基于物理信息神經網絡的非線性瞬態熱傳導正/反問題研究

摘要：基于物理信息神經網絡（physics-informed neuralnetworks，PINN）求解非線性瞬態熱傳導問題并識別隨溫度變化的導熱系數。首先，基于熱傳導問題的控制方程，利用初始條件和邊界條件，構建損失函數。然后，應用自動微分算法求解控制方程中溫度的偏導數。使用梯度下降算法，更新網絡參數，最小化損失函數，實現熱傳導正問題的求解，并討論了不同隱藏層數、神經元數量和域內數據點數量對計算結果的影響。最后，采用PINN識別隨溫度變化的導熱系數，利用控制方程、測量溫度和計算溫度的殘差構建損失函數，通過梯度下降算法，更新網絡參數和導熱系數，使其逼近于精確解，并比較了不同的測點數量和測量誤差對計算結果的影響。結果表明，PINN能夠有效求解非線性瞬態熱傳導問題并識別與溫度相關的導熱系數。

關鍵詞：反問題；熱傳導問題；導熱系數識別；物理信息神經網絡；自動微分算法

中圖分類號：O411.1 文獻標志碼：A 文章編號：1000-582X（2024）12-124-13

基金項目：國家自然科學基金（12002181）；中央高校基本科研業務費（JZ2022HGQA0165， JZ2022HGTB0243）。Supported by National Natural Science Foundation of China （12002181） and Fundamental Research Funds for the Central Universities （JZ2022HGQA0165， JZ2022HGTB0243）.

Solving nonlinear transient heat conduction forward/inverse problem using physics-informed neural networks

CHEN Haolong， TANG Xinyue， LIU Zhaotao， ZHOU Huanlin

（School of Civil Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， P. R. China）

Abstract： This study proposes a physics-informed neural networks （PINN） approach to solve transient nonlinear heat conduction problems and estimate the temperature-dependent thermal conductivity. First， a loss function is formulated using the residuals of partial differential equation， initial conditions， and boundary conditions specific to heat conduction. Then， automatic differentiation is applied to compute the temperature’s partial derivatives within the equation. The heat conduction problem is solved by minimizing the loss function through a gradient descent algorithm， which updates the network parameters. The influences of varying the number of hidden layers， neurons and interior collection points on the results are also examined. Finally， the PINN is applied to identify temperature-dependent thermal conductivities by formulating a loss function that includes residuals from the governing equation， measured temperature， and computed temperature. The network parameters and thermal conductivity values are updated by gradient descent algorithm to approximate the true solution. Additionally， the influences of different measurement points and errors on the results are compared. The findings show that the proposed method effectively solves transient heat conduction problems and accurately estimates temperaturedependent thermal conductivity.

Keywords： inverse problems； heat conduction； thermal conductivity estimation； physics-informed neural networks； automatic differentiation

目前，復合材料吸引了越來越多人的關注，并將其應用于產品制造領域。為了充分描述產品的發熱過程，需要求解得到產品的溫度分布，即為正問題；為了更好地設計材料的導熱性能，需要確定材料的導熱系數，即為反問題。如何對正問題進行建模是求解反問題的基礎。有限元法（finite element method，FEM）[1]、有限體積法和邊界元法等數值方法是求解熱傳導正問題常用的方法。然而，這些數值方法需要對求解域進行網格離散，而網格的劃分對計算結果的精度有較大的影響。

物理信息神經網絡（physics-informed neural networks，PINN）將物理守恒定律和先驗的物理知識編碼到人工神經網絡（artificial neural network，ANN）中，并用于解決許多物理問題[2-3]。這種方法將偏微分方程（partial differential equation，PDE）中的偏導數直接通過自動微分算法進行數值近似[4]。因此，PINN與傳統的數值方法不同，其不需要對求解域進行離散處理，僅需在域內布置數據點。此外，采用PINN求解正問題時，對樣本量的需求大大減少，甚至不需要訓練樣本。

