深度學習視域下新課程的概念教學

摘" 要：樣本點和樣本空間是隨機現象、隨機事件數學化的基礎. 教學中要重視樣本點和樣本空間概念內涵的教學，分析概念建立過程中的各種障礙，突破概念生成的難點，幫助學生全面深刻地理解概念和應用概念.

關鍵詞：樣本點；樣本空間；概念理解；概念建立

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0008-06

引用格式：徐道奎，黃焱森，姚志佳. 深度學習視域下新課程的概念教學：以樣本點和樣本空間為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（10）：8-12，18.

一、問題提出

概率論是研究隨機現象發生與發展規律的科學，樣本點和樣本空間是隨機現象、隨機事件數學化的基礎，因此也是概率論的基礎.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》首次將樣本點和樣本空間納入高中課程，從集合視角描述和刻畫隨機現象，研究隨機事件并進行概率運算，在使學生對隨機現象的理解更加準確、理性和深刻的同時，其分析問題和解決問題的思維方式也發生了重大變化. 樣本點的選擇和樣本空間的建立十分重要，學生分析隨機現象（主要是古典概型）的前提是選擇好樣本點，建立好樣本空間. 之后很多概率學習的問題，如事件之間的關系和運算、概率之間的關系和計算等，歸根結底都是對樣本點和樣本空間的概念理解不深入導致的問題.

樣本點和樣本空間概念教學上存在的問題主要表現為以下三個方面. 第一，教師習慣了之前的直接從基本事件和事件著手分析的問題解決方法，認為高中階段概率內容相對簡單，引入樣本點和樣本空間人為地增加了學生的學習負擔. 有的教師甚至沿襲過去的做法，有意淡化樣本點和樣本空間的概念教學. 第二，教師對引入樣本點和樣本空間的意義缺乏深刻理解，對樣本點和樣本空間的基礎地位沒有給予足夠的重視. 第三，對樣本點和樣本空間的概念研究不夠，對概念的理解出現問題.

鑒于此，筆者通過參閱有關文獻，結合教學中出現的問題，談一點認識和體會，不足之處，敬請批評指正.

二、對樣本點和樣本空間概念的理解

1. 樣本點和樣本空間有什么特征？

樣本點由隨機試驗產生，是隨機試驗的每個可能的基本結果. 隨機試驗所得結果是對隨機現象的某種反映，帶有取樣的性質，故將其稱為樣本點.“點”是結果的第一種含義. 一般而言，隨機試驗的結果不止一個，且是基本的，樣本空間是樣本點的集合，又稱結果空間，樣本點是樣本空間這個集合中的元素. 如果單從結果的基本性和集合中元素的意義上理解，樣本點隱含盡可能地將隨機試驗中所有可能的結果細化和不可再分的含義. 不能再分是確定樣本點應該遵循的基本原則. 但是在實際操作中，要靈活地選取樣本點，不必糾結樣本點的字面意義，之后會詳細說明.

2. 怎樣由隨機試驗分析樣本點，建立樣本空間？

樣本點由隨機試驗產生，樣本點和樣本空間是基于隨機試驗和研究問題背景的綜合考量，還是基于研究問題本身？怎樣選擇隨機試驗中的樣本點呢？針對以下例題進行說明.

例" 兩次投擲同一枚骰子，求下列問題包含哪些樣本點.

（1）正面向上的點數之和是奇數；

（2）正面向上的點數之差的絕對值為1或2.

