有規(guī)律加法算式問(wèn)題的解決與早期代數(shù)思維培養(yǎng)的研究（上）

【摘 要】從一組有規(guī)律加法算式中歸納出一般化規(guī)律的過(guò)程，體現(xiàn)了學(xué)生早期代數(shù)思維的發(fā)展情況。通過(guò)測(cè)試和分析二、三年級(jí)學(xué)生解決“有規(guī)律加法算式問(wèn)題”的情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在具體的算術(shù)運(yùn)算上的正確率約為95%，然而，當(dāng)他們需要?dú)w納一般化規(guī)律并用這些規(guī)律解決問(wèn)題時(shí)，正確率就明顯下降。通過(guò)對(duì)學(xué)生表達(dá)規(guī)律的能力進(jìn)行分析，并根據(jù)揭示算式規(guī)律需綜合考慮的三個(gè)具體方面，將學(xué)生的規(guī)律表達(dá)能力從低到高劃分為三個(gè)水平層次。在具體表達(dá)時(shí)，學(xué)生可能表現(xiàn)出無(wú)法觀察或發(fā)現(xiàn)規(guī)律，缺乏表達(dá)規(guī)律的能力，或者過(guò)分重視變化量而忽視了對(duì)不變量的描述等特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】有規(guī)律加法算式；早期代數(shù)思維；一般化規(guī)律

一、問(wèn)題的提出

讓二、三年級(jí)的學(xué)生去解決一組有規(guī)律加法算式的問(wèn)題，如“32+3=￡，32+6=￡，32+9=￡，……32+￡=￡”，要求他們先完成填空，再寫(xiě)一寫(xiě)有什么規(guī)律及說(shuō)明自己的思考過(guò)程。在解決這樣的問(wèn)題中，學(xué)生需要仔細(xì)觀察每一個(gè)算式，從這些多樣化的算式中提煉出它們的共性和相互關(guān)系，進(jìn)而將這些多樣化的算式“壓縮”為一個(gè)統(tǒng)一的模式，得出一般化的規(guī)律。這一過(guò)程是學(xué)生萌生早期代數(shù)思維的體現(xiàn)。能夠準(zhǔn)確寫(xiě)出一般化規(guī)律的學(xué)生，往往展現(xiàn)出較強(qiáng)的代數(shù)思維能力。

那么，二、三年級(jí)的學(xué)生在解決這類(lèi)“有規(guī)律加法算式問(wèn)題”時(shí)，他們的正確率是多少？正確的填空思路又有哪些？學(xué)生對(duì)于規(guī)律的表達(dá)呈現(xiàn)出哪些特點(diǎn)？其表達(dá)可以分為哪些水平層次？本文試圖通過(guò)實(shí)證研究來(lái)解釋這些問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)調(diào)查結(jié)果的分析，為小學(xué)數(shù)學(xué)早期代數(shù)思維教學(xué)提供啟示與建議。

二、研究對(duì)象與測(cè)試過(guò)程

本研究對(duì)象選取二、三年級(jí)各一個(gè)班級(jí)，學(xué)生人數(shù)分別為37人和40人。為確保研究的代表性，筆者依據(jù)學(xué)生上一學(xué)期期末檢測(cè)成績(jī)，選擇了二、三年級(jí)中處于中等水平的班級(jí)作為測(cè)試對(duì)象。測(cè)試過(guò)程要求每個(gè)學(xué)生需在30分鐘內(nèi)獨(dú)立完成答題任務(wù)（若學(xué)生提前完成，允許提前交卷）。待所有學(xué)生完成答題任務(wù)后，筆者隨機(jī)抽取部分進(jìn)行訪(fǎng)談，測(cè)試與訪(fǎng)談在同一個(gè)半天內(nèi)完成。

三、測(cè)試內(nèi)容

具體測(cè)試題目如下。

1.觀察算式，在方框里填上數(shù)。

2.第五行中的兩個(gè)方框中，你填入的兩個(gè)數(shù)是（ ），（ ），你為什么填入這兩個(gè)數(shù)？（要寫(xiě)出你是怎么想的）

3.第十行中的第1個(gè)方框你填的數(shù)是（ ），你是怎么想的？請(qǐng)把你的想法詳細(xì)地寫(xiě)一寫(xiě)。

4.第十行中的第2個(gè)方框你填的數(shù)是（ ），你是怎么想的？請(qǐng)把你的想法詳細(xì)地寫(xiě)一寫(xiě)。

5.你覺(jué)得，這個(gè)題目中的算式是否有規(guī)律？如果有，請(qǐng)寫(xiě)一寫(xiě)是怎樣的規(guī)律。

6.寫(xiě)一寫(xiě)題目中的“省略號(hào)”表示什么意思。

四、測(cè)試結(jié)果與分析

（一）填數(shù)正確率及分析

學(xué)生的填數(shù)正確率直接體現(xiàn)了他們的計(jì)算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律及應(yīng)用能力。通過(guò)對(duì)測(cè)試答卷的批改、統(tǒng)計(jì)與分析，得出以下測(cè)試結(jié)果。