反演算法可以分為2類：基于梯度的算法和元啟發式優化算法[5]。Mohebbi等[6]識別了隨空間和溫度變化的導熱系數。Cui等[7-8]通過基于梯度的可變松弛因子優化方法識別了與溫度相關的導熱系數。Mera等[9]識別了各向異性介質中二維熱傳導問題的導熱系數和邊界條件。周煥林等[10-11]采用改進的布谷鳥搜索算法識別了瞬態熱傳導問題的導熱系數和熱擴散系數。吳秀壯等[12]利用布谷鳥搜索算法優化目標函數，實現了動載荷的反演。Sun等[13]使用改進的磷蝦群算法識別了與溫度相關的熱物性參數。Wang等[14]利用人工魚群算法求解了界面的傳熱系數。但是，這些方法都沒有充分利用歷史數據信息。

近年來，數據驅動模型受到計算機科學發展的極大推動，被廣泛應用于求解各類工程問題[15]。Chen等[16]通過ANN和有效熱導率來識別管道內邊界的幾何形狀。他們還使用深度學習模型，通過測量皮膚表面溫度來識別腫瘤的熱物理性質[17]。Li等[18]提出了一種改進的PINN識別了熱擴散系數。湯卓超等[19]基于PINN求解了曲面上的對流擴散方程。Cai等[20]采用PINN求解了多種熱傳導問題。陸至彬等[21]基于軟邊界和硬邊界2種設定方法構建PINN，求解了二維熱傳導問題。然而，PINN針對非線性瞬態熱傳導正問題和反問題的研究還不充分。

筆者采用PINN求解了非線性瞬態熱傳導問題并識別了隨溫度變化的導熱系數。在熱傳導正問題中，損失函數由PDE、初始條件和邊界條件的殘差表示。然后將求解PDE的問題轉化為求解損失函數的極值問題，并比較了不同隱藏層數和神經元個數對計算結果的影響。對于導熱系數識別問題，建立了以PDE、測量溫度和計算溫度的殘差表示的損失函數，通過梯度下降算法，更新網絡參數和導熱系數，使其逼近于精確解，實現對導熱系數的識別，并討論了不同測點數量和測量誤差對計算結果的影響。

1 問題設置

1.1 熱傳導正問題

1.2 導熱系數識別問題

如圖1所示，在導熱系數識別問題中，初始條件、邊界條件和測點溫度均已知，而導熱系數未知。反問題的目的就是通過測量表面或域內測點的溫度來識別未知的導熱系數。

2 物理信息神經網絡

2.1 人工神經網絡

人工神經網絡（artificial neural network， ANN）是一種受自然啟發、模仿生物神經網絡運作的計算模型。它由許多神經元組成，如圖2所示。這些神經元以層的方式分組，前一層和后一層神經元通過權重相互連接，權重決定了連接傳遞的信號強度。

圖3為PINN求解熱傳導正問題的流程圖。在PINN中，物理信息由PDE描述，時間t和坐標xi作為輸入，通過Net_T網絡輸出溫度T。然后，利用自動微分算法計算溫度T關于輸入（即時間t與空間xi）的偏導數，并代入損失函數中，通過梯度下降法更新網絡參數，將LPDE，LIC和LBC逼近最小值，使得損失函數L最小。這確保了在所有域內數據點處都滿足式（9）所表示的物理定律，從而實現熱傳導正問題的求解。

2.3 PINN識別與溫度相關的導熱系數

與PINN求解熱傳導正問題的流程非常相似，都以時間t和坐標xi作為輸入，并通過梯度下降法調整網絡參數。與正問題不同的是，在求解過程中導熱系數是未知的，即PDE未知，但是域內數據點的測量溫度已知。因此，損失函數LIHCP是導熱系數λ的函數。λ隨著損失函數LIHCP的最小化不斷調整，最終逼近其精確值。

