“數是對數量的抽象”的教材編排特點及教學建議

新教材編排特點及其使用建議

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調落實立德樹人根本任務、確立核心素養導向、把握數學本質及設計結構化課程等要求。這些新要求在一年級上冊主要體現在“數是對數量的抽象”“數概念的一致性”“加減法的‘相等模型’”以及“情境育人”等方面。那么，如何幫助一線教師讀懂和使用好新教材？本期特邀劉加霞教授和她的研究團隊圍繞這些變化介紹新教材的編排特點，并提出相應的使用建議，為廣大教師落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求，使用好新教材提供教學參考。

【摘 要】抽象是思維活動的基礎。自然數概念的形成需經歷抽象的過程：數詞+量詞描述、準符號表示、符號表示和普適階段。人教版教材在編排數概念內容時，強調“直觀呈現數概念的抽象階段；‘后繼數’是數概念的抽象本質；數概念蘊含了兩個重要數學思想”，以突出數的抽象過程。在數概念教學時，要重視數數時強調“一一對應”思想、設計具有挑戰性的學習任務、多種方式記錄數數的過程，為激發學生的學習興趣、為學生能夠抽象出數概念積累素材。

【關鍵詞】數概念；抽象；教材編排特點；教學建議

數學教材是數學課程理念的基本物化形式。2024年9月小學數學開始使用與《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）相配套的新教材。2022年版課標中明確提出關于“數與運算”的內容要求：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識。”那么，什么是抽象？新教材如何體現“數是對數量的抽象”？用好新教材有哪些建議？本文結合人教版教材一年級上冊“20以內數的認識”教學內容進行具體分析。

一、抽象的三個層次：簡約階段、符號階段與普適階段

抽象是思維活動的基礎，只有當個體具備了相應的抽象能力，才能從感性認識中獲取事物（事件或實物）的本質特征，進而實現向理性思維的躍升。數學抽象貫穿于數學產生、發展和應用過程，學生對數學的學習離不開數學抽象的逐步深化，而數學抽象的產生也遵循一定的邏輯順序，即不同層次的抽象階段。

抽象過程可以劃分為簡約階段、符號階段和普適階段。簡約階段著重于“把握事物的本質，把繁雜的問題簡約化、條理化，能夠清晰地表達”。符號階段則涉及“去掉具體的內容，使用概念、圖形、符號、關系來表述已經簡約化了的事物在內的一類事物”。普適階段則指“通過假設或推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物”。［1］1“數是對數量的抽象”也經歷這三個階段。另外，在具體數概念的抽象過程中，還會經歷更具體、特有的過程：數詞+量詞描述、準符號表示、符號表示和普適階段。人教版教材在編排時沒有刻意強調“簡約階段”，因為所數的對象限制在“物理屬性都相同”的一類事物。如四朵花、四個南瓜等，所數的對象都是“花”或“南瓜”，每類對象的物理屬性相同。

人類對數量多少的感知可能早于語言的形成，但將數量的多少抽象為數概念的過程卻相當不易。數概念的形成來源于對數量本質的抽象，即“數量多與少”。從數概念發展的角度看，將對數量的感知抽象為數字符號表達是一個復雜的過程，主要包含以下四個階段，如表1所示。

表1 數概念的抽象階段

[階段 解釋 舉例 第一階段：用“數詞+量詞”描述數量多少 帶量詞的數字僅是對現實事件的一種記錄，并未抽象為“數”。該階段又可以分為兩個層級：數量在五個以內時，人們能通過直覺感知事物的多少；五個以上時，則通過計數來確定數量的多少 能直覺地感知“四個南瓜”比“三個南瓜”多；

能夠用五個蘋果、五根手指、五個涂色圓圈等描述現實事物的數量 第二階段：舍棄現實背景，用準數字符號表示數的大小 去除“量詞”及“事件”，僅保留“數”，并按照“五進制、十進制”原則用數字符號表示，從“數量多少”轉化為“數的大小” 僅有十進制的“準符號系統”，如古埃及象形數、用漢語表示的數和羅馬數 第三階段：舍棄現實背景，用數字符號表示大小關系 去除“量詞”及“事件”，僅保留“數”，并按照“十進制、位值制”原則用數字符號表示，“數量多少”轉化為“數的大小”；數除了表示“順序、大小”之外，沒有任何其他含義，所有的符號構成一個集合，即數集，從而形成真正的數概念 十進位值制計數系統：借助“位值”原則，僅用0～9這十個數字，即可以表示所有的自然數 第四階段：運用抽象出的數字符號，即普適階段 抽象出的數字符號可以表示現實世界中具有不同屬性事物的數量，也可以表示事物的位置或順序，甚至可以表示數軸上的點 如“5”既可以表示5個蘋果或其他物體的數量，也可以表示排列中的第5個蘋果，還可以表示數軸上從原點開始的第5個點 ]

