基于核心素養提升的有效教學方法探究

摘" 要：數學核心素養的提升是一個漫長的過程，需要經過長期的滲透和積累，需要循序漸進、螺旋上升。有效教學探究是提升核心素養的重要手段之一。教師可以通過創設合適的問題情境，培養學生的問題意識；開展層層追問，不斷地進行聯想轉化，直抵問題核心；在探究的過程中，引導學生利用數學思想方法為指引，找到解決問題的思路。文章以“圓周角”（第1課時）為例，探討如何通過引導學生有效探究，提升學生的數學核心素養。

關鍵詞：學生探究；核心素養；數學思想方法

一、創設情境，有效探究

數學來源于生活，又服務于生活。創設一個學生覺得好玩又有用的生活情境，能激發學生的好奇心和探索興趣，所以有效探究的方法之一，往往始于情境創設。在“圓周角”的教學中，很多課例都是通過類比圓心角，直接引入圓周角的概念。本案例以體育課足球訓練為背景，創設足球射門的情境。足球射門是學生熟悉又感興趣的一項運動，用足球射門來引出圓周角，更能調動學生對圓周角進行探究的積極性。

情境如下：如圖１，體育課上，教師在球門前劃了一個圓圈，訓練學生在無人防守的情況下，進行射門練習。甲、乙兩名同學分別在Ｃ、Ｄ兩個位置，兩位學生都說在自己的位置是射門的最好位置，請你從數學的角度進行解釋。

大多數學生認為Ｄ位置比較好。從圖形直觀上，位置Ｄ射門角度似乎更大。學生很自然地把射門位置的優劣轉化成面對球門時，比較兩個位置射門角度的大小。這就是用數學的眼光來觀察現實世界。事實上，僅從射門角度考慮，位置Ｃ和Ｄ的角度是一樣的。利用“幾何畫板”，進行動態演示，學生不難得出結論：球門所對的圓弧，無論在哪個位置進行射門，角度都是不會發生變化。當直觀猜想與科學測量產生沖突和矛盾時，學生便產生了進一步探究的興趣。

青春期的學生正處于好奇心和求知欲迅速發展的階段。在他們的內心深處，都希望自己能夠親身去經歷和體驗探究發現的樂趣，這種樂趣能夠讓學生不怕挫折，不辭勞苦，積極探索。數學情境的創設，也可以是純數學情境，只要能夠激發學生思考的興趣，讓學生愿意嘗試去探究和發現，就是合適的情境。

二、層層追問，聯系轉化

發現問題，才有可能進行創新。能提出問題，才能進行有效思考，思考才不至于盲人摸象，毫無頭緒。因此培養學生的“問題意識”至關重要，教師要給學生示范如何提問題，如何提出有價值的問題，鼓勵學生大膽提問題。

為了讓學生更好地明晰圓周角的定義，不妨讓學生動手自己畫一個圓周角，如圖２。動手作圖，能根據定義準確作出圓周角，才是真正理解圓周角的定義。通過收集學生的作圖，進行投影展示，再次進行辨析，深化學生對定義的理解。

現在已經明確研究的對象是圓周角。可是如何證明這些圓周角相等。如圖３所示，教師可引導學生繼續深入觀察足球射門情境中這三個圓周角。這三個角的共同點是什么。通過“幾何畫板”演示，拖動點Ｄ在優弧ＰＣＱ上運動，會發現隨著動點Ｄ位置的改變，出現了無數個圓周角。在這個變化的過程中，有一點是不變的，就是這些圓周角始終對著弧ＰＱ，或者是弦ＰＱ，這就是這些圓周角的共同點。教師要引導學生觀察研究對象的異與同，在變中尋找不變，把研究問題的主要思路教給學生。

撥開迷霧，找到這些圓周角的共同點，依然無法證明它們相等。但學生已發現這三個角有了聯系，就是對著同一段弧，只是這個聯系還不夠深入。教師需要繼續挖掘這種聯系。既然弧的聯系還不夠，是否還能夠繼續轉化。引導學生回顧前面學過的圓的有關知識點，自然想到有弧、弦、圓心角的關系這一知識點。由前面所學“知一推二”的性質可得：可以將弧等價轉化為圓心角的問題。通過不斷地聯想、聯系和轉化，可以發現這三個圓周角和它們所對的圓心角可以建立聯系。通過學生動手畫圖和“幾何畫板”動態演示，不難發現，弧和圓心角都不變，但圓周角有無數個位置，無數種可能。

學生思路又清晰起來，繼續進行探索。此時，教師可以追問學生：數學研究的對象是數量關系和空間形式，那么圓周角和它們所對的圓心角，是否蘊含著某種特殊的數量關系呢？鼓勵學生分組合作，先大膽地進行幾何直觀猜想，再自己動手作圖，用量角器進行測量驗證。幾乎大部分學生都能得到測量結果：此時圖形上圓周角的度數等于圓心角的一半。然而會不會有測量誤差呢，這些個例能代表所有的情況嗎？即對著同一條弧的圓周角和圓心角均有如此的數量關系嗎？研究到此，學生已經非常興奮，而且非常自信，他們認為同一弧所對的圓周角是圓心角的一半這一數量關系肯定成立。為了加以驗證，教師繼續用“幾何畫板”進行動態演示，發現只要對著同一條弧，無數個圓周角永遠等于此時圓心角的一半。既然同一段弧所對的圓周角度數都等于圓心角的一半，而圓心角不變，那么這些圓周角自然都是相等的，射門角度相等的問題就迎刃而解。

