一題多解訓練思維 引申拓展培養能力

圓錐曲線中的點的軌跡方程的求解在近幾年高考中頻繁出現，受到命題者的青睞.對于此類問題，常見解題方法有直譯法、定義法、交軌法等，思路比較靈活，運算量往往較大，既要算理的合理又有算法的要求，對考生的直觀想象、思維能力、數學運算等數學核心素養要求較高，從而導致考生在解決問題時容易造成丟分.針對這一問題，筆者以一道2024年高考試題為例，談談其解法及其拓展，與讀者共同來探討.

一、真題呈現

（2024年高考新課標Ⅱ卷第5題）已知曲線C：x2+y2=16ygt;0，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為 （" ）

A.x216+y24=1ygt;0

B.x216+y28=1ygt;0

C.y216+x24=1ygt;0

D.y216+x28=1ygt;0

二、解法探究

解法1：（相關點法）如圖1，設點Mx，y，Px0，y0， 因PP′⊥x軸，故P′x0，0.

又因M為線段PP′的中點，從而x=x0，y=y0+0/2，再反解出x0，y0得：

x0=x，y0=2y.代入曲線C：x2+y2=16ygt;0得：x216+y24=1ygt;0.故選A.

解法2：（參數法）設點Mx，y，因P在曲線C上，由圓的參數方程可設P4cosθ，4sinθ，θ∈0，π.因PP′⊥x軸，故P′4cosθ，0.又因M為線段PP′的中點，從而：

x=4cosθ，y=2sinθ，消去參數θ可得：x42+y22=cos2θ+sin2θ=1，整理此式得：

x216+y24=1ygt;0.故選A.

解法3：（伸縮變換法）求線段PP′的中點M的軌跡，即在y軸方向上壓縮至原來的一半，而在x軸方向上不變，在此伸縮變換下，圓的半徑為4，壓縮后變為長半軸為4，短半軸為2的橢圓，也即x216+y24=1ygt;0.故選A.

三、一般性探究

結論1：已知曲線C：x2+y2=r2ygt;0，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，且PM=λMP′，則點M的軌跡方程為x2+1+λy2=r2ygt;0. 證明同解法1，從略.

四、拓展歸納解析幾何中點的軌跡問題的求解策略

類型一：直譯法求解點的軌跡問題

例1.在直角坐標系xOy中，已知點A－2，0，B2，0，動點Mx，y滿足直線AM與BM的斜率之積為－12.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；

解析：因動點Mx，y，故直線AM的斜率為yx+2x≠－2，直線BM的斜率為yx－2

x≠2，由題意可知，yx+2·yx－2=－12，化簡可得：x2+2y2=4x≠±2，所以曲

線C是以坐標原點為中心，焦點在x軸上，不包括左右頂點的橢圓，其軌跡方程為：

x24+y22=1x≠±2.

例2.設橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0過M2，1，且左焦點為F2，1，（1）求橢圓C的方程； （2）當過點P4，1的直線l與橢圓C相交于不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足APQB=AQPB，證明：點Q的軌跡為一條定直線.

解析：易得第（1）問為x2+2y2=4.（2）設Ax1，y1，Bx2，y2，Qx，y，顯然直線l與x軸不垂直，設l：y=kx－4+1，代入橢圓C：x2+2y2=4，化簡得：1+2k2x2+4k·

1－4kx+32k2－16k－2=0，則有x1+x2=4k4k－11+2k2，x1+x2=32k2－16k－21+2k2……①

又∵APPB=AQDB，∴x1－4x2－4=x1－xx－x2，∴2x1x2－4x1+x2=x1+x2－8x，將①式代入可得：4k+1=k+2x.

而點P4，1，Qx，y均在直線AB上，∴k=y－1x－4，從而4y+x－8=2x+y－9x，化簡整理得：2x－y－2=0.所以點Q的軌跡為一條直線2x－y－2=0.

點評：當遇到曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關系時，則可以采用直譯法求其點的軌跡方程.其一般求解步驟為：①設點，②列式，③化簡，④檢驗.這里求動點的軌跡方程時要注意進行檢驗，即除去多余的點，補上遺漏的點.

類型二：定義法求解點的軌跡問題

例3.如圖2，設圓x2+y2+2x－15=0的圓心為A，直線l過點B1，0且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明EA+EB為定值，并寫出點E的軌跡方程.

解析：因為AD=AC，所以∠ACD=∠ADC，又BE平行AC，

所以∠EBD=∠ACD，因此∠EBD=∠ADC，故EB=ED，

從而EA+EB=EA+ED=AD.又圓A的標準方程為

x+12+y2=16，從而AD=4，所以EA+EB=AD=4.

又A－1，0，B（1，0），因此AB=2lt;AD，由橢圓定義，得點E的軌跡方程為：

x24+y23=1y≠0.

例4在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，記動點P的軌跡為w. "（1）求w的方程.

解析：因點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，故由拋物線的定義知，點P的軌跡為以0，12為焦點，x軸為準線的拋物線，所以焦準距p=12－0=12，頂點為0，14，即頂點由原點向上平移到點0，14，所以w的方程為x2=y－14.

點評：當遇到動點與定點、定直線之間的某些關系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，則適合采用定義法求其點的軌跡方程.其解決的關鍵是如何由題意找到動點所適合的常見曲線的集合特征.

類型三：相關點法求解點的軌跡問題

例5.設O為坐標原點，動點M在橢圓C：x22+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足NP=2NM. （1）求點P的軌跡方程.

