例說含參函數(shù)零點問題的常見解法

【摘要】函數(shù)零點問題是函數(shù)問題中的重要題型，往往融合了函數(shù)的性質(zhì)、方程、導數(shù)等知識，并蘊含著數(shù)學轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合、極限等思想，體現(xiàn)了數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng)。相較于不含參函數(shù)的零點問題，含參函數(shù)的零點問題對數(shù)學思維和能力有著較高的要求。基于含參函數(shù)零點問題，立足通性通法，尋求變化衍生，歸納每一種解法的特征，有效地提升解題效率。

【關鍵詞】函數(shù)零點；導數(shù)；解法

筆者以課堂探討的一道含參零點問題為例，嘗試從轉(zhuǎn)化、構造函數(shù)等角度探究題目的多種解法，并嘗試歸納方法的主要特征，提高解題效率。

一、問題呈現(xiàn)

題目：已知函數(shù)f（x）=lnx-x。

1.求函數(shù)f（x）的極值點；

2.若函數(shù)h（x）=af（x）+（a∈R）無零點，求a的取值范圍。

第1小問解題過程：因為f（x）=lnx-x的定義域為（0，+∞），且f'（x）=。當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當xgt;1時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以x=1是f（x）的極大值點，無極小值點。下面主要討論第2問解法。

二、解法探究

解法1：直接法—分類討論解決零點問題。

由h（x）=alnx?ax+，x＞0，可得h'（x）=+

=（1-x）（+），當a=0時，h（x）=＞0，h（x）在定義域（1，+∞）上無零點，滿足題意；當a＞0時，由x＞0，

可得+＞0，故當0＜x＜1時，h'（x）＞0；當x＞1時，

h'（x）＜0，則h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減。因為h（x）無零點，故h（x）max=h（1）=-a+＜0，即a＞；

當a＜0時，由f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，可得f（x）≤f（1）=-1，所以a（lnx-x）＞0，即h（x）=a（lnx-x）+＞0，所以h（x）在定義域（1，+∞）上無零點；

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪（+∞）。

解法2：參變分離法—轉(zhuǎn)化為一直線和一曲線兩個函數(shù)交點問題。

通過轉(zhuǎn)化的方法分離成一直線和一曲線，通過研究曲線的單調(diào)性確定取值范圍，則可根據(jù)零點的個數(shù)問題求得參數(shù)的取值范圍。

易知lnx≤x-1，可得lnx?x≤x-1，即lnx?x≠0，

令h（x）=0，a=。因為h（x）無零點，即a=無解，等價于直線y=a與y=的圖像無交點。

設g（x）=，g'（x）=，因

為lnx?x-1＜0，令g'（x）=0，所以x=1；當x＞1時，g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；當0＜x＜1時，

g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增。故g（x）max=

g（1）=，又因為x→0+，g（x）→0；x→+∞，g（x）＞0，所以g（x）值域為（0，]。g（x）的圖像如圖1所示。

因為y=a與y=的圖像在（0，+∞）無交點，

所以a的取值范圍是（-∞，0]∪（，+∞）。

解法3：部分分離—基于函數(shù)的凹凸性分類討論。

將原函數(shù)分離成兩個函數(shù)圖像為曲線的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的凹凸性，進而確定參數(shù)的分類依據(jù)。

令h（x）=af（x）+=0，a（lnx?x）=?。由（1）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（x）max=f（1）=?1。

設m（x）=-，m'（x）=-，則m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，有m（x）min=m（1）?。

因為h（x）無零點，即af（x）=m（x）無解，轉(zhuǎn)化為y=af（x）與y=m（x）的圖像無交點。有以下三種情況：

1.若a＞0，af（x）最大值為-a，m（x）最小值為?，且同時在x=1取到最值，要滿足題意，只需使?a＜?，

即a＞；

2.若a=0，即m（x）=0，顯然符合題意；

3.若a＜0，因為m（x）＜0恒成立，ag（x）＞0恒成立，符合題意。

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0]∪（，+∞）。

解法4：直觀想象—指對同構，構造函數(shù)。

此函數(shù)包含指數(shù)、對數(shù)結構，利用指對互化、換元等知識，確定新變量范圍，構造新函數(shù)。

h（x）=af（x）+=a（lnx?x）+=aln+，因為h（x）

無零點，等價于?a=無解。

令t=，即?a=無解，等價于y=?a與y=的圖

像無交點。

設n（x）=，n'（x）=，易知n（x）在（0，1）上單調(diào)遞

增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，n（x）max=n（1）=，∴n（x）值域為（0，]，即t∈（0，]。