該問題涉及的試驗是投擲兩次骰子，研究的背景是正面向上的點數問題，研究的具體問題是點數之和為奇數和點數之差的絕對值是1或2. 那么，樣本點到底是有序的實數對，即[1，1， 1，2，…， 1，6，][2，1， 2，2，…， 2，6，…， 6，6]，共36個樣本點，還是第（1）小題的[2，3，…，12]這11個樣本點和第（2）小題的[0，1，2，3，4，5]這6個樣本點呢？前者是基于試驗及其研究問題背景的結果，后者是基于研究問題本身而得到的結果. 在教學時，不同的教師有不同的理解. 筆者則傾向于前者. 文獻［4］和文獻［5］給出了選擇樣本點、建立樣本空間的基本原則：與問題背景有關，與問題本身無關. 筆者認為，問題的背景應該源于隨機試驗和問題研究的大方向. 上述問題涉及的隨機試驗都是投擲兩次骰子，研究的背景（我們感興趣的）是骰子正面向上的點數；而點數之和為奇數、點數之差的絕對值為1或2是較為具體的研究問題，是問題本身. 在分析樣本點時，應該從試驗和研究問題的背景、方向（正面向上）出發，不必拘泥于具體問題是什么. 樣本點應該是隨機試驗最直接的結果，若以點數之和或者點數之差的絕對值作為結果，則這個結果就失去了基本性. 例如，點數之和為6，可以進一步細化，再分為[1，5， 5，1，][2，4， 4，2， 3，3]，不符合之前我們對樣本點的理解. 另外，人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊（以下統稱“人教A版教材”）對基本事件的定義是“只包含一個樣本點的事件”. 因此，筆者認為樣本點應該盡可能地不可細化和不可再分. 這也是樣本點概念的本義. 當然，不可細化和不可再分也不是絕對的，之后會予以說明. 筆者在分析上述兩個問題（點數之和為奇數、點數之差的絕對值是1或2）時，主張樣本點和樣本空間應該一樣，即樣本空間都含有36個樣本點.

3. 樣本空間中的樣本點一定等可能嗎？

古典概型是概率論的重中之重，建立合適的樣本空間是解決古典概型問題的前提. 如前所述，我們希望樣本點盡可能地細化，盡量不可再分. 那么，樣本點一定等可能嗎？針對這個問題的理解，還是需要回歸樣本點的定義. 隨機試驗中每個可能的基本結果不一定是等可能的結果. 例如，在上述投擲骰子的試驗中，假如骰子的結構不均勻，如投擲的是一個不規則的四面體骰子，投擲試驗一次，各個面向上的概率是不一樣的，即樣本點不等可能. 又如，打一次靶，假設能夠命中，有6環、7環、8環、9環、10環五個結果，顯然每個結果發生的概率不相同.

4. 樣本點和樣本空間是相對的還是絕對的？

樣本點不一定等可能. 那么，凡是等可能的結果均可以作為樣本點嗎？顯然不是. 與這個問題相對應的典型案例是不放回抽樣中是否考慮順序的問題. 關于這個問題，有不同的觀點：一種觀點認為必須考慮順序，這樣才符合樣本點的意義；另一種觀點認為若選擇的樣本點出現的概率相同，且能夠解決問題，則樣本點和樣本空間可以進行適當簡化（注意是“簡化”），從而不需要考慮取樣的順序. 在實際應用中，大多數采用后者，即根據問題和問題解決的需要靈活選擇樣本點. 要針對具體隨機現象給出適當的樣本點和樣本空間，并能用于表示隨機事件. 由此可以看出，樣本點的選擇一定要能夠表示隨機事件并有利于問題解決. 選擇樣本點，建立樣本空間，要把精力放在對現實中的隨機現象的數學化上. 這是至關重要的.

樣本空間取決于樣本點，而樣本點不僅取決于隨機試驗，還與研究問題的背景緊密相關. 因此，樣本點和樣本空間是相對的，而不是絕對的. 第一，對于同一試驗，研究問題的背景不同，樣本點可以不同，樣本空間也可能因此不同；第二，對于同一試驗，同一研究問題，樣本點的選擇可以不同，但必須保證選擇的樣本點、建立的樣本空間有利于問題解決（如求概率、分析事件之間的關系）. 在“兩次投擲同一枚骰子，求其點數之和為6的概率”的問題中，可以把樣本點選擇為36個有序實數對，而把樣本點選作[2，][3，…，12]，樣本空間建立為[Ω=2，3，…，12]，不利于問題的解決，且沒有實際意義.“兩次投擲同一枚骰子，求其點數之和為偶數的概率”可以把樣本點“簡化”為[奇，奇]，[偶，偶， 奇，偶， 偶，奇，]而把樣本點選作[奇，奇， 偶，偶， 奇，偶]，進而建立樣本空間[Ω=奇，奇， 偶，偶， 奇，偶]是不合適的. 我們強調樣本點要基于試驗的結果盡可能細化，要凸顯其不可再分的特征是基于樣本點中“點”的意義，基于樣本空間這個集合中元素的含義，以及樣本點與基本事件的關系綜合考慮的，在實際應用中可以靈活處理.