1.二、三年級(jí)學(xué)生第一行至第四行填數(shù)的正確率均高達(dá)95%。這些題目屬于學(xué)生根據(jù)給定要求，正確計(jì)算兩位數(shù)加兩位數(shù)的問(wèn)題。測(cè)試結(jié)果表明，對(duì)于大多數(shù)二、三年級(jí)學(xué)生而言，他們能夠很好地理解這種帶有方框表達(dá)的問(wèn)題，并清晰地把握題目的意圖，即要求對(duì)“26與42、45、48、51”進(jìn)行分別求和。同時(shí)，大多數(shù)學(xué)生在兩位數(shù)加法的計(jì)算上展現(xiàn)了扎實(shí)的基礎(chǔ)。值得注意的是，三年級(jí)學(xué)生的正確率并未顯著高于二年級(jí)學(xué)生。

2.第五行填數(shù)的正確率二年級(jí)學(xué)生為81.08%，三年級(jí)學(xué)生為92.50%。與前面第一行至第四行填數(shù)的正確率相比，二、三年級(jí)學(xué)生填數(shù)的正確率分別下降了13.51%和2.50%。值得注意的是，三年級(jí)學(xué)生的正確率比二年級(jí)學(xué)生高出約10%。從學(xué)生的解題思路分析來(lái)看，正確解決第五行填數(shù)問(wèn)題主要有以下兩種思路。

第一種思路：在第五行的兩個(gè)方框中，左邊一個(gè)方框是未知的加數(shù)，右邊的一個(gè)是相應(yīng)的和。學(xué)生根據(jù)題目中已知的加數(shù)42、45、48、51數(shù)列，發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用從上往下依次遞增3的規(guī)律，從而得到第五行左邊方框這個(gè)未知的加數(shù)是54（即51+3=54）。類(lèi)似地，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)填出的和68、71、74、77數(shù)列，得到第五行右邊方框填入的數(shù)是80（即77+3=80）。運(yùn)用這種思路正確解決問(wèn)題的二、三年級(jí)學(xué)生數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的56.76%、62.50%。圖1是一名二年級(jí)學(xué)生的解題過(guò)程。

第二種思路：填第五行左邊的方框，即填未知加數(shù)時(shí)，與第一種思路相同，也是根據(jù)已知加數(shù)數(shù)列的規(guī)律得到54。但在填右邊的方框，即填和時(shí)，通過(guò)計(jì)算26+54得到和是80，運(yùn)用這種思路正確解決問(wèn)題的二、三年級(jí)學(xué)生分別占總?cè)藬?shù)的18.92%、27.50%。

除了以上兩種正確的解題思路外，二、三年級(jí)學(xué)生中分別有5.40%、2.50%的學(xué)生寫(xiě)出了正確答案，但未提供解題思路或思路表達(dá)不清晰。

3.如果說(shuō)正確填寫(xiě)第五行兩個(gè)方框中的數(shù)視為對(duì)規(guī)律的“近應(yīng)用”，那么在第十行的方框中填入正確的數(shù)則表示對(duì)規(guī)律的“遠(yuǎn)應(yīng)用”。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，二、三年級(jí)學(xué)生第十行填空的正確率分別為32.43%和62.50%。三年級(jí)學(xué)生的正確率比二年級(jí)學(xué)生高出30.07%，這表明三年級(jí)學(xué)生的水平明顯高于二年級(jí)學(xué)生。與填第五行的正確率相比，二、三年級(jí)學(xué)生在解決這一問(wèn)題時(shí)的正確率分別下降了48.65%和30.00%，這說(shuō)明對(duì)于許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，“遠(yuǎn)應(yīng)用”是具有挑戰(zhàn)性的。與填寫(xiě)第一行至第四行的正確率相比，二、三年級(jí)學(xué)生分別下降了62.16%和32.5%，這表明學(xué)生在計(jì)算兩位數(shù)加法方面的能力遠(yuǎn)超于發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題的能力。從學(xué)生的解題思路分析來(lái)看，正確解決第十行填數(shù)問(wèn)題主要有以下兩種思路。

