整體建模：促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進階

數(shù)學(xué)是對客觀現(xiàn)實世界的一種符號化的抽象概括。數(shù)學(xué)學(xué)科知識蘊含著現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系、空間形式的本質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵就是要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)建模不僅僅是指知識建模，同時也包括方法建模、思想建模等。引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模，要讓學(xué)生積極主動地模仿、嘗試、遷移和創(chuàng)新。通過引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模，能有效開掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛質(zhì)，發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)創(chuàng)新的潛能。

一、著眼于“知識塊”：對數(shù)學(xué)知識的整體建模

數(shù)學(xué)建模首先是對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的建模。數(shù)學(xué)學(xué)科知識建模，就是要讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識有一個整體性、系統(tǒng)性的把握。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往只注重知識點的建模，這樣一種數(shù)學(xué)建模容易讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)陷入“碎片化”“散點化”“孤立化”的境地。整體建模，要求教師引導(dǎo)學(xué)生進行“知識塊”的整體建構(gòu)，讓學(xué)生借助同化、順應(yīng)等方法建立更大的圖式。這種圖式還應(yīng)當(dāng)具有開放性、生成性，應(yīng)當(dāng)具有一種包攝性、遷移性的特點。作為教師，要善于提煉數(shù)學(xué)學(xué)科知識中的模型因子。

例如，教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》一課時，教師首先讓學(xué)生進行自行探索。學(xué)生運用各種方法嘗試計算，如“化小數(shù)法”“畫圖法”“通分法”等。在方法的比較中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“畫圖法”的復(fù)雜性、“化小數(shù)法”的局限性（比如不能將分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)）以及“通分法”的普適性。通過方法的比較，學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識到“通分法”的優(yōu)勢。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：同分母分?jǐn)?shù)相加減需要通分嗎？異分母分?jǐn)?shù)相加減為什么需要通分呢？“異分母分?jǐn)?shù)加減法”和“小數(shù)加減法”“整數(shù)加減法”的算理有相通的地方嗎？通過這樣的追問，引導(dǎo)學(xué)生進行比較，讓學(xué)生找尋到“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“分?jǐn)?shù)加減法”的共同點，即“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”。由此，學(xué)生就建構(gòu)了“數(shù)的加減法”（包括整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法）的一般性模型。數(shù)學(xué)學(xué)科知識就被有效地串接、組塊起來了。這樣的一種數(shù)學(xué)模型經(jīng)過漸進的提升、抽象，學(xué)生就能夠深刻認(rèn)識到“單位相同”計算的重要性。“單位相同”不僅僅是指“數(shù)的加減法”，也指“數(shù)量的加減法”等。

整體建模有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科知識的上位概念、大概念、高觀點等。作為教師，要善于從數(shù)學(xué)學(xué)科中的“某一個”知識點的算法、算理等，發(fā)掘出“某一類”知識點的算法、算理等。通過對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的整體性建構(gòu)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中能舉一反三、觸類旁通，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)探究力、思維力、實踐力等都能獲得整體性的發(fā)展和提升。

二、著眼于“方法鏈”：對數(shù)學(xué)方法的整體建模

數(shù)學(xué)學(xué)科課程學(xué)習(xí)的整體性建模，還包括方法性、思想性的建模。相較于知識建模，方法建模、思想建模更具有一種啟發(fā)性、遷移性。從某種意義上說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)就是對數(shù)學(xué)學(xué)科方法的不斷總結(jié)、提升的過程，也就是方法的整體建模過程。作為教師，要善于發(fā)掘方法中的模型因子，讓學(xué)生感受、體驗方法的普適性、應(yīng)用的廣泛性等特質(zhì)。方法的整體性建模，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，教學(xué)《梯形的面積》一課后，教師一方面引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識，另一方面引導(dǎo)學(xué)生進行知識遷移和應(yīng)用。在這個過程中，“梯形的面積”不僅作為一種知識模型被建構(gòu)出來，而且其方法建模的意義也逐步得到了體現(xiàn)。首先，引導(dǎo)學(xué)生回顧多邊形的面積公式，并借助多媒體課件，呈現(xiàn)梯形的上底動態(tài)演變?yōu)橐粋€點，從而變成一個三角形的畫面，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)梯形的上底為0時，梯形的面積就是三角形的面積；其次，借助多媒體課件，進一步呈現(xiàn)當(dāng)梯形的上底延長到和下底等長時，就變成了一個平行四邊形的畫面，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)梯形的上下底相等時，梯形的面積公式就是平行四邊形的面積公式。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能夠建構(gòu)多邊形面積計算的方法模型——“梯形模型”。不僅如此，教師還向?qū)W生展示了一堆鋼管堆砌成梯形形狀，鋼管的根數(shù)也可以用梯形的面積計算模型來計算。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能認(rèn)識、體驗到“梯形的面積”作為一種計算模型的應(yīng)用廣泛性、策略普適性的特點。

