考慮時滯的渦簧儲能用永磁同步電機反推控制

要：針對采樣、通信等造成的時滯現象弱化渦簧儲能系統運行性能的問題，設計了考慮時滯的渦簧儲能用永磁同步電機反推控制方法。首先在dq0坐標系下建立考慮電流延時的永磁同步電機數學模型;在此基礎上，采用Lyapunov-Krasovskii理論設計含有時滯的Lyapunov函數，并結合反推控制方法，推導出永磁同步電機時滯反推控制器，以消除時滯對系統的影響，并保證系統閉環穩定性。仿真和實驗結果表明，隨著時滯的增加，系統控制響應偏差和波動影響也變大，甚至有可能導致系統失去穩定；與常規反推控制器相比，對于常時滯和變時滯情形，考慮時滯的反推控制器下永磁同步電機的速度和電流均能更準確跟蹤各自的參考值，同時響應速度更快、且波動更小，極大改善了時滯對于系統運行性能的影響。

關鍵詞：非線性系統；渦簧儲能系統；永磁同步電機；時滯；反推控制；李亞普諾夫函數

DOI：10.15938/j.emc.2024.10.001

中圖分類號：TM351

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）10-0001-12

收稿日期： 2023-12-15

基金項目：國家自然科學基金（52077078）

作者簡介：余 洋（1982—），男，博士，教授，博士生導師，研究方向為儲能技術、新能源電力系統特性與多源互補；

張千慧（2000—），女，碩士，研究方向為電力儲能技術；

龐淇文（1999—），男，碩士，研究方向為電力儲能技術；

余宗哲（1999—），男，碩士，研究方向為電力儲能技術。

通信作者：余 洋

Backstepping control of permanent magnet synchronous machine for spiral spring energy storage considering time delay

YU Yang^1，2， ZHANG Qianhui^1，2， PANG Qiwen^1，2， YU Zongzhe^1，2

（1.State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources， North China Electric Power University， Baoding 071003， China； 2.Key Laboratory of Distributed Energy Storage and Microgrid of Hebei Province， North China Electric Power University， Baoding 071003， China）

Abstract：To mitigate the impact of time delays caused by sampling and communication on the performance of a spring energy storage system， a backstepping control method for spring energy storage using a permanent magnet synchronous motor （PMSM） that accounts for time delays was proposed. Initially， a mathematical model of the PMSM considering current delay was established in the dq0 coordinate system. Subsequently， a Lyapunov-Krasovskii theory-based Lyapunov function with time delay was designed， and a backstepping control method was integrated to derive a time-delay backstepping controller for the PMSM. This controller aims to eliminate the influence of time delays on the system and ensure the closed-loop stability. Simulation and experimental results demonstrate that as the time delay increases， the control response deviation and fluctuation impact also become larger， potentially leading to system instability. Compared to conventional backstepping controllers， the time-delay-considering backstepping controller exhibits more accurate tracking of the PMSM’s speed and current reference values under both constant and variable time delays. Additionally， it offers faster response speeds and reduced fluctuations， significantly improving the impact of time delays on system performance.

Keywords：nonlinear system; spiral spring energy storage system; permanent magnet synchronous motor; time delay; backstepping control; Lyapunov function

0 引 言

新能源發電具有隨機性和波動性^［1］，儲能技術是保障間歇式新能源入網的有效手段之一^［2］。渦簧儲能（spiral spring energy storage，SSES）是近年來提出的綠色、高效的新型物理儲能技術^［3-4］，以機械渦簧作為儲能介質，永磁同步電機（permanent magnet synchronous machine，PMSM）為執行機構，利用渦簧的伸縮變形驅動PMSM實現機械能和電能的相互轉化。