第一種思路：基于前五行算式中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，繼續(xù)推導(dǎo)出第六行至第九行算式中的未知加數(shù)與相應(yīng)的和，即逐一列舉出第五至第九行中的數(shù)，再應(yīng)用規(guī)律寫(xiě)出第十行兩個(gè)方框中的數(shù)。二、三年級(jí)學(xué)生運(yùn)用這種思路解決問(wèn)題的正確率分別是21.62%和32.50%。圖2是一名三年級(jí)學(xué)生寫(xiě)出第六行至第十行的結(jié)果和思考過(guò)程。

第二種思路：首先概括出算式中“未知的加數(shù)”以及“相應(yīng)的和”與行數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后利用這種關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。圖3展示了一名三年級(jí)學(xué)生在填寫(xiě)第十行第1、2兩個(gè)方框中數(shù)的解題思路。該學(xué)生以第五行為起始行，第1個(gè)方框中的數(shù)從第五行的54開(kāi)始推算。從第六行到第十行共有5行，每行的數(shù)都比上一行增加3，因此增加了3×5=15，從而得到第十行第1個(gè)方框中的數(shù)為54+15=69。類(lèi)似地，計(jì)算出第十行第2個(gè)方框中的數(shù)。

二、三年級(jí)學(xué)生運(yùn)用這種思路解決問(wèn)題的正確率分別為5.40%、30.00%。在運(yùn)用這種思路解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生在表達(dá)思考過(guò)程時(shí)通常僅使用數(shù)與相應(yīng)的算式，而沒(méi)有使用其他語(yǔ)言、圖形或符號(hào)來(lái)輔助表達(dá)思考過(guò)程。

（二）規(guī)律表達(dá)情況及分析

為了準(zhǔn)確揭示這組算式的規(guī)律，必須綜合考慮以下三個(gè)方面：（1）一個(gè)加數(shù)不變，即一個(gè)加數(shù)為26不變。（2）另一個(gè)加數(shù)從上往下逐行遞增3。（3）相應(yīng)的和也隨之逐行遞增3。這三個(gè)方面的內(nèi)容（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“表達(dá)三內(nèi)容”）共同構(gòu)成了規(guī)律的完整表達(dá)。在“表達(dá)三內(nèi)容”中，（1）體現(xiàn)了不變量的表達(dá)，而（2）和（3）則描述了變化量的表達(dá)。根據(jù)學(xué)生在表達(dá)中涉及“表達(dá)三內(nèi)容”的程度以及表達(dá)的邏輯性，筆者將學(xué)生的表達(dá)水平從低到高劃分為三個(gè)水平層次。

水平0：這是表達(dá)水平的最低層次，包括三種情況。（1）未能識(shí)別出規(guī)律；（2）未嘗試表達(dá)規(guī)律（空白）；（3）在表達(dá)中未涉及“表達(dá)三內(nèi)容”中的任何一個(gè)內(nèi)容。在二、三年級(jí)學(xué)生中，分別有10人和3人處于這一水平，分別占總?cè)藬?shù)的27.03%和7.50%。這些學(xué)生的問(wèn)題是未能觀察到或表達(dá)出規(guī)律。

水平1：在這一水平的表達(dá)中，學(xué)生僅涉及“表達(dá)三內(nèi)容”中的一個(gè)或兩個(gè)方面的內(nèi)容。二、三年級(jí)中處于此水平的學(xué)生人數(shù)分別為27人或36人，分別占總?cè)藬?shù)的72.97%和90.00%。具體情況如下。

1.沒(méi)有學(xué)生能夠表達(dá)出“不變量”，即在水平1的學(xué)生中，沒(méi)有人指出類(lèi)似“一個(gè)加數(shù)26不變”這一關(guān)鍵點(diǎn)。

2.在“表達(dá)三內(nèi)容”中，只關(guān)注到單一個(gè)方面內(nèi)容的學(xué)生，二、三年級(jí)分別有23人和25人，分別占總?cè)藬?shù)的62.16%和62.50%。這些學(xué)生在表達(dá)規(guī)律時(shí)只寫(xiě)出“表達(dá)三內(nèi)容”中的一個(gè)方面內(nèi)容，僅提及了“另一個(gè)加數(shù)的變化”這一個(gè)變化量。也就是說(shuō)，既沒(méi)有學(xué)生寫(xiě)出“不變量”，也沒(méi)有學(xué)生寫(xiě)出“和的變化”這一個(gè)變化量。在寫(xiě)出加數(shù)這個(gè)變化量時(shí)，有的學(xué)生是十分具體表達(dá)規(guī)律的，如圖4所示。也有學(xué)生會(huì)寫(xiě)出相對(duì)一般的“加數(shù)都是增加3”這樣的規(guī)律。

