簡畫圖深思考，探規律建模型

“植樹問題”是人教版五年級上冊第七單元的內容，它是小學數學中一個經典的數學模型問題，它不僅涉及數學計算，還蘊含了豐富的數學思想和方法。教學目標旨在通過數學探究活動，使學生體會植樹問題的規律，建構數學模型，并解決實際生活中的相關問題。教學重點在于發現并理解植樹問題中間隔數與棵數的規律，難點在于應用這一解題思想解決生活中的實際問題。本節課我充分讓學生通過數形結合的方法，理解在植樹問題的各種情況中：“棵數”“間隔數”“間隔長”三者間的關系，并會應用本課學習的數學模型解決一些相關的實際問題。

一、在猜想中體會化繁為簡

教師以“3月12日植樹節”為引子，通過提問引導學生思考如何植樹，從而引出“植樹問題”。這種情境創設方式貼近學生生活，能夠有效吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣。接著呈現教科書例1：同學們在長100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端都要栽）。一共要栽多少棵樹？教師引導學生分析題意，借助課件幫助學生理解題目中的關鍵詞：“小路一邊”“每隔5 m栽一棵”“兩端都要栽”，并鼓勵學生進行猜測。由于猜測結果的不同，學生想到用畫圖來進行驗證，但在實際操作過程中發現數據過大不便于操作。學生不難想到從簡單情況入手進行研究，“化繁為簡”的思想方法就能幫我們解決實際困難。此時教師引導學生思考，在間隔長5 m、兩端都要栽這兩個條件不變的情況下，選擇多長的路來研究比較合適呢？4 m行嗎？12 m呢？學生通過討論發現：路長一定要是5的倍數才滿足植樹的要求，樹與樹的間隔長是5 m，路的起點和終點都要栽。

綜上所述，這個環節通過情境創設、問題引導、關鍵詞理解、猜測與驗證以及思想方法滲透等多個方面，有效地激發了學生的學習興趣，培養了他們的思維能力和解決問題的能力，同時還讓他們掌握了重要的數學思想方法。即面對復雜問題時，先將其簡化為易于處理的形式，再逐步求解。這一環節培養了學生的問題意識和初步的判斷能力。

二、在數形結合中探究規律

為了引導學生理解“棵數”“間隔數”“間隔長”三者之間的關系，借助數形結合的思想，就能讓學生找到間隔數與棵數間的規律，最終建立數學模型，為解決實際問題打下基礎。

（一）畫圖探究，發現規律

同學們共同思考：在20 m的路上，每間隔5 m栽一棵（兩端都要栽），能栽幾棵樹？大部分學生能很快列出算式：①20÷5=4，②4+1=5，并能在線段圖上進行驗證確實是5棵樹。但是當教師追問20÷5=4表示什么意思？誰能指著圖說一說時就遇到了困難。接著教師就讓同學小組合作討論：4到底是什么？該帶什么單位？很多同學說不清楚，也有很多同學認為4就是指4棵樹。這時教師就引導學生從除法的意義出發：20 m的路是指路長，每5 m栽一棵是指間隔長，算式①20÷5=4是在求20 m的路長里面包含了幾個5 m的間隔長？4其實是間隔的個數。算式②4+1=5（棵）同樣讓學生觀察線段圖，思考4、1、5分別表示什么？在圖中的哪里？4棵樹和4個間隔有什么關系？在一系列的問題引導下，學生通過思維碰撞，借助線段圖，終于發現了間隔數和棵數是一一對應的關系。最后再拋出一個問題：4個間隔對應栽了4棵樹，為什么還要加1呢？學生可以在線段圖中把間隔和樹一一對應著連起來，正好都是4，題目要求兩端都要栽，所以終點（起點）這一棵也要栽，因此要加1。

這一環節通過教師的追問和引導，學生不僅得出了正確的答案，更重要的是深化了對問題的理解。線段圖在這個環節中發揮了重要作用。學生通過觀察線段圖，將抽象的數學問題與具體的圖形結合起來，更好地理解了問題的本質。同時，他們也學會了如何利用圖形來輔助思考和解決問題。

（二）多組數據，驗證猜想

如果只研究了20 m的路長，不足以支撐我們的猜想。所以鼓勵學生用多組數據來驗證，在作業單的引導下完成線段圖并填寫數據。最終根據學生的匯報形成一個表格，觀察表格數據完成驗證：（兩端都栽）棵數=間隔數+1。最終解決了例1的問題，這條100 m的路上能栽21棵樹。

這一環節通過驗證猜想的普遍性培養科學探究精神、提升數據處理能力、增強圖形與數值的結合能力、促進自主學習與合作學習，對學生的數學學習產生了積極的影響。它不僅讓學生更深入地理解了植樹問題的本質和規律，還讓他們在數學學習中獲得了更多的成就感和樂趣。

（三）拓展延伸，建立模型

當得出結論以后，教師就讓男、女生分組在50 m的路上植樹，應用結論每組應該栽樹11棵，兩個組加起來就是22棵，比剛才100 m路上能栽21棵多出了1棵。這就引發了學生的思考和討論，結合線段圖不難發現男生組的終點與女生組的起點重復了。教師就讓男生組來栽這1棵重復的樹，女生組的起點不用栽。觀察女生組的線段圖10個間隔對應10棵樹，這種情況就是：（只栽一端）棵數=間隔數。接著教師提問：除了兩端都栽、只栽一端，還會有其他情況嗎？學生很快想到兩端都不栽，結合課件就能觀察發現：（兩端都不栽）棵數=間隔數-1。

這一環節通過小組討論、動手操作、合理推理等環節，學生逐步發現了植樹問題的三種情況中的規律，建立了數學模型。這一過程培養了學生的實踐操作能力和邏輯推理能力，拓展了學生的思維，為他們能夠靈活應用所學知識解決實際問題打下基礎。

三、回歸生活，實際應用

當學生們經歷了畫圖探究、猜想驗證、建立模型這三個階段后，緊接著出現了各種各樣的練習題，有公交車站路線圖題、環形公交車站路線圖題、鋸木頭……為了發展學生的核心素養，還需要進行再一次的深度思考：①這些題目中沒有樹，那還屬于植樹問題嗎？②應該如何解決這些問題呢？

此時讓學生們展開全班討論并總結：①看似沒有樹，但是都有相同的間隔長，所以屬于植樹問題。②路長÷間隔長=間隔數，兩端都栽：棵數=間隔數+1；只栽一端：棵數=間隔數；兩端都不栽：棵數=間隔數-1。植樹問題三種情況的解題模型也形成了。

通過本節課的教學，學生不僅掌握了植樹問題的規律，還學會了如何通過“化繁為簡”“數形結合”的方法從簡單問題中探索規律，通過線段圖發現規律，找出解決問題的有效方法。同時，學生的模型思想和化歸思想也得到了初步的培養。在教學過程中，教師注重引導學生動手操作、合作交流，使他們在探究過程中獲得了成功的體驗，增強了學習的自信心。此外，通過將植樹問題應用于實際生活中，學生進一步感受到數學的魅力，提高了他們的學習興趣和應用能力。