5. 樣本點與事件的關系是什么？

樣本空間是一個集合，所有的事件（必然事件、不可能事件、隨機事件、基本事件、復合事件）均是樣本空間的子集. 基本事件是一個單點集，事件與樣本空間是集合與集合的關系. 樣本點[ω]是樣本空間[Ω]這個集合中的元素，即[ω∈Ω]. 基本事件是只含有一個樣本點的集合，即[ω?Ω]. 從事件的關系角度來看，基本事件之間是互斥的關系，樣本空間由包含全部基本事件的集合表示.

6. 樣本空間如何表示？

樣本空間是樣本點的集合，為了使樣本點具有直觀性，對樣本空間的表征大多數采用列舉法，可以通過列表、畫樹狀圖等方式把樣本空間中的元素逐個列舉出來. 實際上，也可以用描述法. 例如，在兩次投擲一枚骰子的試驗中，研究正面向上的點數的情況，可以將樣本空間表示為[Ω=x，yx=1，2，3，4，][5，6，y=1，2，3，4，5，6]在研究事件之間的關系時，有時也會采用韋恩圖表示樣本空間（全集）.

教學中，要把上述對樣本點和樣本空間的理解及其反映的數學本質（元素與集合）凸顯出來，把隱含的數學思想（用集合的思想研究隨機現象）滲透于概念的建立和形成過程之中.

三、樣本點和樣本空間概念建立的學情分析

學生學習樣本點和樣本空間的最大問題是思維方式上存在障礙. 第一，對隨機試驗的理解存在障礙. 隨機試驗是廣義的，而不是狹義的物理、化學和生物等學科的試驗，凡是使隨機現象得以實現和對隨機現象的觀察均是隨機試驗，實際操作、取樣分析、統計觀察等也是試驗. 我們感興趣的隨機試驗有三個特點，即試驗的可重復性、每次試驗的所有可能結果的可預測性和一次具體試驗的結果的隨機性. 第二，選擇和抽象樣本點、建立樣本空間的障礙. 隨機試驗所產生的基本結果稱作樣本點，試驗發生了，樣本點基本就確定了. 因此，要從隨機試驗開始進行分析. 第三，樣本點和樣本空間的應用上存在障礙. 例如，對事件和事件關系的分析. 用集合語言描述、刻畫事件及其關系有一個過程，要讓學生盡可能多地接觸試驗，以便逐步適應和習慣.

四、樣本點和樣本空間概念的建立

基于上述分析，筆者認為，要把樣本點和樣本空間的本質和內涵滲透至概念形成中，教師在教學中要把握好三個問題：一是根據概念生成的邏輯線索，設置從隨機試驗到隨機現象再到選擇樣本點、建立樣本空間的概念生成的邏輯路徑；二是通過各種問題情境，讓學生充分感悟樣本點和樣本空間概念的真實含義，準確選擇樣本點和建立樣本空間；三是掌握給出樣本點（列舉、樹狀圖、表格、排列、組合等）的各種方法，掌握樣本點的具體呈現方式（語言文字描述、字母符號描述、數字描述）. 做到“五會”，即會描述、會抽象、會解釋、會轉化、會應用.

1. 基于隨機試驗抽象樣本點

讓學生在隨機試驗的基礎上通過想象進入試驗場景，分析試驗結果，理解選擇樣本點、建立樣本空間的路徑.

案例：分析試驗，回答樣本點和樣本空間.

在引導學生分析試驗時，教師要有意識地讓學生回答三個問題：表述的是什么試驗？問題研究的背景是什么？試驗的所有可能的基本結果是什么？這是分析樣本點和樣本空間的基本流程.

試驗1：將一枚骰子連續投擲兩次，分別研究正面向上的點數之和和點數之差的絕對值.

雖然試驗1研究的兩個問題不同，但是隨機試驗和研究問題的背景相同，即隨機試驗都是投擲兩次骰子，研究問題的背景都是需要關注正面向上的點數. 因此，試驗1中選擇的樣本點和建立的樣本空間相同.

試驗2：從裝有3個紅球（號碼分別為1，2，3）2個白球（號碼分別為4，5）的袋子中一次摸出兩個球，分析出現相同顏色的事件所包含的樣本點，研究兩個球的號碼數字之和的樣本空間.

試驗3：從裝有3個紅球（號碼分別為1，2，3）2個白球（號碼分別為4，5）的袋子中摸出一個球記錄結果后將其放回袋子中，然后再摸出一個球，分析出現相同顏色的事件所包含的樣本點，研究兩個球的號碼數字之和的樣本空間.

