巧改題深思考，結構化建模型

“雞兔同籠”不僅是我國古代的數(shù)學名題，還是我國古代人民智慧的體現(xiàn)。這個問題最早出現(xiàn)在距今1500年前的《孫子算經(jīng)》，這一內容被選入人民教育出版社小學數(shù)學教材四年級下冊第九章“數(shù)學廣角”。它描述了這樣一個情境：一個籠子里有若干只雞和兔，通過頭和腳的總數(shù)量來求雞和兔子各有多少只？這個問題的解法很多，筆者基于深度學習和結構化的思考，讓學生通過“改題”進行深度思考，通過結構化的方式進行數(shù)學建模，深切地感受到學生積極動腦進行深度思考的魅力，以及應用結構化進行建模的優(yōu)勢。希望我的嘗試能夠引發(fā)一線教師對深度學習和結構化教學的思考。

一、巧改題，促深思

教科書先呈現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”接著提示我們用“化繁為簡”的方法：把頭變成了8個，腳變成了26只，問雞兔各有幾只？當這道題把數(shù)量變小后，學生們還是不知道如何解決這個問題。此時，教師通過以下幾個問題引導學生們發(fā)現(xiàn)這個問題的特殊之處：①讀了“雞兔同籠”的問題，你有什么感到疑惑的地方嗎？學生們沒有反應。②你們養(yǎng)過貓或者狗嗎？剛才還莫名其妙的學生們一下活躍起來了，他們紛紛講述自己養(yǎng)的寵物。③你們有同時養(yǎng)兩種動物的嗎？它們會有幾個窩？為什么不能住一個窩？此時學生們就津津有味地分享：貓和狗是兩種不同的動物，住在一起會打架。此時引導學生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”的特殊之處在于：把兩個品種的動物放在了一起，而在實際生活中這種現(xiàn)象一般不存在，這樣就自然而然地發(fā)出感嘆：要是只有一個品種就好了！接著教師再引導學生們：“雞兔同籠”到底要研究什么樣的問題？又應該如何解決呢？在這樣真實的教學情境中，教師一步步把學生引向深度學習。

此時教師繼續(xù)引導：如果允許改變題目，你覺得怎么改變就能很容易地解決問題？同學們愣住了，于是教師指著剛才的感嘆——要是只有一種品種就好了！于是學生們想到：如果籠子里只有一種動物——雞或者兔，就能根據(jù)8個頭求出腳一共有幾只？即：如果都是雞，一共有16只腳；如果都是兔，一共有32只腳。此時，同學們再次體會到“如果只有一個品種就好算了”，這個認識非常重要！

以上的教學過程直面真實的問題情境，調動學生的生活經(jīng)驗，激發(fā)學生的學習興趣；通過不斷的質疑，教師引導學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心地參與體驗，這就是開展深度學習的良好開端。

二、結構化，建模型

為了繼續(xù)引導學生進行深度思考，采用結構化來進行學習，即嘗試尋找方法、對比溝通聯(lián)系、深思建立模型、綜合發(fā)展素養(yǎng)。

（一）嘗試尋找方法

學生們帶著質疑研讀題目：“雞兔同籠共有8個頭，26只腳，問雞、兔各有幾只？”教師引導學生嘗試用數(shù)形結合，思考怎么畫？怎么添腳？學生們先各自嘗試再討論方法：畫出8個圓代表8個動物，可以把2個品種的動物都看成一種品種——雞，把每個動物都添上兩只腳（如右圖），再重點思考：每只雞添了2只腳，共有多少只？剩余多少只？為什么會剩？此時學生發(fā)現(xiàn)：把8只動物都看成了雞，腳只有16只，少了10只腳；需要把每只假設成雞的動物添上2只腳，就變成兔子，一共要變5次！所以兔子有5只，雞有3只。接著讓學生試著在畫圖的基礎上用數(shù)學語言來表達，就是假設法的解題過程，如下：