作為典型的機電耦合系統，由采樣、通信、傳感器、計算等延遲帶來的時滯會直接影響SSES系統運行性能^［5-6］。其實，時滯現象廣泛存在于控制工程、電力系統、機械傳動系統等多個領域^［7-8］，大量針對時滯動力系統穩定性的研究已表明，時滯是造成系統工作性能惡化、引發系統振蕩、混沌乃至崩潰的重要原因^［9-10］，并且時滯的存在會影響控制器的控制效果^［11］。但現有的PMSM建模與控制中大都忽略了時滯，這對于小時滯環境或控制性能要求較低的場合尚可接受，但若時滯較大或控制性能要求較高時，忽略時滯后得到的結果往往是不可靠的。因此，深入研究SSES系統的時滯現象，不僅能夠提高其自身運行的穩定性和可控性，也能為減小時滯對于PMSM驅動性能影響提供重要技術支撐。

對于時滯系統的研究方法，主要有頻域和時域兩大類。頻域內分析時滯系統最常用的是Smith預估法^［12］，其思路是消去特征方程中的時滯項，然后用傳統方法設計控制器^［13］，基本實現了對于常時滯和結構參數已知的系統模型求解，但受數學變換的局限性，難以處理復雜的時滯系統，而且受建模誤差和參數變化的影響較大^［21］。時域法可以克服頻域分析的不足，計算也相對簡單，主要有基于Lyapunov-Razuminkhin（L-R）定理的方法和基于Lyapunov-Krasovskii（L-K）定理的方法^［14-16］，其中后者在PMSM時滯系統中應用最為廣泛。如文獻［17］對于網絡化環境下的PMSM轉速控制，在考慮時滯的基礎上推導了基于模型的調速魯棒控制器，并通過構造L-K函數獲取了轉速穩定性條件；文獻［18］針對PMSM矢量控制中逆變器的開關延遲、控制器的計算時間等時滯環節導致系統動態響應過程振蕩增大的問題，提出基于自耦PI控制器代替矢量控制中電流環PI控制器，并建立L-K函數討論了穩定性，但PI控制器仍然存在參數整定復雜的問題。還有一些研究將神經網絡引入PMSM時滯控制，如文獻［19］考慮PMSM未知參數擾動、混沌和不確定時延，提出了基于徑向基函數神經網絡的自適應動態表面控制，實現了漸近跟蹤穩定性，但神經網絡訓練難度高，對時滯問題的針對性不強；文獻［20］只考慮了PMSM的輸入時滯，提出了基于事件觸發機制的自適應神經網絡控制方法，在具有輸入時滯的情況下完成對PMSM系統的跟蹤控制，但Lyapunov函數構造復雜，計算量較大；文獻［21］進一步針對存在參數不確定和未知時延的分數階PMSM系統，提出了基于命令濾波反步方法的自適應神經網絡控制方法，并采用L-K函數，改善了時滯不確定性的影響，但仍然存在L-K函數構造困難的問題。總之，當前針對PMSM時滯控制的研究相對不多，并且大部分都存在計算復雜、L-K函數構造困難、神經網絡訓練難度大和不能保證閉環系統穩定性等問題。

此外，對于SSES系統而言，PMSM模型具有多變量、高階、強耦合的特點^［22］，同時系統運行中渦簧的扭矩和轉動慣量同時變化，針對SSES系統的非線性特征，常規的控制方法往往達不到理想的控制性能，為此，前期研究將非線性反推控制引入系統控制中，取得了不錯的控制效果。反推控制是上世紀90年代出現的一種非線性控制方法，通過引入虛擬控制量并結合Lyapunov函數采用倒推方法設計控制器，實現高維非線性系統向低維系統的轉化，通過反推控制可在確保閉環系統穩定的條件下達到準確、快速地跟蹤效果^［23-24］。在數學和控制領域，已有研究將反推控制引入非線性時滯系統的控制器設計中。如文獻［25］利用Lyapunov函數和反推方法設計了非線性時滯系統自適應狀態反饋控制器；文獻［26］研究了具有三角形結構的非線性時滯系統的魯棒性控制問題，利用反步方法構造了狀態反饋控制器，并基于Lyapunov穩定性理論證明了閉環系統的穩定性；文獻［27］采用Lyapunov穩定性理論研究了一類具有三角形結構的非線性時滯系統的反推控制魯棒鎮定問題。但上述文獻存在Lyapunov函數選取困難、控制器計算量大等問題，并且還未見有將反推控制應用于PMSM系統時滯問題研究的相關報道。