試驗2與試驗3比較，理解選擇樣本點、建立樣本空間的基本路徑，即引導學生回答上述強調的三個問題，說明了選擇樣本點應該遵循的基本原則和抽樣的有序、無序問題.

師：試驗2和試驗3研究的問題涉及的是什么試驗？

生：從編號為1，2，3，4，5的5個球中取出兩個球.

師：試驗2和試驗3研究的背景是什么？

生：研究取出的球的號碼.

師：有哪些可能的結果？

【設計意圖】引導學生回答與研究問題背景相關的試驗的直接結果，不需要考慮研究問題本身，體會試驗結果要盡可能細化，不可再分.

問題1：結合試驗情境和研究問題的背景，你認為樣本點應該怎樣選擇？

生：樣本點為[1，2， 1，3， 1，4， 1，5，][2，3， 2，4， 2，5， 3，4， 3，5， 4，5]共有10個. 樣本空間為：[Ω=1，2， 1，3， 1，4，][1，5]，[2，3]，[2，4]，[2，5]，[3，4]，[3，5，][4，5].

問題2：為什么研究的問題不同，選擇的樣本點和建立的樣本空間卻相同？

生：無論是研究顏色還是號碼之和，選擇上述樣本點都可以刻畫出試驗的每個可能的結果. 例如，[1，2， 1，3， 2，3， 4，5]代表顏色相同，[1，4，][1，5， 2，4， 2，5， 3，4， 3，5]代表顏色不同；[1，2]代表點數之和為3，[1，3]代表點數之和為4，[1，4， 2，3]代表點數之和為5，[1，5， 2，4]代表點數之和為6，[2，5， 3，4]代表點數之和為7，[3，5]代表點數之和為8，[4，5]代表點數之和為9.

問題3：在研究點數之和的問題時，為什么不宜把點數之和的結果作為樣本點？

生：有些點數之和不是基本的、不可細化的結果，不利于問題的解決，沒有實際意義.

問題4：你認為選擇樣本點、建立樣本空間的原則是什么？

師生共同總結：關注試驗和研究問題的背景，不刻意考慮研究問題本身.

問題5：為什么沒有考慮兩個球的順序？能否考慮順序？

生：因為問題的背景和問題本身與順序無關，所以可以把樣本空間適當簡化. 當然，也可以考慮順序.

引導學生思考：試驗3與試驗2的區別是什么？怎樣選擇樣本點？樣本點中是否要考慮兩次取球的順序？樣本空間中有多少個樣本點？

試驗2和試驗3對應于兩種不同的抽樣，即無放回抽樣和有放回抽樣. 選擇樣本點時，有放回抽樣需要考慮順序；無放回抽樣可以考慮順序，有時無需考慮順序，是否考慮順序要視情況而定.

試驗4：從高二（5）班50名學生數學測試成績中任取3名學生的成績，分析成績合格的人數.

以下三種方法是課堂上學生的回答中具有代表性的方法.

方法1：將成績合格的學生記為1，成績不合格的學生記為0，則抽取的三名學生的成績情況有[1，1，1， 1，1，0， 1，0，1， 0，1，1， 0，0，1，][0，1，0， 1，0，0， 0，0，0]，共8個樣本點.

方法2：將成績合格的學生記為1，成績不合格的學生記為0，抽取的3名學生的成績試驗有4個樣本點，即[0，0，0， 0，0，1， 0，1，1， 1，1，1.]

方法3：將50名學生的數學成績進行編號，記為[a1，a2，…，a50]. 將其中任意3名學生的成績表示為[ai，aj，ak i，j，k=1，2，…，50，i≠j，i≠k，j≠k，][ai，aj，ak]是其中的1個樣本點.

問題1：上述三種方法中，你認為哪種選擇樣本點的方法合適，為什么？

問題2：為什么方法3最能體現樣本點的特征？

通過試驗4，比較分析同一試驗有多種選擇樣本點的方法，引導學生分析哪種最合適，從而體會選擇樣本點的基本原則.

試驗5：在平面直角坐標系中，質點[M]開始位于[3，2]處，每次向右或向下移動一個單位，運動三次，分析運動結果.

設質點[M]每向右移動一次記為1，向下移動一次記為0，則樣本點為[0，0，0， 1，0，0， 0，1，0，]

[0，0，1， 1，1，0， 1，0，1， 0，1，1， 1，1，1.]

