新課標視域下幾何直觀素養提升新路徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。以圖助學，可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而達到輕松學數學的目的，提高課堂教學效率?？v覽小學一至六年級共12冊人教版數學義務教育教科書，新授課的例題，都附有直觀形象的實物圖、線段圖、幾何圖、解題思路圖等插圖，教師在教學中若能依據新課標，充分考慮學生學習的自主性、探究性，引導學生另辟路徑認真解讀并使用好這些插圖，必定能釋放學生的心智和思維，激發學生學習的能動性及創造性，變新知的畏怯為探索的樂趣。

借助圖解可以將抽象的數學問題具體化，有助于學生把抽象變成直觀，把復雜變為簡單，把數量關系清晰地呈現出來。也有助于學生更好地理解數學問題，并找到解決問題的策略。還可以幫助學生將復雜的問題簡單化，使解題思路清晰化。

一、實物貼圖，構建數學問題的直觀模型

小學生對抽象的數學知識的理解，經常會依賴于“看”—視角能力，他們通常會把一些信息量大的數學問題想象成一組與自己生活事物為線索或背景的圖像，繼而應用視角模型來解決遇到的數學問題。只有用更逼近學生、更圖文并茂的表達方式，學生才會更輕松理解數學概念。因此，教學中教師可以幫助學生把抽象的數學問題和直觀的圖形聯結起來思考，把數學問題轉化成圖形問題，以圖助學，把復雜問題簡單化、具體化，引導學生在實物貼圖中找到解決問題的規律。

如，在教學“植樹問題”一課時，放手讓學生利用學具動手合作探究，填寫報告單。學生們將磁性的小樹模型貼在模型小路上，在看、量、數、貼的過程中，經歷“每5米栽一棵”“每5米一個間隔”“一個間隔對應一棵樹”三個不同階層的直觀感知，體會了一一對應的數學思想，整個合作交流的過程都是圖形與思維、算式的結合，學生在參與貼圖的過程中發現了植樹問題的變與不變，找到了棵樹與間隔數之間的關系，明白了要求“兩端都栽”的植樹棵數首先要弄清路長里面有幾個間隔長，也就是間隔數，若先數一個間隔對應一棵樹，間隔數再加1就是所要求的棵數，“+1”加的是起點處的那一棵樹，若先數一棵樹對應一個間隔，間隔數再加1，這時的“+1”加的就是終點處的那棵樹，凸顯了“兩端都栽”這一植樹問題的本質，建構了植樹模型。

從“栽”模型小樹到“栽”充滿智慧的植樹模型，學生用不完全歸納法總結規律，經歷知識的形成過程，學得真實又扎實，增強了學習的熱情和自信心。

二、多維動圖，把握數學知識的核心本質

在數學教學中，對于幾何圖形的學習，理解算理是至關重要的，但由于小學生的年齡特點，空間想象力還比較薄弱，只靠單純的剪圖、貼圖、拼圖，有些圖形的計算公式的推導往往只是停留在淺層，而PPT、微課、幻燈片等多媒體輔助性教學資源在提供直觀、生動、形象方面有不一樣的優勢，能展現難于被觀察到的事物及內容，比靜止的圖形、模型更有動感、形象、豐富，若能著眼于教材，有效利用多媒體動圖，深入解剖，學生方能學得深刻。

如，在教學“圓的面積”一課時，有了平行四邊形的面積計算公式的轉化策略的鋪墊，學生們也會想著把圓這個曲線圖形轉化成直邊圖形。彎曲變平直，學生們往往依據直覺，把圓上彎曲的部分剪去轉化成直邊圖形，或者把圓片進行分割重疊轉化成已經學過的平面圖形。在動手操作4等分、8等分、16等分的過程中，學生們通過交流討論明白了不管怎樣剪拼，形狀可以變化，面積大小是不能改變的，并逐漸發現圖形剪拼變化的趨勢，圓等分的次數越多曲線就越接近直邊。由于動手等分的局限，所拼圖形的邊仍有弧度，在這個關節，教師出示多媒體演示動圖，動圖將圓片繼續往下切分，平均分的次數越來越多，學生發現圖形越來越像一條線段，無限分割后，每個分割而出的圖形變成一根針、一根線，此時拼出的圖形就是一個長方形。經歷充分感知的學生由長方形面積計算公式推導出圓的推導公式就變得水到渠成了。

顯性的數學知識學生們慢慢地會淡忘，但是通過動圖理解掌握重點，拓展思維深度，這個深度帶來隱形的數學活動經驗、數學方法思想，更容易提升學生們的核心素養，讓他們終身受用。

三、實踐剪圖，探索解決問題的創新思路

圖形是一種直觀教具，能給人帶來感性認知和整體感知。圖形也是一種特殊語言，比通常的語言更易于讓人接受。數學課上有些學生會覺得數學單調沒趣味，究其原因，主要是害怕數學知識的高度抽象性，因此，如何有效幫助學生主動地參與到數學學習的過程中，數學教學圖形化的作用是不可估量的。教學中教師應多鼓勵學生在抽象的數學知識和直觀的插圖之間開創一條新路，學生們在經歷動作思維到形象思維再到抽象思維的發展過程后，必定能領悟把握一些抽象難懂的數學概念。