解析：設Px，y，Mx0，y0，則Nx0，0，∵NP=2NM，∴x－x0=20，y0，則：

x－x0=0，y=2y0，∴x0=x，y0=y/2，∵M（x0，y0）在C上，代入得P軌跡方程為x2+y2=2.

點評：當遇到所求動點是隨著另一個曲線上的點的運動而運動時，此時適合采用相關點法來解決.其一般步驟為：①明確主動點和被動點；②尋求主動點和被動點的等量關系；③反解出x0，y0并代入曲線方程；④整理關于x，y的關系式得所求點得軌跡方程.

類型四：參數法求解點的軌跡問題

例6.如圖3，已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.

（1）若SΔPQF=2SΔABF，求AB中點的軌跡方程.

解析：設l1：y=a，l2：y=b，ab≠0.則Aa22，a，Bb22，b，

P－12，a，Q－12，b，設AB與x軸的交點為Dx0，0，則SΔABF=SΔADF－SΔBDF=

12b－aFD=12b－a12－x0，SΔPQF=12b－a. 又∵SΔPQF=2SΔABF，∴12b－a·12－x0=12b－a，解得：x0=1，或x0=0（舍去），故D1，0.設AB的中點為Ex，y.

①當AB與x軸不垂直時，由kAB=kED，得：2a+b=yx－1x≠0.而a+b2=y，消去參數a，b，所以y2=x－1x≠1.

② 當AB與x軸垂直時，點E與點D重合，點E1，0在y2=x－1上，綜上，AB中點的軌跡方程y2=x－1.

點評：遇到直接建立動點的橫縱坐標之間等量關系式困難時，此時可以考慮采用參數法取處理.其一般步驟為①引入恰當的參數；②用參數分別表示出x，y.③消去引入的參數，得普通方程.

類型五：交軌法求解點的軌跡問題

例7.已知雙曲線C的中心為原點，左焦點為－25，0，離心率為5．（1）求C方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點－4，0的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

解析：（1）易得C：x24－y216=1.（2）設Mx1，y1，Nx2，y2，∴lA1M：y=y1x1+2x+2，lA2N：y=y2x2－2x－2，設直線MN：x=my－4.與x24－y216=1聯立可得4m2－1y2－32my+48=0，且Δ=64（4m2+3）gt;0，則y1+y2=32m4m2－1①，y1y2=484m2－1②.由y=y1x1+2x+2，y=y2x2－2x－2，得x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=y2my1－4+2y1my2－4－2=my1y2－2y2my1y2－6y1③，再由①得：y1=32m4m2－1－y2.代入③：x+2x－2=－13.解得xP=－1，故點P的軌跡為定直線x=－1.

點評：當遇到所求動點可看成兩條直線的交點時，可以使用交軌法處理.其步驟為：①寫出兩條直線的方程；②聯立兩直線方程，構建方程組；③求出交點坐標；④消去x，y外變量.

五、引申探究

本文探討的高考題實際上是伸縮變換的一個例子，伸縮變換是一種常見的數學變換，它可以將橢圓和圓通過此變換實現互化，并且運用伸縮變換能夠簡化運算、靈活解題.

例8.已知A（0，3）和P3，32為C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上兩點.

（1）求C離心率;（2）若過P的直線l交C于另一點B，且ΔABP面積為9，求l的方程．

解析：（伸縮變換法）如圖4，易得C：x212+y29=1，

令x=23x′，y=3y′，則C變換為圓x′2+y′2=1， 點A0，3變為A′0，1，P3，32變為P′32，12，SΔABP=6

3SΔA′B′P′，A′P′=1，

∠OA′P′=60°.令∠OA′B′=θ，A′B′=2cosθ，∴SΔABP=63SΔA′B′P′=63·cosθ·

sinθ+60°=9，化簡后得sin2θ+60°=32，故θ=0°，或θ=30°，故B′0，－1 或B′－32，－12，∴B0，－3或B－3，－32，

∴l：x－2y=0或3x－2y－6=0.

六、備考建議

上述探討的高考題它也不是無本之源，而是與教材有著緊密的聯系，正是貫徹了高考命題源于教材、高于教材的理念的好題.它來源于人教2019版選擇性必修1第108頁例2，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程是什么？為

什么？之后教材還進一步給出一個思考，由例2我們發現，可以由圓“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發現橢圓與圓之間的關系嗎？這樣教學中只要稍微引申一下即可

理解伸縮變換.另人教2019版選擇性必修1第115頁第9題，DP⊥x軸，垂足為D，點M在DP的延長線上，且DMH∶DP=3∶2，當點P在圓x2+y2=4上運動時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.為數不少的高考題往往是在經典課本習題的基礎上再“包裝一層.因此，高考復習時既要回歸到教材中的概念、定理、公式等的推導過程，又要重視對課本例習題的挖掘，尤其是對教材中那些蘊含豐富的數學思想、開闊的思路的例習題的挖掘，針對這些好題，剖析背后的數學本質，感悟試題設計所蘊含的數學思想等，為高考打好基礎.正如教育專家章建躍所說：在高三的復習備考中，“回歸課標、重視教材才是王道”.

【本文系安徽省合肥市教育信息技術2023年度課題“智慧課堂下利用GGB培養高中生數學探究能力的實踐研究”（項目編號：HDJ23017）階段性研究成果】

【作者簡介：安徽省合肥市高中數學骨干教師，公開發表論文多篇，省高考優秀閱卷員】

責任編輯 徐國堅