Laguerre多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程

摘要：為求分?jǐn)?shù)階積分-微分方程的近似解，提出了一種基于Laguerre多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程的近似方法.首先，在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下，將分?jǐn)?shù)階積分-微分方程轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式空間上的矩陣形式.然后，利用配置點(diǎn)得到矩陣方程組來進(jìn)行求解.最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性.該方法與Bernoulli小波法相比更簡(jiǎn)單精確.

關(guān)鍵詞：Laguerre多項(xiàng)式；Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程；矩陣方程

中圖分類號(hào)：O241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Solving Fractional Volterra-Fredholm Integro-differential Equations with Laguerre Polynomials

LI Xiaojie1， CHEN Yumei 2

（1. College of Mathematics and Information， China West Normal University， Nanchong 637009， China2. College of Mathematics Education， China West Normal University， Nanchong 637009， China）

Abstract： In order to find approximate solutions to fractional integro-differential equations， an approximate method for solving fractional Volterra-Fredholm integro-differential equations based on Laguerre polynomials is proposed. Firstly， in the sense of Caputo fractional derivatives， the fractional integro-differential equations are converted into matrix form on Laguerre polynomial space. Then， the matrix equations are obtained by using the collocation points for solution. Finally， the effectiveness and accuracy of this method are verified through numerical examples. This method is simpler and more accurate than the Bernoulli wavelet method.

Key words： Laguerre polynomials; Caputo fractional derivatives; fractional Volterra-Fredholm integro-differential equation; matrix equation

分?jǐn)?shù)階積分-微分方程在物理學(xué)［1］、工程學(xué)［2］、力學(xué)［3］、金融［4-5］等方面有許多應(yīng)用.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階積分-微分方程在各領(lǐng)域的應(yīng)用越發(fā)廣泛，求解分?jǐn)?shù)階積分-微分方程也變得越來越重要，其近似方法包括Adomian分解法［6-8］、同倫攝動(dòng)法［9-10］、配置法［11-12］、小波法［13-15］、Tau近似方法［16］、有限差分法［17］等.

分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程作為分?jǐn)?shù)階中比較重要的方程，被越來越多的人關(guān)注.Alkan［18］等提出用sinc配置法求解一類分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程，Dehestani等［19］提出一種求解具有比例延遲的分?jǐn)?shù)階Fredholm-Volterra泛函積分-微分方程的數(shù)值方法，Loh等［20］利用Genocchi多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程.

Laguerre多項(xiàng)式也被用于近似求解分?jǐn)?shù)階積分-微分方程，如Shwayyea等［21］提出用最小二乘法和移位的Laguerre多項(xiàng)式偽譜法求解線性分?jǐn)?shù)階積分-微分方程，Bayram等［22-23］基于Laguerre多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)階Volterra積分-微分方程和分?jǐn)?shù)階Fredholm積分-微分方程.

本文基于Laguerre多項(xiàng)式求解如下的分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程

Dαy（x）=z（x）y（x）+λ1∫x0K1（x，t）y（t）dt+λ2∫10K2（x，t）y（t）dt+g（x），n－1lt;α≤n，n∈N （1）

初始條件為

y（j）（0）=dj， j=0，1，…，n－1.（2）

其中K1（x，t），K2（x，t），z（x），g（x）為已知函數(shù)，y（x）為未知函數(shù)，Dα為Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子.

１預(yù)備知識(shí)

1.1Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

定義1.1［24］ α階的Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子Dα被定義為

Dαf（x）=1Γ（n-α）∫x0f（n）（t）（x－t）α+1－ndt，αgt;0，n－1lt;αlt;n，n∈N.

Caputo導(dǎo)數(shù)有以下性質(zhì)［25］

DαC=0， （C是常數(shù)）

Dαxβ=0， β∈N，βlt;「α.Γ（β+1）Γ（β+1－α）xβ－α， β∈N，β≥「α.（3）

其中「α為ceiling函數(shù)，表示大于等于α的最小整數(shù).

Dα是一個(gè)線性算子［26］，即

Dα（λf（x）+μg（x））=λDαf（x）+μDαg（x），（4）

其中λ，μ是常數(shù).

1.2Laguerre多項(xiàng)式

i階的Laguerre多項(xiàng)式Li（x）定義為［27］

Li（x）=∑ik=0（－1）ki！（i－k）！（k！）2 xk.（5）

函數(shù)y（x）用Laguerre多項(xiàng)式表示為

y（x）=∑ SymboleB@

i=0aiLi（x）.

函數(shù)y（x）的N次近似Laguerre多項(xiàng)式y(tǒng)N為

y（x）yN（x）=∑Ni=0aiLi（x）=L（x）A，（6）

其中L（x）=［L0（x），L1（x），…，LN（x）］和A=［a0，a1，…，aN］T分別表示Laguerre向量和Laguerre系數(shù)向量.