在此過程中，教師要引導學生善于觀察，要有發現問題和提出問題的意識，要學會層層追問，不斷地去聯想、聯系和轉化，終可豁然開朗，直抵問題本質。

三、用數學思想方法引導探究

數學思想方法蘊含在數學的基礎知識中，是數學的本質和靈魂。在復雜多變的問題情境中，利用數學思想方法，能幫助學生不變應萬變，找到解決問題的靈感和思路。掌握數學思想方法，用數學思想方法引導學生進行探究，可以事半功倍。

在問題情境中，學生通過觀察和猜想，已經發現了圓周角和圓心角，圓周角和圓周角之間存在特殊的數量關系。只要證明了圓周角和圓心角之間的特殊數量關系，圓周角和圓周角數量關系的證明自然就水到渠成了。

在數學領域，猜想和證明是兩個重要的組成部分。但是猜想僅是問題的起點，還不能直接作為問題的結論。只有通過嚴密的邏輯推理驗證后，猜想才能成為一個定理。應該如何進行證明呢？

（一）分類討論

同一條弧所對的圓周角有無數個，“無數”個圓周角是無法每一個都一一去驗證的。這“無數”個圓周角中，會不會存在著某些還沒有發現的相同性質呢？這個共性肯定是存在的，否則無法繼續進行驗證。但這個共性在這里學生很難看得出來，是教學的難點，需要教師在課堂上及時進行點撥，此處不宜糾結太久時間。不妨放手讓學生自己作圖，畫出同一條弧所對的，不同位置的多個圓周角，先嘗試自己進行觀察歸納。教師演示“幾何畫板”，如圖4所示，當動點Ｐ從點Ａ運動到點Ｂ位置，提醒學生觀察，圓周角和圓心的位置關系。隨著幾遍動點緩慢移動的演示，學生不難發現，在點Ｐ運動的過程中，存在著兩個特殊的位置，即圓心有兩次出現在圓周角的一條邊上，這種情況僅出現兩次。其他情況可歸納為：圓心在圓周角的外部和圓心在圓周角的內部。故以圓心與圓周角的位置關系為標準，進行分類討論，可以實現“無限化有限”，以有限研究無限的目的。讓學生體會到分類討論思想的重要性，此處沒有進行分類，問題就無法繼續研究下去。

至此，可歸納出圓周角和圓心角的三類位置關系：圓心分別在圓心角的外部，邊上和內部。因此每一類情況中，只需要選擇這一類中的任意一種情況進行驗證即可。

分類討論的思想非常重要，不僅廣泛應用于數學的各類解題和證明中，同時也是現實生活中，分析問題和解決問題非常重要的邏輯推理的工具。長期對學生進行這樣的滲透和訓練，可以讓學生的思維更加全面和縝密，有助于形成和發展學生的核心素養。

（二）類比、轉化和模型

分析和解決幾何問題時，往往可以根據幾何圖形的復雜程度，采取由易到難，由簡單到復雜的解題策略。根據這個思路，接下來應該證明當圓心在圓周角內部的情況。在過往學習幾何的經驗中，學生已經有把復雜圖形轉化成簡單圖形的經驗，比如把四邊形的問題轉化成三角形來解決。應用類比的經驗，教師可以引導學生是否可將圓心在圓周角內部這種情況進行轉化？將四邊形問題轉化為熟悉的三角形問題來分析？受此啟發，學生不難想到作輔助線，即連接ＣＯ。

教師再引導學生觀察和歸納“小紅旗”模型，如圖4作連接ＣＯ并延長交圓于點Ｄ的直徑，不難證明當圓心在圓周角內部時∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ＝2∠ＡＣＯ＋ 2∠ＢＣＯ＝2（∠ＡＣＯ＋∠ＢＣＯ）＝2∠ＡＣＢ。此時，教師要及時引導學生進行歸納，讓學生體會應用“小紅旗”模型解決問題的簡便。

當圓心在圓周角外部時，這種情況更復雜，但有了前面的經驗，提示學生構造模型，在復雜圖形中分離出兩個“小紅旗”的模型，如圖5，可以得到∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＤ-∠ＡＯＤ＝2∠ＢＣＯ-2∠ＡＣＯ＝2（∠ＢＣＯ-∠ＡＣＯ）＝2∠ＡＣＢ，不難證明結論。綜合以上幾類情況，至此，圓周角定理得證。為了加深學生印象，教師可以通過“幾何畫板”進行動態演示，將“小紅旗”左右翻折，讓學生對構造“小紅旗”的模型思想更深刻，滲透和體會模型思想能讓結論證明變得更加簡單易懂。

四、結語

開展數學探究活動，讓學生經歷觀察、實驗、猜想、類比等思維活動，成功的喜悅和自信，失敗時不輕易放棄的信念，是提升學生數學核心素養非常好的方式之一。在探究活動中，通過精心創設學生感興趣的問題情境，培養學生的問題意識，滲透、提煉和概括數學思想方法，讓學生學會在數學思想方法的指引下進行問題研究，可以讓數學的探究活動更加有效。數學教學不僅要傳授數學知識，訓練技能，更要揭示數學的本質，教學生如何進行正確的思考。要通過有效的數學探究活動，將數學的思想方法和數學精神品質，通過長期的潛移默化，潤物無聲，發展成學生將來生活和工作的思維方式，提升學生的核心素養，使學生受益終生。

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（責任編輯：廖" 藝）