多邊形的面積計算方法是多樣化的，但借助梯形的面積計算公式的模型，卻能將多邊形的面積計算公式統(tǒng)一起來。對數(shù)學(xué)方法的整體模型建構(gòu)，不僅僅是讓學(xué)生掌握知識，更重要的是讓學(xué)生獲得一種模型化思考問題、解決問題的意識、品質(zhì)和習(xí)慣等。只有讓學(xué)生對數(shù)學(xué)方法進行整體性建構(gòu)，才能感受、體驗到數(shù)學(xué)學(xué)科課程的內(nèi)在魅力。

三、著眼于“思想群”：對數(shù)學(xué)思想的整體建模

對數(shù)學(xué)學(xué)科課程內(nèi)容的整體性建模，最重要的就是思想建模。很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感到力不從心，究其根本，是學(xué)生沒有掌握相關(guān)的思考策略、思維策略、思想方法等。著眼于“思想群”，教師要對數(shù)學(xué)學(xué)科的典型思想進行整體性建模。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要讓學(xué)生逐步養(yǎng)成類比、轉(zhuǎn)化、分類、整體思考等思想。數(shù)學(xué)的整體性建模，能促進學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)生性生長。在引導(dǎo)學(xué)生建模的過程中，教師要豐富建模內(nèi)容、激發(fā)學(xué)生的建模興趣、指導(dǎo)學(xué)生的建模方法，滲透建模思想。

例如，教學(xué)《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》一課時，教師不僅可以從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域引入相關(guān)的課程資源、素材，如“小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法”“異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法”“除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法”等，而且可以從“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”等相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識領(lǐng)域引入課程資源、素材等，如“多邊形的面積轉(zhuǎn)化”“圓柱體的體積轉(zhuǎn)化成近似的長方體”“圓錐的體積轉(zhuǎn)化成等底等高的圓柱體的體積”等。通過豐富的課程資源、素材，讓學(xué)生總結(jié)“轉(zhuǎn)化”思想的一般性策略，建立關(guān)于數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)化”思想的模型，即“將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉”“將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單”“將未知轉(zhuǎn)化為已知”。這樣的一種轉(zhuǎn)化模型的建構(gòu)，能讓學(xué)生形成一種“轉(zhuǎn)化”的思維方式和行動方式。當(dāng)學(xué)生在今后遇到數(shù)學(xué)新知時，自然能從“轉(zhuǎn)化”的思想視角、“轉(zhuǎn)化”的思想立場來思考問題、考量問題、探究問題等。通過數(shù)學(xué)思想的建模，能讓數(shù)學(xué)思想印刻在學(xué)生的心中，讓數(shù)學(xué)思想在學(xué)生頭腦中處于一種待喚醒的孕伏狀態(tài)。

著眼于數(shù)學(xué)“思想群”“思想庫”，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識地進行思想建模。通過思想的整體建模，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)思想的魅力，感受到數(shù)學(xué)思想背后數(shù)學(xué)文化的魅力。數(shù)學(xué)思想是豐盈的，作為教師要有意識地將之融入、滲透在數(shù)學(xué)學(xué)科知識的教學(xué)之中，要著力于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、方法，促進數(shù)學(xué)思想的模型建構(gòu)。數(shù)學(xué)知識、方法、思想等的整體模型建構(gòu)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維等不斷進階，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力、素養(yǎng)等不斷生成。

引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，一般來說要經(jīng)歷模型的假設(shè)、模型的建構(gòu)、模型的應(yīng)用等過程。作為教師，要在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)整體建模的過程中培養(yǎng)其“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的大腦”，讓學(xué)生能“用數(shù)學(xué)的語言”來表達。實踐證明，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義、更有價值，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有情趣、更有活力。

（本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究”階段性研究成果，課題批準(zhǔn)號：C-b/2021/02/79。）

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗小學(xué)）

（責(zé)任編輯 張妤）