令w（t）=，t∈（0，]，w'（t）=＜0，則w（t）在

（0，]單調(diào)遞減。當t→0+，w（t）→0，且w（t）min=w（）=

?，w（t）的圖像如下頁圖2所示。

因為y=?a與y=的圖像無交點，所以?a＜?或?a≥0，得a∈（?∞，0]∪（，+∞）。

三、解法比較

解法1是此類導數(shù)題目的常規(guī)解法，其本質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的分類討論，利用單調(diào)性與極值研究函數(shù)的圖象，將零點問題轉(zhuǎn)化為圖像與x軸的交點問題，難點在于求導之后式子的整理與化簡以及含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論。

解法2優(yōu)勢在于通過分離參數(shù)避免了函數(shù)單調(diào)性的分類討論問題，雖然作為大題的解答過程似乎不那么完美，但是作為解法探究具有實用價值。例如這一函數(shù)可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為一條直線與一個可探究單調(diào)性的函數(shù)的圖像交點問題，涉及了通過極限思想討論函數(shù)取值范圍的方法。

解法3的解題思路源于第一小問，把問題轉(zhuǎn)化為

函數(shù)y=a（lnx?x）與函數(shù)y=?的交點問題，并且根據(jù)兩個函數(shù)的凹凸性質(zhì)探究參數(shù)a的取值范圍。這一方

法難點在于要準確理解函數(shù)f（x）=lnx?x與m（x）=?圖像的凹凸性質(zhì)，同時蘊含的數(shù)學思想較多，對數(shù)學思維的要求較高。

解法4的解題思路主要是利用同構和換元的方法構造新的函數(shù)，實現(xiàn)化繁為簡的目標，其思維高度高于前三種解法。這一方法難點主要是對同構特征的掌握程度要求較高，同時需要考慮復合函數(shù)整體換元之后新“元”的變化范圍。

以上4種解法本質(zhì)上都是探究函數(shù)圖像的形態(tài)，區(qū)別在于討論圖像形態(tài)方法存在多樣性，體現(xiàn)了零點問題中蘊含的數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化與化歸思想。雖然并非每一道與零點有關的題目都可以采用上述四種解法，但是通過歸納總結，有助于拓展導數(shù)零點問題的思路，加深對導數(shù)知識的理解。

其次，基于對函數(shù)圖像的直觀想象，通過轉(zhuǎn)化方法構造不同的函數(shù)從而產(chǎn)生了四種解題方法，這正是在函數(shù)思想指引獲得的結果，讓做題“可視化”，讓那些看似很巧妙的解法顯得“恰到好處”。

四、學以致用

已知f（x）=?x2+2ex+m?1，g（x）=x+（x＞0），確定m的取值范圍，使得h（x）=g（x）?f（x）存在兩個零點。

解：要使得h（x）=g（x）?f（x）存在兩個零點，即g（x）?f（x）=0存在兩個不同的實數(shù)根，等價于f（x）=

?x2+2ex+m?1與g（x）=x+（x＞0）的圖像有兩個不同的交點，如圖3所示。

當x＞0時，由基本不等式的性質(zhì)可知g（x）=x+≥2e，當且僅當x=，即x=e時取等號。此函數(shù)位于第一

象限的圖像具有下凸的性質(zhì)。而f（x）=?x2+2ex+m?1的對稱軸為直線x=e，且f（x）max=f（e）=m?1+e2，具有上凸的性質(zhì)。當m?1+e2＞2e時，m＞?e2+2e+1，h（x）存在兩個零點。如果此題按照不分離參數(shù)或者完全分離參數(shù)的方法進行解答，后續(xù)運算會比較繁瑣。而利用部分分離參數(shù)的思路正是來源于對兩個熟悉函數(shù)圖象凹凸性的觀察，正是因為這種函數(shù)思想的引領，在方法的選擇上才會更加從容。

在解題實踐中，尋求一題多解并進行歸納總結不僅可以整合與內(nèi)化知識，而且可以激發(fā)學科學習興趣，進而提升學生的數(shù)學思維水平和綜合運用能力。

【參考文獻】

[1]陳偉連.例說含參零點問題的突破策略[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2022（17）.

[2]謝新華.例析含參函數(shù)相關的零點問題[J].中學教學參考，2021（32）.

（基金項目：本文系2023年度廣州市南沙區(qū)教育科學規(guī)劃課題“基于高中數(shù)學新教材‘拓廣探索’欄目的校本課程的開發(fā)與實踐”的階段性研究成果，課題編號NSJYKY2023036）