函數(shù)xk的Laguerre級(jí)數(shù)為［28］

xk=k！∑kj=0（－1）jkjLj（x），0lt;xlt; SymboleB@

，k=0，1，…（7）

L（x）的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)滿足［29］

L（i）（x）=L（x）（MT）i，i=0，1，…（8）

其中

M=000…00－100…00－1－10…00－100…00－1－1－1…－10或M=［mp，q］， mp，q=－1，pgt;q0，p≤q， p，q=0，1，…，N.

2問題求解

定理2.1設(shè)L（x）為L(zhǎng)aguerre向量，則L（x）的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿足：

DαL（x）=x－αL（x）Sα，

其中Sα為N+1維方陣

Sα=0S1，110S1，2+20S2，210S1，3+20S2，3+30S3，3…∑Nk=1k0Sk，N0－S1，1－11S1，2+21S2，2－11S1，3+21S2，3+31S3，3…－∑Nk=1k1Sk，N0022S2，222S2，3+32S3，3…∑Nk=1k2Sk，N000－33S3，3…－∑Nk=1k3Sk，N0000…（－1）NNNSN，N

方陣中Sk，i項(xiàng)定義如下

Sk，i=（－1）kk！Γ（k+1－α）ik，「α≤k≤i，0，其它.

證明：使用式（4）和式（5）得到Li（x）的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

DαLi（x）=Dα∑ik=0（－1）ki！（i－k）！（k！）2xk

=∑ik=0（－1）ki！（i－k）k（k！）2Dα（xk）.（9）

將式（3）和式（7）代入式（9）可知：當(dāng)ilt;「α?xí)r，有

DαLi（x）=0.

當(dāng)i=「α，「α+1，…，N時(shí)，有

DαLi（x）=x－α∑ik=「α∑kj=0（－1）jkjSk，iLj（x），

其中Sk，i=（－1）kk！Γ（k+1－α）ik.

從而

DαL（x）=［DαL0（x），DαL1（x），…，DαLN（x）］=x－αL（x）Sα.

按以下步驟推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階方程（1）和初始條件（2）的離散格式，并求解.

第一步：將方程（1）的微分部分用Laguerre多項(xiàng)式近似為矩陣形式.

利用式（6）和定理2.1將方程（1）的微分部分近似為如下矩陣形式

Dαy（x）DαL（x）A=x－αL（x）SαA.（10）

第二步：將初始條件式（2）近似為矩陣形式.

由式（6）和式（8）可得

yj（0）=L（0）（MT）jA=dj， j=0，1，…，n－1.

記Uj=L（0）（MT）j，則初始條件（2）轉(zhuǎn)化為如下矩陣形式

UjA=dj， j=0，1，…，n－1.

第三步：矩陣方程求解.

將式（6）和式（10）代入方程（1），得

x－αL（x）SαA=z（x）L（x）A+λ1∫x0K1（x，t）L（t）Adt+λ2∫10K2（x，t）L（t）Adt+g（x）（11）

將配置點(diǎn)xs（s=0，1，…，N）代入式（11），即

x－αsL（xs）SαA=z（xs）L（xs）A+λ1∫xs0K1（xs，t）L（t）Adt+λ2∫10K2（xs，t）L（t）Adt+g（xs）（12）

記v1（xs）=λ1∫xs0K1（xs，t）L（t）dt，v2（xs）=λ2∫10K2（xs，t）L（t）dt，則式（12）為

{XαLSα－ZL－λ1V1－λ2V2}A=G（13）

滿足

Xα=x－α00…00x－α1…000…x－αN，Z=z（x0）0…00z（x1）…000…z（xN），L=L（x0）L（x1）L（xN），

V1=v1（x0）v1（x1）v1（xN），V2=v2（x0）v2（x1）v2（xN）， G=g（x0）g（x1）g（xN）.

將式（13）記為WA=G，將n行增廣矩陣［Uj;dj］疊加到n行增廣矩陣［W;G］中得到新的矩陣形式［W～;G～］，解此矩陣方程得未知Laguerre系數(shù)a0，a1，…，aN，從而由式（6）得在初始條件（2）下方程（1）的近似解yN.

3數(shù)值算例

本文給出數(shù)值算例來驗(yàn)證方法的有效性和準(zhǔn)確性，并使用Matlab 2016a進(jìn)行編碼實(shí)現(xiàn).絕對(duì)誤差e（xs）=|y（xs）－yN（xs）|，配置點(diǎn)xs=［1－cos（s+1N+1）］/2，s=0，1，…，N.