針對時滯影響SSES系統運行性能的問題，考慮采樣、控制器計算以及渦簧形變耗時等多種因素造成的電流延時，本文提出SSES用PMSM時滯反推控制方法，采用反推方法設計控制器，并構造合理的Lyapunov函數保證系統控制穩定性，實現時滯情況下PMSM轉速和電流的準確快速跟蹤控制。仿真和實驗結果表明，與傳統反推控制相比，本文設計的控制算法使得PMSM狀態量能更好、更快地跟蹤上參考值，極大改善SSES系統的運行性能。

1 SSES系統及數學模型

1.1 SSES系統結構及工作原理

SSES系統的基本結構如圖1所示，由儲能箱、PMSM、雙向變流器等部件組成。系統儲能時，來自電網的電能通過變流器驅動PMSM旋轉以擰緊渦簧，通過渦簧的形變實現電能向機械能的轉變，發電過程則相反。

1.2 渦簧數學模型

根據材料力學理論^［28］，渦簧扭矩可表達為

式中：E、b、d和l分別為渦簧材料的彈性模量、寬度、厚度和長度；δ為渦簧轉過的角度。

1.3 PMSM數學模型

選用表貼式PMSM作為SSES系統的驅動電機，其在dq0坐標系下的數學模型^［29］可表示為：

式中：u_d、u_q分別為d、q軸的定子電壓；i_d、i_q為d、q軸的定子電流；L為定子電感；R為定子電阻；B為粘滯摩擦因數；?_f為永磁磁通；J為轉動慣量；T_L為渦簧扭矩；p為轉子極對數；ω_r為轉子機械角速度。

令ω_r=x₁，i_d=x₂，i_q=x₃，并考慮電流的延時，將式（2）改寫為：

式中：t為采樣時間；h為由采樣、控制器計算以及渦簧形變耗時等因素造成的未知時滯。

2 常規反推控制器設計

反推控制算法的思想是將復雜的高階非線性系統分解成若干個不超過系統階數的子系統，然后為每個子系統分別設計Lyapunov函數和中間虛擬控制變量，一直“后退”到整個系統，直到完成控制器的設計。反推控制算法的出發點是系統輸入量，逐級“后退”到系統控制量。在設計控制器時，一般采用各子系統輸入量與反饋量的差值作為該級子系統的輸入量，并保證控制器參數恒大于0，最終通過Lyapunov穩定性定理得到保證系統穩定且漸近收斂的結論。SSES用PMSM的常規反推控制器設計流程如圖2所示。