各版本教材在抽象出數概念時基本遵循了上述四個階段，對于前兩個階段學生已有較為豐富的經驗，因此教材并未進行過多介紹。但在第三階段，仍需借助半抽象、半直觀的“幾何圖形示意圖”作為學習支架，進一步抽象出數概念。例如，將“五個蘋果、五根手指”等用“擺五個圓片、小棒”來表示。

二、關于“數是對數量的抽象”的教材編排特點

人教版教材一年級上冊涉及數的認識主要有“5以內數的認識和加、減法”“6～10的認識和加、減法”“11～20的認識”三個單元。學習內容主要包括從事物數量角度抽象出數的基數含義、數的序數含義、數的組成、數的順序、數的大小比較以及加減法運算，這些內容以數數貫穿于始終，突出計數單位“一”“十”的作用。從教材內容編排而言，它提供特殊的直觀模型和關鍵提示語為邏輯主線，凸顯“數是對數量的抽象”和“數概念的一致性”。

（一）直觀呈現數概念的抽象階段，突出數的抽象過程

1.教材內容編排基本呈現數概念抽象的四個階段

人教版教材在數的認識內容編排上主要呈現了“數的現實背景—數的抽象過程—數的生活運用”三個環節。例如，“5以內數的認識”是第一次正式建立數概念的單元，教材以“新農村”主題圖為現實背景，從主題圖中的不同類事物的數量抽象出1～5各數，即體現了抽象的“數詞+量詞”階段（四個南瓜）到符號階段（數“4”）的過渡。進一步追問“4還可以表示生活中哪些事物的個數”這一開放性問題，讓學生感受抽象出來的數能表示很多不同類事物的個數，即體現抽象的普適階段。由不同類現實事物的數量到抽象的數，這一抽象過程人教版教材采用了“結構化涂色卡”這一學具，該學具承載著豐富的育人價值。

2.借助“結構化涂色卡”直觀模型，突出數的抽象過程

數的抽象過程首先是在具體的現實背景中能感知和描述數量，然后脫離現實背景，用數字符號表示數量的多少。那么，如何讓學生感知“脫離現實背景”呢？人教版教材在“5以內數的認識”和“6～10的認識”中分別引入“5×1結構化涂色卡”（如圖1）和“5×2結構化涂色卡”（如圖2），作為感知“脫離現實背景”的認知支架。

在1～5各數的抽象中，教材提供“5×1結構化涂色卡”，讓學生發現，因為“四棵向日葵”“四個南瓜”的數量都與“5×1結構化涂色卡”中的“4個涂色的圓”的數量對應，所以可以用數“4”表示；而在6～10各數的抽象中，教材遷移1～5各數抽象的學習經驗，在“5×2結構化涂色卡”上，建立實物數量與“涂色的圓”數量的對應關系，并抽象出各個數。

可以看出，“結構化涂色卡”不僅是讓學生感悟“數是數量的抽象”的橋梁，更是滲透以“5個 ”“10個”作為認識數的標準，將其他數都與“5”“10”作比較，體會數的順序與大小關系。強化以“五”“十”為標準，這既為理解十進制做鋪墊，也為學習乘法、圖形面積作孕伏。因此，人教版教材這次新增的“結構化涂色卡”是重要的學習工具，它遠比讓學生邊數數、邊擺圓片（或小棒）更有教育價值。

（二）強調“后繼數”是數概念的抽象本質

數量的“多與少”，最簡單、最樸素的表達形式體現為“多一個”或“少一個”，“加1”是自然數及其運算的核心，“1”是最為關鍵、基礎且樸素的計數單位。數學家皮亞諾建立了自然數的序數理論，即規定某一特定數（如1或0）為起始數，起始數“加1”得到第二個數即起始數的“后繼數”，通過連續地“加1”就可以得到無限多個“后繼數”。所有抽象出的數構成自然數集，在該集合中存在最小的數，所有數之間存在序關系、大小關系。

1.用多種學具直觀表示“加1”，滲透計數單位“一”