如，在教學“24時計時法”一課時，教師可以鼓勵學生把一天時針轉的兩圈刻度分開剪下，拉直變成兩把短尺。學生在短尺上分別標出1～12，起點處的刻度線上卻出現了兩種情況：一部分沒有標上0；另一部分標上0。在這個認知沖突處，點撥學生將短尺還原成鐘表上的圓圈，從而發現鐘表上不是沒有刻度0，而是刻度0和12重疊在一起了。繼續引導學生把兩把短尺接成一把長尺用來表示一天的時間，在剪接圖中，學生自然悟到長尺中間的12也是0，即鐘表上第一圈結束的時間也是第二圈開始的時間，再鼓勵學生關鍵抓住原來第二圈的刻度1和長尺的刻度13展開討論交流得出，兩把短尺是“12時尺”，一把長尺是“24時尺”，形同我們生活中使用的普通計時法和24時計時法。兩種計時法上午的時刻不變，普通計時法下午的時刻加上12就是24時計時法的時刻。

像這樣引導學生動手剪圖直觀表征時間，一方面考慮到借用學生已有的熟練的測量長度的經驗，另一方面也是充分考慮到兒童視角需要直觀性。學生們有了動手剪標時間尺這一直觀形象的支撐，學習新知的整個過程成為學生自我溝通、自我建構的過程，獲得新知的難點自然得以突破。

四、簡易繪圖，建立數與形的直觀聯系

數感是可以“算出來”，算的過程常常是學生鞏固、發展數感的必經過程，這是許多一線老師在實踐中達成的共識。教學實踐中，發現一些數學問題中非本質的屬性常常會成為學生認知的障礙，這時，教師可以創設不同形式、不同思維角度的現實載體，多鼓勵學生進行觀察、比較、分析，引導小學生充分利用直觀的“形”，保留它們的形狀、大小、位置及數量關系等方面的共同屬性，及時抽象、概括，梳理清楚數學問題中數量關系，讓抽象的概念內涵凸顯出來，使之直觀化。

如，在教學“平均數”一課時，教師設計投籃比賽活動情境，小明連續3次投中5個球，小亮分別投了4個、6個、5個，引導學生借助××同學一分鐘投籃成績統計圖（如圖1），表示情境中提供的數學信息，再通過“一次比5多1，一次比5少1”啟發式講解，逐步引導學生得出“這樣倒不如直接將6這邊多的1給4，就都是5個”，這時，師揭示像這樣通過移多補少后得到的同樣多的這個數，數學上就叫作求原來這幾個數的平均數。接著，師出示三幅圖（如圖2），讓學生認真觀察，獨立思考，仔細計算，互相交流，說出自己的發現。

學生在直觀圖的輔助下，思維活躍起來了，說出了多種的想法：（1）前三次不變，最后一次變化，平均數也跟著變化。（2）平均數會隨著其中的一次的變化而變化。（3）總數多4個，平均數并沒有多4個，而是只多1個。（4）如果每次多4個，平均數就多4個。（5）平均數總比最大的數小，比最小的數大……其中（1）、（2）點正是平均數的“敏感易變性”，（3）、（4）點正是平均數的“齊次性”，第（5）點正是平均數的“均差之和為0”。

清晰計算的數據加上生動的直觀圖，輔助學生從各個不同層次，進一步達成了對平均數意義的建構，深化了學生對平均數這一概念內涵的理解與把握。

五、靈活變圖，明晰思維的分析路徑

當復雜抽象的數學問題中遇到直觀形象的線段圖，往往不需要過多的話語，學生自己就會一覽了然、心領意會，這就是圖形無窮的魅力。當學生的思維有了圖形的支撐，思考起來也就收放自如。圖形化讓數學知識變得靈動起來，讓學生們的眼里蹦出智慧的火花。借助圖形來思考數學問題，不僅可以從圖中清晰地看見題中的數量關系，還能快速找到解題路徑。若學生能把一個特定的問題轉變成一個個不同的圖形，那就說明學生對問題已經有了自己的思路，甚至是一種新想法。

如，在教學“比的應用例2”一課時，在新知學習之前，學生已經有了分數乘除法、比的意義、比的基本性質等知識儲備，教學時，不妨鼓勵學生參照原圖將題意用不同的圖表示出來。

通過變圖和說理由，學生們的解題思維活躍起來了，想出多種解法，解法一：依托圖3濃縮液有一份畫1格，水有四份畫4格，500ml是稀釋液共5份。先求每份數量：500÷（4+1）=100（ml），水的體積100×4=400（ml），濃縮液的體積100×1=100（ml）。解法二：依托圖4或圖5按分數乘法，也就是把稀釋液500ml看作單位“1”，其中濃縮液占1/5，水占4/5。水的體積500×4/5=400（ml），濃縮液的體積500×1/5=100（ml）。解法三：依托圖6用分數除法，1∶4是濃縮液和水的關系，那么濃縮液就是水的1/4，把水的體積看作單位“1”，500÷（1+1/4）=400（ml）求出單位“1”，400×1/4=100（ml）求出濃縮液。解法四：依托圖4明白水是濃縮液的4倍，是倍數關系，可列出方程解，解：設濃縮液的體積是xml，水的體積是4ml。x+4x=500。也可解：設水的體積是xml，濃縮液的體積是1/4ml。x+1/4x=500。

真是一石激起千層浪，借助變圖，在圖中尋找新舊知識的聯系與區別，尋找數量關系，從多個角度分析思考問題，誘發了學生的創新意識，激活了學生的創新思維。

總之，新課標視域下，教學中教師應該有意識地引導學生構建數學問題的直觀模型，學會把數學問題圖形化，啟發學生從中尋找解題規律，掌握解題方法，開拓解題思路，提高多種思維能力，以期全面提升數學素養。

【注：本文系莆田市教育科學2023年度立項課題“新課標視域下小學數學大單元教學的實踐研究”（課題編號：PTMS2023025）階段性研究成果】