由文獻［28］獲取SSES用PMSM的常規反推控制器表達式如下：

式中：i_qref0為常規反推控制器下的q軸電流參考值；k_ω0、k_q0、k_d0均為大于0的控制參數。

3 考慮時滯的反推控制器設計

3.1 定義誤差變量

轉速、d軸電流和q軸電流的跟蹤誤差定義如下：

式中e_ω、e_d和e_q分別為轉速跟蹤誤差、d軸電流跟蹤誤差和q軸電流跟蹤誤差。

3.2 控制器推導

1）速度控制器設計。

定義第1個Lyapunov函數為

對式（6）求導，得

為了讓V·₁lt;0，以滿足Lyapunov穩定性定理，本文選擇：

式中k_ω為大于0的控制參數。

對式（8）進行整理，得到虛擬控制器q軸電流參考值i_qref的表達式為

同時假設d軸參考電流為0。

將式（9）代入式（7）中，可以得到

由式（10）可見，設計的虛擬控制器i_qref滿足Lyapunov穩定性條件。

2）d軸電流控制器設計。

定義第2個Lyapunov函數^［30］為

式中q₁（x（τ））為待定的非負函數^［25］。

對式（11）求導，得

令H（x（t－h））=|RLx₂（t－h）－px₁x₃（t－h）|，H（x（t－h））為時滯函數，即可得到

接著，取待定的非負函數為：

將式（14）、式（15）代入式（12）中，可得

為了讓V·₂lt;0，以滿足Lyapunov穩定性定理，本文選擇：

式中k_d為大于0的控制參數。

由于式（17）帶有絕對值符號，繼續討論如下：

①當e_d≥0時。

對式（18）進行求解，可得到控制器u_d的表達式為

②當e_dlt;0時。

可得到控制器u_d的表達式為

將式（18）和式（20）代入到式（16）中，可得

由式（22）可知，設計的d軸電流控制器u_d滿足Lyapunov穩定性條件。

3）q軸電流控制器設計。

定義第3個Lyapunov函數為

式中q₂（x（τ））為待定的非負函數^［25］。

對式（23）求導，得

取H₁（x（t－h））=|RLx₃（t－h）+px₁x₂（t－h）|，H₁（x（t－h））為時滯函數，可得

進一步取待定的非負函數為

將式（26）和式（27）代入式（24）中，可得

由于式（28）帶有絕對值符號，繼續討論如下：

①當e_q≥0時。

式中k_q為大于0的控制參數。

對式（29）進行求解，可得控制器u_q的表達式為

②當e_qlt;0時。

可得到控制器u_q的表達式為

將式（29）、式（31）代入式（28）中，可得

由式（33）可知，設計的q軸電流控制器u_q滿足Lyapunov穩定性條件。

由此，完成了虛擬控制量i_qref和真實控制量u_d、u_q的推導，并證明它們滿足Lyapunov穩定性條件。

4 仿真分析

為驗證本文提出的考慮時滯的渦簧儲能用永磁同步電機反推控制方法的有效性，在MATLAB平臺進行仿真分析。所用渦簧儲能系統和PMSM的參數分別如表1和表2所示。為進一步表明算法的優越性，將本文方法與常規反推控制方法進行對比，經過多次仿真對比，2種控制器的參數均選取為：k_ω=140，k_q=180，k_d=500，與此同時，d軸電流的參考值設置為0，每組仿真時間均設置為5 s。

為更好地模擬實際環境，本文在常時滯和變時滯2種不同的時滯情況下進行仿真，并設置不同程度的延時，仿真分為3類，共6組，以充分驗證控制方法的有效性。前4組在4種時滯下進行仿真：變轉速下驅動恒轉矩負載，在運行到第2 s時，參考轉速由3 rad/s突變為5 rad/s，而負載轉矩保持10 N·m不變；后2組仿真為變轉速下驅動渦簧負載，即驅動變轉矩變慣量負載仿真，同時在運行到第2 s時，參考轉速由3 rad/s突變為5 rad/s。

4.1 常時滯仿真

1）第1組仿真：時滯取0.001 s，變轉速下驅動恒轉矩負載。

當時滯h取0.001 s，在參考轉速第2 s發生突變的情況下，轉子轉速、q軸電流和d軸電流在常規反推控制器和時滯反推控制器下的對比結果如圖3所示。

由圖3（a）可知，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的轉速在電機起動和參考轉速發生變化時能更快達到參考轉速，有更快的響應速度；當系統穩定運行時，常規反推控制器下的轉速也能保持平穩，但與參考轉速之間存在一個較小的偏差，而時滯反推控制器下的轉速則能準確并且平穩地響應參考轉速。由圖3（b）可看到，在電機起動和參考轉速發生變化時，2種控制器下的q軸電流都會發生波動，但時滯反推控制器下的q軸電流恢復至穩定的速度更快。圖3（c）表明2種控制器下d軸電流在運行狀態變化時均會產生波動，但時滯反推控制器下d軸電流產生的波動更小，具有更快的響應速度，并且在系統進入穩態運行時，常規反推控制器下d軸電流與參考值之間存在偏差，而時滯反推控制器下d軸電流則能保持穩定。

