假設不成立，即BC>AC.

該推論簡化了三角形邊角關系，即“大邊對大角”定理.

4.2.4 外角定理推論4

內容 三角形的任意兩邊之和大于第三邊，且任意兩邊之差小于第三邊.

證明 （1）對于△ABC，在直線BC上取一點D，使得DB*C且DB≡AB，連接AD（如圖5），則有∠D≡∠DAB.

在△ADC中∠DAC≡∠DAB+∠BAC≡∠D+∠BAC，所以∠DAC>∠D，所以DC>AC（推論3），DC≡DB+BC≡AB+BC，所以AB+BC>AC.

同理可證AC+BC>AB，AB+AC>BC．

（2）在△ABC中，不妨設BC>AC>AB，在BC上取點D，使得BD*C且BD≡AB，連接AD（如圖6）.所以∠BAD≡∠ADB.在△ABD中∠ADC>∠BAD（外角定理），在△ADC中，∠ADB>∠DAC，所以∠ADC>∠DAC，所以AC>DC，因為DC≡BC－BD，BD≡AB，所以DC≡BC－AB，所以AC>BC－AB.同理得BC－AC<AB，AC－AB<BC．

該推論簡述了三角形三邊關系.

5 結語

中學幾何教材直接討論全等關系，不引入“合同”概念.它認為“合同圖形”與“全等圖形”相同，通過“運動”概念說明全等.但“相等”或“全等”的論述邏輯不嚴謹.與希爾伯特公理體系不同，中學幾何邏輯基礎有差異，但結構直觀，適合青少年.雖不必嚴格遵循公理體系，但邏輯嚴謹性也很重要.教師了解歐氏幾何證法有助于理解教材公理結構，指導教學.

參考文獻：

［1］李文銘.初等幾何教學基礎［M］.西安：陜西科技出版社，2008.

［2］馬立.外角定理在歐氏幾何中的地位和作用［J］.曲靖師專學報，1996（05）：14-16+45.

［3］張英伯.歐氏幾何的公理體系和我國平面幾何課本的歷史演變［J］.數學通報，2006（01）：4-9.

［4］程建冰.淺談歐氏幾何［J］.河南水利，2006（08）：78.

［5］馬立.發掘《幾何基礎》課程的教學思想性［J］.曲靖師專學報，1992（S2）：1-4+54.