人教版教材在認識數的過程中，特別強調“后一個數是由前一個數‘加1’得到的”，在數數過程中滲透數的順序和大小關系，同時也滲透加法運算，即加法運算的本質是“加1”。例如，“5以內數的認識和加、減法”和“6～10的認識和加、減法”都特別強調“加1”（如圖3）。

在圖3中，盡管小正方體和計數器均為實物，但它們是具有特殊意義的學具，有助于學生發現其中的數學規律。例如：“一顆珠子，可以用1表示；一顆珠子上再撥一顆珠子就是兩顆，可以用2表示……”“一個小正方體可以用1表示，兩個小正方體可以用2表示，2里面有兩個1……”基于學具表示的數量抽象為數，進而可以描述“1再添1就是2，2再添1就是3……”“2里面有兩個1，3里面有三個1……”。據此可以發現，圖3所示的“撥一撥，數一數”活動實際上是符號抽象層面的學習活動，其目的在于運用1～5之間“加1”的內在規律，描述1～5的數概念，滲透“個（一）”作為計數單位，為后續學習“十”作為計數單位奠定基礎，而計數器是發現1～5數之間“加1”內在規律的重要學具，小正方體是滲透“一”作為計數單位的重要學具。

2.從借助“量的多少”逐漸過渡到借助“數的順序”判斷數的大小，滲透數的大小關系的傳遞性

人教版教材根據數的認識的三個單元，先后出現三次“數的大小”內容，而比較數的大小的策略從“量”過渡到“序”的同時，滲透數的大小關系的傳遞性。例如，在“5以內數的認識”中首次出現“比大小”，是在“猴子分水果”的情境中借助“一一對應”策略，用數量多少判斷數的大小。在“6～10的認識”中再次出現“比大小、第幾”，是在“頭對齊”的多行中分別排列5～9個小正方體（如圖4），借助數量多少判斷數的大小的同時，讓學生體會數的大小關系的傳遞性；在“11～20的認識”中第三次出現“比大小”，是借助11～20“數的順序”，在判斷數的大小的同時，滲透數的大小關系的傳遞性。

（三）強調數概念蘊含了兩個重要數學思想：十進制、位值制

受到手指計數習慣的影響，大多數民族在抽象數概念時普遍采用“十進制”，這是一種非常樸素的數學思想。然而，創造出位值制卻頗具挑戰。若計數單位無限多個，是否需要創造出無數符號來表示？智慧的人類發明了依靠符號所在“位置”來表示數值大小，即同一個數字符號在不同的位置上可表示不同的值，這就是數概念中的位值制思想［1］10。因此，人教版教材在“11～20的認識”單元特別增設了“10的再認識”這一課時，旨在讓學生初步感受“十進位值制”思想，即“10”這個符號蘊含豐富的數學內涵。

1.通過不同層次的學具，凸顯“十”作為計數單位的創造過程

隨著數的不斷變大，需要創造更多的“計數單位”，而“十”是學生需要認識的第一個創造出來的計數單位（用“一”表示個數是人的本能）。為了幫助學生理解“十”的創造過程，教材利用可以“打捆”的小棒滲透十進制思想，同時利用能夠標識“數位”的計數器和數位表滲透位值制思想（如圖5），凸顯“10”的兩重含義：10個一、1個十。

2.探究“10”的符號意義，感悟位值制思想

教材提示學生探究“10中的‘1’和‘0’分別表示什么？”（如圖6）學生在解釋“10”的符號意義過程中，理解不同數位上的數表示不同的計數單位意義，從而再次感悟位值制思想。

教材在“5以內數的認識”和“6～10的認識”中，注重數的抽象過程，并滲透十進制、位值制思想。在“11～20的認識”中則強調數的符號意義，其基礎仍然是數數和數的抽象過程。然而，教材中關于“數的大小比較”已經超越了量的多少比較，借助于數的順序進行大小比較。在后續“100以內數的認識”“萬以內數的認識”“大數的認識”的大小比較中，逐步轉變為根據數的符號意義（比較相同計數單位的個數）進行比較。由此可見，在數量抽象為數，再用符號表示數的過程中，引入十進制和位值制后，符號獲得了數學意義，而這種數學意義本質上也是“量”的意義，但表達的是不同計數單位的數量。因此，筆者認為“數是對數量的抽象，符號是對數量抽象的表示”。