3.分別有10.81%、27.50%的二、三年級(jí)學(xué)生同時(shí)寫(xiě)出了兩個(gè)變化量。

圖5是一個(gè)學(xué)生寫(xiě)出了兩個(gè)變化量的表達(dá)。

可見(jiàn)，處于水平1這一層次的學(xué)生，表達(dá)規(guī)律的特點(diǎn)是重視對(duì)變化量的刻畫(huà)，而忽視對(duì)不變量的描述。

水平2：當(dāng)學(xué)生的表達(dá)同時(shí)涉及“表達(dá)三內(nèi)容”三個(gè)方面的內(nèi)容時(shí)，筆者將其劃分為水平2。遺憾的是，僅有1名三年級(jí)學(xué)生在表達(dá)規(guī)律時(shí)達(dá)到這一水平。這個(gè)學(xué)生的表達(dá)如圖6所示。

從圖6中可以看出，這個(gè)學(xué)生采用“圖與文字”相結(jié)合的方式來(lái)表達(dá)規(guī)律。左邊帶有方框的圖中，他寫(xiě)出了不變量26以及另一個(gè)加數(shù)與和的變化規(guī)律。而右邊的文字則描述了變化量的方向。令人遺憾的是，在右邊的文字表達(dá)中，既沒(méi)有提及不變量26，也沒(méi)有表達(dá)出“依次增加3”的規(guī)律。這個(gè)學(xué)生是否注意到了26？為什么在文字表達(dá)中未提及這個(gè)不變量呢？筆者對(duì)他進(jìn)行了訪(fǎng)談，主要的對(duì)話(huà)如下。

師：你注意到算式中有一個(gè)26嗎？

生：注意到了。

師：觀察算式中的26，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：沒(méi)有變。

師：什么沒(méi)有變？

生：26沒(méi)有變。

師：26不變，它重要嗎？

生：（停頓一下后說(shuō)）重要，如果它變，和就不是這樣變了（指著加3）。

師：你在右邊寫(xiě)文字時(shí)，為什么不寫(xiě)26呢？

生：它沒(méi)有變，就不用寫(xiě)了。

師：好的，你回答得很清楚，謝謝你。

從上述的訪(fǎng)談中可知，這個(gè)學(xué)生確實(shí)注意到了26這個(gè)不變量，但他認(rèn)為在描述規(guī)律時(shí)，不需要寫(xiě)出不變量，只需將變化量表達(dá)出來(lái)即可。

實(shí)際上，這組算式的變化規(guī)律由兩個(gè)等差數(shù)列的規(guī)律構(gòu)成：第一個(gè)數(shù)列是有關(guān)第二個(gè)加數(shù)的數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：第n行中的第二個(gè)加數(shù)=42+（n-1）×3。第二個(gè)數(shù)列是有關(guān)和的數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：第n行的和=68+（n-1）×3。因此，第n行的算式可以表示為：26+［42+（n-1）×3］=68+（n-1）×3。（其中n=1，2，3，……）遺憾的是，沒(méi)有學(xué)生在描述變量規(guī)律時(shí)，同時(shí)注意到行數(shù)，并表達(dá)出加數(shù)或和與行數(shù)之間的關(guān)系。

綜上所述，本文通過(guò)對(duì)二、三年級(jí)學(xué)生解決“有規(guī)律加法算式問(wèn)題”的表現(xiàn)進(jìn)行測(cè)試與分析，揭示了學(xué)生在具體運(yùn)算，歸納、運(yùn)用一般化規(guī)律解決問(wèn)題以及規(guī)律表達(dá)能力方面的測(cè)查結(jié)果。筆者將在后續(xù)文章《有規(guī)律加法算式問(wèn)題的解決與早期代數(shù)思維培養(yǎng)的研究（下）》中，進(jìn)一步針對(duì)這些測(cè)查結(jié)果探討在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生早期代數(shù)思維形成的具體策略。

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡金法.數(shù)學(xué)教育研究手冊(cè)：上冊(cè)［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學(xué)階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學(xué)：墨爾本大學(xué)教授麥克斯·斯蒂芬斯訪(fǎng)談錄［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（11）：10-13.

［3］鄧茜茜，丁銳.西方早期代數(shù)相關(guān)研究及啟示［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2023（5）：6-9.

［4］范德沃爾，卡普，貝-威廉姆斯.美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師實(shí)踐手冊(cè)：第10版［M］.張晶，侯慧穎，施銀燕，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2023.

［5］劉曉宇，朱紅祥，于文華，等.早期代數(shù)思維在一～三年級(jí)的喚醒與滲透［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2024，33（2）：34-40.