例1考慮如下的分?jǐn)?shù)階奇異積分-微分方程［30］

D1/4y（x）=13∫x0y（t）（x－t）1/2dt+15∫10（x2+t2）y（t）dt+g（x），

初始條件y（0）=0，其中

g（x）=Γ（22/3）Γ（85/12）x73/12+Γ（17/2）Γ（33/4）x29/4－πΓ（22/3）3Γ（47/6）x41/6－πΓ（17/2）3Γ（9）x8－19374x2－17420 .

精確解y（x）=x19/3+x15/2.

該問題可轉(zhuǎn)化為如下矩陣方程

X1/4LS1/4－13V1－15V2A=G，U0A=0.

當(dāng)N=6時(shí)，配置點(diǎn)為

x0=0.049 5，x1=0.188 3，x2=0.388 7，x3=0.611 3，x4=0.811 7，x5=0.950 5，x6=1.000 0.

其中主要矩陣滿足

X1/4=0.105 000000000.285 800000000.492 300000000.691 300000000.855 200000000.962 600000001.000 0，

S1/4=0-1.088 1-1.554 4-1.851 1-2.068 7-2.240 5-2.382 500-0.621 8-0.960 9-1.198 3-1.381 5-1.530 9000-0.452 2-0.723 5-0.923 4-1.082 80000-0.361 7-0.590 2-0.764 100000-0.304 6-0.503 3000000-0.264 90000000，

V1=0.445 00.430 40.416 00.401 80.388 00.374 50.361 20.867 80.758 90.658 20.565 20.479 60.400 90.328 81.247 00.923 80.650 90.422 70.234 00.080 2-0.042 91.563 70.926 50.445 10.092 2-0.155 5-0.318 4-0.413 81.801 90.826 80.168 3-0.247 0-0.479 4-0.577 6-0.581 01.949 90.714 3-0.051 5-0.475 1-0.657 2-0.676 0-0.591 62.000 00.666 7-0.133 3-0.552 4-0.709 0-0.694 0-0.575 7，

V2=0.335 80.084 6-0.066 3-0.144 5-0.172 2-0.166 2-0.139 60.368 80.101 1-0.060 8-0.145 9-0.177 4-0.173 2-0.146 70.484 50.158 9-0.041 5-0.150 7-0.195 8-0.197 4-0.171 70.707 00.270 2-0.004 4-0.160 0-0.231 0-0.244 1-0.219 90.992 30.412 80.043 2-0.171 9-0.276 2-0.303 9-0.281 71.236 80.535 00.083 9-0.182 1-0.314 9-0.355 2-0.334 61.333 30.583 30.100 0-0.186 1-0.330 2-0.375 4-0.355 5，

U0=1111111.

通過求解該矩陣方程得到未知系數(shù)，再將未知系數(shù)代入式（6）得到方程的近似解yN.同理，可求得N取不同值時(shí)的主要矩陣形式.

表1給出了N取不同值時(shí)Laguerre多項(xiàng)式法的絕對(duì)誤差.圖1給出了N取不同值時(shí)精確解與Laguerre多項(xiàng)式法的數(shù)值解的比較圖.

由表1可知，在自變量x取不同值時(shí)，算例的絕對(duì)誤差隨著N值的增大而減小.由圖1可知當(dāng)自變量x取不同值時(shí)數(shù)值解y（x）無限接近于精確解，說明本文方法的精確性.

例2考慮下列分?jǐn)?shù)階Fredholm-Volterra積分-微分方程［31］

D1.7y（x）=g（x）+∫x0（x－t）y（t）dt+∫10（x+t）y（t）dt，

初始條件y（0）=0，y′（0）=0.其中

g（x）=Γ（3）Γ（1.3）x0.3+Γ（4）Γ（2.3）x1.3－x412－x520－7x12－920 .

精確解y（x）=x2+x3.

該問題可轉(zhuǎn)化為以下矩陣方程

{X1.7LS1.7－V1－V2}A=G，U0A=0，U1A=0.

當(dāng)N取不同值時(shí)，本文方法與Bernoulli小波法［31］的絕對(duì)誤差比較見表2，結(jié)果表明本文方法有更高的精度.

圖2表示自變量x取不同值時(shí)，例2分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程的精確解與不同N值下本文方法得到的數(shù)值解和Bernoulli小波法［31］得到的數(shù)值解的比較圖.通過比較可知本文方法更無限接近于精確解，說明本文方法優(yōu)于Bernoulli小波法.

4結(jié)語

鑒于多數(shù)分?jǐn)?shù)階積分-微分方程的解析解難以得到，并且其解析解大多都是非顯式的，文中基于Laguerre多項(xiàng)式，使用配置點(diǎn)將分?jǐn)?shù)階Volterra-Fredholm積分-微分方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程，求解矩陣方程得到未知系數(shù)，進(jìn)而得到方程的近似解.該方法與Bernoulli小波法相比更精確有效且簡(jiǎn)單.

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［責(zé)任編輯趙小俠］