假設全是雞：腳的總數(shù)為：8×2=16（只），與實際相差：26-16=10（只），

每只兔子少算了幾只腳？4-2=2（只），兔子的數(shù)量：10÷2=5（只），

雞的數(shù)量：8-5=3（只）。

當弄清楚假設全是“雞”的方法后，再假設全是兔求解！接著還原《孫子算經(jīng)》中的“35頭，94足”，學生們迎刃而解！此時，他們經(jīng)歷了嘗試畫圖、探索方法、總結算法的過程，這樣就進行了知識體系的建構，是深度學習的環(huán)節(jié)之一。同時這個過程的思考方法和第一個環(huán)節(jié)“巧改題促思考”的基礎是相同的：都是把所有的動物看成一個品種，找出相差量再調換找出正確的結果。這樣學生們在解決“雞兔同籠”時就形成了一個完整的思維結構。

（二）對比溝通聯(lián)系

僅僅研究假設法還不足以豐富“雞兔同籠”的解題方法，于是引導學生們邊填表邊思考討論：列表法是什么方法？通過討論同學們發(fā)現(xiàn)：表格中是分別假設雞有幾只？兔有幾只？再依次計算腳一共有多少只，從而找出正確答案。而且表格的第一列和最后一列就是剛才假設全是雞或全是兔的兩種方法。此時，學生們豁然開朗：原來列表法依然是建立在假設的基礎之上！

在這一過程中，學生們通過計算、對比，溝通了教科書上看似不同的兩種方法，其實都是建立在“假設”的基礎之上的。這樣知識的機構化就進一步得到了深化，而且學生們的學習投入程度很高，思維層次也得到了提升，這便使深度學習加強了。

（三）深思建立模型

當呈現(xiàn)了以上兩種方法后，教師便帶著學生們回到開課時提出的問題：“雞兔同籠”到底是研究什么問題呢？學生們展開討論，教師適時提示：如果只有一個品種，那頭數(shù)就是“份數(shù)”，每只雞的腿數(shù)或兔的腿數(shù)都是“每份數(shù)”，“每份數(shù)”和“份數(shù)”都只有一個，總共有幾條腿就是腿的“總數(shù)”。而“雞兔同籠”是有兩個份數(shù)、兩個每份數(shù)，合并成一個總數(shù)的問題。我們需要借助假設法，把兩個不同的品種分開，分別計算出它們的數(shù)量。這兩種看似不同的方法，其實都是基于假設的基礎之上的，只不過列式計算的方法是假設全是一個品種，尋找相差量再求解；列表是分別假設兩個品種各有幾個，依次計算尋找符合題意的一組。相比之下，假設全是一個品種的方法更簡明。

在這一過程中，學生們在教師的引導下深挖到數(shù)量關系這一層，體會到了“雞兔同籠”問題背后的數(shù)量關系，對“雞兔同籠”的結構化就更深了一層。而且在整個學習過程中，學生們的學習投入程度很高，在分析、理解的基礎上進一步深入了，深度學習的程度加強了，思維層次再一次得到了提升。

（四）綜合發(fā)展素養(yǎng)

當學生們經(jīng)歷了嘗試尋找方法、對比溝通聯(lián)系、深思建立模型這三個階段后，教科書上緊接著出現(xiàn)了各種各樣的練習題，有“自行車和三輪車”“大、小兩種鋼珠”“租大船和小船”……為了發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，還需要進行再一次的深度思考：①這些題目中既沒有雞，也沒有兔，那還屬于“雞兔同籠”問題嗎？②應該如何解決這些問題呢？

此時讓學生們展開全班討論并總結：①看似沒有雞和兔，但是都包含了兩個品種，分別有兩個每份數(shù)和份數(shù)，所以屬于“雞兔同籠”問題。②采用假設法求解。通過上面的溝通，同學們對“雞兔同籠”的本質已經(jīng)能透徹的理解，知識的結構化逐漸形成，“雞兔同籠”假設法的解題模型也形成了。

在這次結構化的學習過程中，學生們積極參與、主動思索、質疑，面對一個個真實的問題，開展一次次激烈的思考討論，不僅培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力，還進行了深度學習。通過結構化的方式建立了數(shù)學模型，學生的建模意識也得到了培養(yǎng)。這樣的學習不僅調動了學生的學習積極性，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學核心素養(yǎng)，可謂是一箭雙雕！