2）第2組仿真：時滯取0.005 s，變轉速下驅動恒轉矩負載。

接下來加大延遲的程度，取h=0.005，在參考轉速發生變化的情況下，轉子轉速、q軸電流和d軸電流在常規反推和時滯反推控制器下的對比如圖4所示。

由圖4可看出，與h=0.001時相比，時滯增大，同時轉速、q軸電流和d軸電流在電機起動和參考轉速發生變化時的波動更加明顯，持續時間也更長，可見隨著時滯增大，會對系統穩定運行造成更大的影響；與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的3個狀態量仍然有更快的響應速度和恢復速度。而且由圖4（a）也可看到，在穩態運行時，常規反推控制器下的轉速比d=0.001時相比參考轉速存在更大的偏差，而時滯反推控制器下的轉速則仍能準確并且平穩地響應參考轉速。圖4（c）表明常規反推控制器下的d軸電流在系統穩態運行時仍然存在波動，而時滯反推控制器下d軸電流則仍能保持穩定。

4.2 變時滯仿真

1）第3組仿真：時滯取0.001sint，變轉速下驅動恒轉矩負載。

為了盡可能多地模擬系統實際運行時PMSM可能存在的各種延時，考慮延時的多樣性，取h=0.001sint，即時滯的大小隨著運行時間發生正弦規律的變化。在參考轉速發生變化的情況下，轉子轉速、q軸電流和d軸電流在常規反推和時滯反推控制器下的對比如圖5所示。

圖5（a）表明，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的轉速有更快的響應速度，在電機起動或者參考轉速變化時能更快地達到參考值；在系統穩定運行時，常規反推控制器下的轉速仍與參考轉速之間存在一個較小的偏差，而時滯反推控制器下的轉速則能準確并且平穩地響應參考轉速。圖5（b）表明，2種控制器下的q軸電流在運行狀態變化時均會產生波動，但時滯反推控制器下的q軸電流能更快恢復穩定。由圖5（c）可看到，當電機起動和轉速突變時，時滯反推控制器下的d軸電流能更快達到參考值0，并且穩態運行時不存在偏差。

2）第4組仿真：時滯取0.01sint，變轉速下驅動恒轉矩負載。

當h=0.01sint時，在參考轉速發生變化的情況下，轉子轉速、q軸電流和d軸電流在常規反推控制器和時滯反推控制器下的對比結果如圖5所示。

由圖6可以明顯地看到，相比之前時滯h=0.001sint時，此時的時滯變大，因此在參考轉速發生變化時，2種控制器下狀態量的波動均更明顯，幅度更大，時間更長，這又一次驗證了前文得出的結論：時滯越大，對系統產生的影響也就越大。但與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下轉速和電流的波動更小，仍然保持著較好的穩定性，而且響應參考值的速度更快，能更快恢復穩定狀態。

同時圖6（a）和圖6（c）還表明，在系統運行狀態不發生改變時，與時滯h=0.001sint時相比，常規反推控制器下的轉速和d軸電流存在的偏差更大，而時滯反推控制器下的轉速和d軸電流仍然能準確地跟蹤參考值，不存在偏差和波動。

4.3 驅動渦簧負載仿真

為驗證本文控制器在PMSM驅動渦簧負載時的控制效果，進行了驅動渦簧負載的仿真，渦簧參數如表1所示，在運行到第2 s時，參考轉速由3 rad/s突變為5 rad/s。

1）第5組仿真：時滯取0.002 s，變轉速下驅動渦簧負載。

當h=0.002時，電機驅動渦簧負載，在參考轉速發生變化的情況下，轉子轉速、q軸電流和d軸電流在常規反推和時滯反推控制器下的對比結果如圖7所示。

由圖7（a）可知，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的轉速能更快達到參考轉速，有更快的響應速度；并且當系統穩定運行時，常規反推控制器下的轉速仍存在一個較小的偏差，而時滯反推控制器下的轉速則能準確并且平穩地響應參考轉速。由圖7（b）可看到，在參考轉速發生變化時，2種控制器下的q軸電流都會發生波動，而且會隨著負載轉矩的增大而增大，但時滯反推控制器下的q軸電流恢復至穩定的速度更快。圖7（c）表明2種控制器下的d軸電流在電機起動和參考轉速變化時均會產生波動，但時滯反推控制器下的d軸電流波動更小，且能更快恢復穩態；在系統進入穩態運行時，常規反推控制器下d軸電流與參考值之間存在偏差，而時滯反推控制器下d軸電流則不存在偏差。