讓學生寫出樣本空間.

【設計意圖】通過試驗5，讓學生理解隨機試驗的廣泛性，體會用數字表示隨機試驗結果的好處.

通過分析上述試驗，讓學生感悟樣本點的意義、內涵，選擇樣本點的原則，理解從隨機試驗到樣本點和樣本空間及隨機事件的分析過程.

2. 用集合語言描述和刻畫樣本點、樣本空間

概念教學要立足數學本質，用集合語言描述隨機事件不僅要精準，還要能夠反映具體的隨機事件與樣本空間的關系，以及隨機事件之間的相互關系.

我們把在條件[E]下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件. 作為樣本點和樣本空間的應用，怎樣把樣本點和樣本空間在描述隨機事件中的作用顯現出來，讓學生理解用集合語言描述事件的方法，體會事件是樣本點的集合且是樣本空間的子集呢？具體方法如下.

第一，通過人教A版教材第228頁“思考”欄目中的體育彩票搖號試驗，引導學生探究“球的號碼是奇數”“球的號碼是3的倍數”這兩個事件所包含的樣本點的情況，并用集合表示，讓學生觀察事件與樣本空間[Ω]的關系. 在此基礎上給出事件的集合定義. 此過程著重引導學生理解兩個問題：由隨機試驗產生的所有事件都是樣本空間[Ω]的子集；事件[A]發生，當且僅當事件[A]對應的集合中的某個（而非全部）樣本點出現.

第二，在集合語言背景下，通過較復雜的試驗情境進一步把隨機試驗、研究背景、試驗結果、樣本點和樣本空間、事件、事件與樣本空間的關系等概念串聯起來，對它們之間的關系層層遞進地進行分析，讓學生形成概念體系建立的完整印象，感悟準確選擇樣本點、建立樣本空間的重要性.

第三，通過必然事件和不可能事件概念的建立，進一步滲透事件是樣本空間的子集的思想，體會樣本點和樣本空間在事件描述中的作用.

引導學生思考以下問題，并根據事件發生的意義作答.

問題1：包含“所有”樣本點的事件（即樣本空間[Ω]）在一次隨機試驗中一定發生嗎？是什么事件？

問題2：不包含“任何”樣本點的“事件”（即事件[?]）在一次試驗中一定不發生嗎？是什么事件？

通過各種案例（簡單的、復雜的）實現事件在自然語言與集合語言之間的切換（轉化）. 體會集合語言描述事件的數學本質，增強學生用集合語言描述事件的意識，使其逐步體會到用集合語言描述事件更精準，從集合視角理解事件發生更準確，且使之后求解概率、理解事件之間的關系和運算、理解概率關系更方便、更容易.

五、結束語

樣本點和樣本空間的概念，表面上看似簡單，實則內涵深刻，它既是學習概率論的基礎，又是學習概率的難點. 在教學中，教師要給予充分重視，在概念生成的教學上放慢節奏，多下功夫.

參考文獻：

［1］楊曉曼，徐章韜. 微言要義之樣本空間和樣本點［J］. 中學數學雜志，2024（3）：14-17.

［2］米勒. 普林斯頓概率論讀本［M］. 李馨，譯. 北京：人民郵電出版社，2020.

［3］程海奎，章建躍. 用樣本空間刻畫隨機現象定義隨機事件的概率發展學生的隨機觀念［J］. 數學通報，2021，60（5）：1-9，17.

［4］史寧中. 數形結合與數學模型［M］. 北京：高等教育出版社，2018.

［5］譚雪瑩，胡典順. 概率與統計的知識理解之樣本空間［J］. 數學通訊（下半月），2021（9）：1-3，55.

［6］章建躍，程海奎. 高中必修課程中概率的教材設計和教學思考：兼談“數學核心素養如何落地”［J］. 課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33.

［7］李祎. 高水平數學教學的理念與實踐［M］. 福州：福建教育出版社，2024.

［8］卓忠越，高菲. 基于問題驅動的單元起始課教學設計：以“有限樣本空間與隨機事件”為例［J］. 中國數學教育（高中版），2023（5）：11-16，20.

作者簡介：徐道奎（1963— ），男，正高級教師，安徽省特級教師，主要從事高中數學教學研究；

黃焱森（1981— ），男，一級教師，主要從事高中數學教育教學研究；

姚志佳（2000— ），女，新聘教師，主要從事高中數學教育教學研究.