3 數值算例

圖6表明，PINN與FEM的計算結果較為吻合，這表明PINN能夠有效的求解非線性瞬態熱傳導問題。從表1可以看出，隨著隱藏層數的增加，計算結果的MAE減小。當隱藏層數取3和5時，計算結果隨著神經元數量的增加變得更加準確。當隱藏層數為7，每層神經元數為20時，MAE最小，PINN性能最好。因此，在后續的算例中，PINN模型中隱藏層數取為7，每層含有20個神經元。由表2可以看出，不同的激活函數對預測結果有較大影響，使用Sigmoid激活函數時，MAE最小，PINN性能最好。因此，在后續的算例中，均采用Sigmoid作為激活函數。

3.1.2 三維熱傳導問題

從圖8可以看出，隨著訓練次數的增加，損失函數逐漸減小。經過20 000次訓練后，損失函數達到極小值。從圖9～10可以看出，采用PINN求解得到的溫度場與FEM的計算結果非常接近，相對誤差較小。計算結果表明，PINN構造了關于溫度的先驗信息，并將物理守恒定律和先驗物理信息編碼到人工神經網絡中，保證了計算結果的精度。

首先，討論不同測點數量對計算結果的影響。在求解域內分別選取3 000、5 000和7 000個數據點作為測點。圖12展示了選取不同測點數量時，訓練過程中損失函數的變化趨勢。表3列出了選取不同測點數量時，計算結果的相對誤差。導熱系數的識別結果如圖13所示。

圖12表明，雖然損失函數的值在初始訓練時較大，但在訓練過程中收斂較快。損失函數在訓練20 000次后趨于穩定，并收斂于固定值，選取7 000個測點時的損失函數最小。由表3可知，隨著測點數量的增加，反演結果更加精確。圖13表明，計算結果與精確解較為吻合，相對誤差較小。結果表明，PINN能夠有效識別未知的導熱系數。

3.2.2 三維熱傳導反問題

如圖14所示，考慮一個帶孔立方體，其上、下表面的邊界條件分別給定為T = 0和T = 10e-t，其余表面的邊界條件為q = 0，0≤t≤1。

討論不同測量誤差對計算結果的影響，測量誤差分別取為1 %、3 %和5 %。圖15展示了4個未知參數在不同測量誤差下的計算過程。表4給出了不同測量誤差下，PINN的計算結果。識別的導熱系數如圖16所示。

從圖15可以看出，在訓練過程中，隨著訓練次數的增加，未知參數收斂到一個固定值。由于測量誤差的影響，收斂曲線會產生波動。同一參數在不同測量誤差下的曲線不同，但曲線的變化趨勢相同。由表4可知，隨著測量誤差的增大，計算結果的相對誤差變大。從圖16可以看出，計算結果與精確解吻合較好，當測量誤差取為5%時，仍可得到較為精確的反演結果。這里需要指出，由于k2精確解的數值較小，使得反演結果的相對誤差較大，但是從圖16依然可以看出，反演結果與精確解較為吻合。

4 結 論

基于PINN求解了非線性瞬態熱傳導問題并識別了隨溫度變化的導熱系數。擴展了數據驅動方法的應用范圍。

對于非線性瞬態熱傳導正問題，PINN引入了關于溫度的先驗信息，并將物理守恒定律和先驗信息編碼到人工神經網絡中，保證了求解精度。討論了不同隱藏層數、神經元數量和域內數據點數量對計算結果的影響。數值算例表明，PINN能夠有效求解非線性瞬態熱傳導問題。隨著隱藏層數、神經元數量和域內數據點數量的增加，計算結果變得更加準確。

對于導熱系數識別問題，分別考慮了由指數函數和分段函數表示的與溫度相關的導熱系數，并討論了不同測點數量和測量誤差對計算結果的影響。計算結果表明，PINN能夠有效的識別隨溫度變化的導熱系數。隨著測點數量的增加和測量誤差的減小，計算結果變得更加準確。

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（編輯 鄭潔）