三、用好新教材實現課程目標的幾點建議

教材是教師和學生開展教與學活動的重要資源，讀懂教材能有效地確定教什么以及怎么教。著名特級教師于永正說：“這法，那法，不會鉆研教材就沒法。”這充分說明了鉆研教材的重要性，而教材分析是中小學教師的一項基本功。［2］如前文所述，數數貫穿于“20以內數的認識”，那么，教學時如何借助數數過程，讓學生感悟“數是對數量的抽象”呢？

（一）數數時強調“一一對應”思想

“一一對應”思想是最樸素、最重要的數學思想之一，是數概念的產生、比較數量多少（數的大小）以及數的順序的基礎。例如，在教學圖2中的數“6”的抽象時，教師可以引導學生在“5×2結構化涂色卡”上對與魚的數量相同的圓進行涂色。當學生數出6條魚，并在“5×2結構化涂色卡”上對6個圓進行涂色時，6條魚、6個圓都可以用數“6”來表示，即點數時，數到幾就是幾。這里的“數到幾”的“幾”是數量，“就是幾”的“幾”是數，通過這種方式，滲透“數是對數量的抽象”。

教學時，教師應借助日常生活中的實例，讓學生體會到“一一對應”思想無處不在。例如，每人坐1把椅子，一個小組有4人就需要4把椅子、有5人就需要5把椅子；如果只有4把椅子而有5人，則必然有1人沒有椅子坐。這是“搶椅子”游戲原理，也是后續學習加減法的基礎。

（二）設計具有挑戰性的學習任務，激發學生對數數的興趣

當數量較少時，具有挑戰性的數數任務主要包括兩類：一類是尋找個數“幾”的所有物品。例如，在教室里找一找個數為“4”的物品，看誰找得多。這個任務具有一定的挑戰性，能夠激發學生的學習興趣。另一類是游戲性活動。例如，比眼力游戲：教師閃現一下個數為“2”的物品，然后看誰能說出是2；隨后是4個、5個等，物品的擺放順序可以是“散亂的”，也可以是“排成一行的”，讓學生猜一猜再數一數來驗證“自己的眼力”。

當數量較多時，給學生提供熟悉的、有趣的、多樣化的數數素材，讓學生產生數數興趣。數數素材的來源主要有兩條途徑：一是教材。教師應挖掘教材中主題圖，引導學生按照一定的順序觀察，培養分類意識，能夠分辨可數物品的類別。二是學生身邊的環境。教師引導學生數身邊的物品，如桌椅、書本等。總之，讓學生數一數身邊熟悉物品的個數，看誰數得又快又準、看誰數的物品更多等，引導學生用數學的眼光觀察周圍世界，從而發現數數活動無處不在。

（三）多種方式記錄數數的過程，同伴之間“相互讀懂”并驗證數數結果

數數的方式可以多樣化，那么，如何記錄數數的過程呢？學生可以在涂色卡上涂色，也可以用擺小棒、畫圓圈等方式表示所數物品的數量。多樣化的記錄方式為學生相互交流“數數過程”提供了素材。利用這些素材組織學生相互讀懂、相互評價數的對錯，并感悟“數是對數量的抽象”。在交流過程中，學生再次認識到數數不考慮數的對象，只關注它們的個數，個數相同就用同一個數字符號表示，進而感悟“個”是數數的基本單位。

“十”是第二個計數單位，學生對“10”的理解存在三個階段：原始階段，即將10理解為10個一，并不認為十是一個單位，當涉及以十為單位的事物時，他們仍會逐個計數；中級階段，即將10理解為由10個一組成的單位，但仍需依靠實物或具體表征來完成以十為單位的計數任務；高級階段，即無須實物或具體表征的幫助，就能解決以十和一為單位的任務，能將兩位數看作是由幾個十和幾個一組成的不同發展水平。為此，在教學中應為學生提供可操作的、直觀化的學具，幫助學生從原始階段逐漸發展到高級階段。例如，為學生提供三個層次的直觀化學具，即無結構的直觀化學具（打散的小棒、第納斯木塊）、有結構的直觀化學具（十根1小捆、百根1大捆的小棒）、有結構的半直觀半抽象學具（計數器）等，引導學生意識到在“無結構”轉化為“有結構”的過程中，需要創造新的計數單位，而新的計數單位與數量多少有關。

參考文獻：

［1］史寧中.數學思想概論（第1輯）：數量與數量關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2008.

［2］吳立寶，王光明，王富英.教材分析的幾個視角［J］.教育理論與實踐，2016，36（23）：39-42.

（北京教育學院數學與科學教育學院）