2）第6組仿真：時滯取0.002cost，變轉速下驅動渦簧負載。

當h=0.002cost時，電機驅動渦簧負載，在參考轉速發生變化的情況下，轉子轉速、q軸電流和d軸電流在常規反推和時滯反推控制器下的對比結果如圖8所示。

由圖8（a）可知，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的轉速有更快的響應速度并能準確且平穩地維持在參考轉速。由圖8（b）可看到，時滯反推控制器下的q軸電流恢復至穩定的速度仍然更快；圖8（c）表明2種控制器下d軸電流在電機起動時均會產生波動，但時滯反推控制器下d軸電流的波動更小，具有更快的響應速度，并且在系統進入穩態運行時，時滯反推控制器下d軸電流能保持穩定，并且與參考值之間不存在偏差。

5 實驗分析

為進一步驗證本文提出的時滯反推控制器的有效性，搭建了SSES實驗平臺及控制平臺，平臺采用TMS320F28335作為控制芯片，如圖9和圖10所示，實驗參數與仿真部分保持一致。實驗分為兩組，每組實驗均為25 s。

1）第1組：恒轉速實驗。

參考轉速在實驗過程中不發生變化，保持為10 rad/s。實驗結果如圖11所示。

圖11（a）表明，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的轉速在電機起動時能更快達到參考轉速，有更快的響應速度；當系統穩定運行時，常規反推控制器下的轉速也能保持平穩，但存在一個較小的偏差，而時滯反推控制器下的轉速則能準確并且平穩地響應參考轉速。圖11（b）表明，隨著負載轉矩的增大，2種控制器下的q軸電流隨之增大；在電機起動時，時滯反推控制器下的q軸電流恢復至穩定的速度更快。由圖11（c）可看到，在系統進入穩態運行時，常規反推控制器下d軸電流在參考值附近波動，而時滯反推控制器下d軸電流則更加穩定，波動明顯減少。由圖11（d）可知，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下的轉矩脈動明顯減少。

2）第2組：變轉速實驗。

參考轉速在第10 s時由5 rad/s變為10 rad/s。實驗結果如圖12所示。

圖12（a）表明，與常規反推控制器相比，時滯反推控制器下轉速能更快達到參考轉速，且當參考轉速發生突變時，常規反推控制器下轉速會產生更大突變及波動；當系統穩定運行時，常規反推控制器下轉速有小波動且存在控制偏差，而時滯反推控制器下轉速則能準確并且平穩地跟蹤參考轉速。圖12（b）表明，在參考轉速變化時，2種控制方法下q軸電流均會發生突變，而且常規反推控制器下q軸電流突變更大、波動更明顯；還可以看到，q軸電流與負載轉矩成比例變化，且當參考轉速由5 rad/s變為10 rad/s時，q軸電流斜率變大，其變化速率與轉子轉速也表現出類似的正比變化關系；在電機起動和參考轉速變化時，時滯反推控制器下q軸電流恢復至穩定的速度更快。由圖12（c）可知，當參考轉速發生變化時，2種控制方法下d軸電流均會產生突變，但時滯反推控制器下的突變更小；在系統穩態運行時，時滯反推控制器下d軸電流更加穩定。由圖12（d）可看到，與常規反推控制器相比，在系統運行狀態發生變化和穩態運行下時滯反推控制器下轉矩脈動均明顯減少。

6 結 論

為減小時滯對于SSES系統性能的影響，考慮PMSM電流時滯，本文提出了考慮時滯的SSES用PMSM反推控制方法，通過研究得到以下結論：

1）時滯會對PMSM控制性能產生不利影響，時滯越大，控制性能越弱，甚至會出現控制偏差。

2） 與常規反推控制相比，在本文提出的時滯反推控制器下，PMSM轉速和電流在常時滯和變時滯環境下均具有更快的響應速度，并且波動更小，控制效果更優。

3）本文控制方法提升了SSES系統的響應速度，減小了控制偏差，并且抑制了轉矩脈動。

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（編輯：劉琳琳）