GeoGebra環境下基于認知負荷理論的立體幾何教學實踐

[摘 要] 立體幾何知識具有較強的關聯性和抽象性，傳統教學模式難以將其直觀地傳遞給學生，導致學生無法清晰理解圖形的空間布局及其元素間的關系，從而產生較高的認知負荷. 因此，基于負荷產生的原因，通過GeoGebra軟件的動態展示功能，探索并優化立體幾何教學中認知負荷的策略. 文章以“基本立體圖形”教學為例，依據策略制定實驗教學方案，并對實施效果進行分析評估.

[關鍵詞] 認知負荷理論;GeoGebra;立體幾何;基本立體圖形

《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》（下文簡稱“雙減”）一經發布，便迅速吸引了中國教育界的廣泛關注. “雙減”政策明確指出“確保學生在校內學足學好”，這表明“雙減”政策的主陣地是課堂. 作為“雙減”政策的執行者，教師必須認識到課堂的關鍵作用，并學會優化教學方法[1]. 在高中立體幾何的教學中，傳統的教學方式難以直觀傳授相關知識. 探究其根本原因，在于立體幾何知識固有的高度抽象性和思維的隱蔽性，這導致學生在學習過程中面臨較大的認知負荷. 因此，教師可以借助動態數學軟件輔助立體幾何教學，將知識外顯化，思維可視化，以實現減負增效.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》針對立體幾何的教學提出了明確要求，即教師應借助實物模型或計算機軟件來展示空間圖形，以便學生能夠更好地理解空間圖形的結構特性，并掌握在平面上表示空間圖形的方法與技能[2]. 面對復雜且抽象的立體圖形，學生在學習過程中常常面臨較高的認知負荷，這是影響學習成效的關鍵因素，也是教師在立體幾何教學中必須解決的問題. 如何借助數學軟件，將立體幾何中高度抽象性和復雜關聯性的知識內容，以直觀的方式呈現給學生，無疑是一項艱巨的挑戰.

認知負荷理論與GeoGebra軟件

在1988年，教育心理學家斯威勒（John Sweller）及其同事提出了認知負荷理論. 該理論認為，在學習或解決問題的過程中，學習者的大腦工作記憶對學習材料進行加工，其資源是有限的;與此同時，大腦的長期記憶則用于儲存已知的加工編碼信息，其資源則是無限的. 在工作記憶對學習內容進行信息處理和存儲的過程中所消耗的認知資源，被稱為認知負荷[3]. 總認知負荷由內在認知負荷、外在認知負荷以及關聯認知負荷三個部分組成. 內在認知負荷由知識內容和學習者現有水平決定，當學習材料繁雜，學習者缺乏相應認知水平，信息加工時會產生較高內在認知負荷，加重學習負擔[4]. 外在認知負荷由教學設計決定，若教學材料的組織不當，會導致外在認知負荷過高，阻礙學習. 關聯認知負荷由學習者的學習興趣和動力決定，是有利的認知負荷[5]. 三種認知負荷的和就是總認知負荷. 為了確保學習效率，總認知負荷必須低于工作記憶中可用的認知資源容量. 一旦總認知負荷超出工作記憶所能承受的范圍，學習者將面臨認知困難，這將對學習成效產生負面影響.

在教學領域中，以認知結構為基礎，工作記憶的有限性為核心的認知負荷理論，是影響力最大的理論框架之一[6]. 在教學過程中，降低內在認知負荷和外在認知負荷，同時增加相關認知負荷，是至關重要的. 這樣可以確保學習者所承受的認知負荷總量達到最優化水平，從而促進有效學習的發生. 對于高中數學中那些復雜且高度抽象的知識點，單純依靠教師的口頭講解、板書和實物模型的傳統教學方法，顯然無法充分優化學生所經歷的認知負荷. 然而，動態數學軟件憑借其3D動態呈現功能，能夠有效地減輕認知負擔并提高學習效率. 因此，“將動態數學軟件作為優化學生認知負荷的有效工具”已成為一種必然趨勢.

在2002年，美國亞特蘭大大學的數學教授Markus Hohenwarter開發了動態數學教學軟件GeoGebra. 這款軟件集幾何繪圖、代數運算和數據處理等多種功能于一體，是動態數學學科的重要工具. GeoGebra的兩大顯著特點在于：首先，它能夠同步展示幾何圖形與代數方程的變化，實現圖形與代數的無縫對接，極大地豐富教學資源;其次，軟件中的代數區、3D繪圖區、工作表和運算區等多個模塊之間能夠相互關聯和互動，確保教學材料的直觀展示[7]. 在高中數學教學領域，GeoGebra相較于其他數學軟件而言，擁有開源免費、易于學習以及強大的3D繪圖功能等顯著優勢. 其卓越的3D展示能力能夠從多個角度生動地呈現立體圖形的空間結構及其形態變化，有效地將抽象的數學概念具體化. 通過“數”與“形”的同步變化，學生能夠構建起代數與幾何圖形之間的聯系，使得數學知識的內在關聯性變得直觀且易于操作[8]. 應用軟件能夠使學生內隱的數學思維變得顯性，從而直觀地感知學習材料，并進一步優化認知負荷.

GeoGebra環境下優化認知負荷的立體幾何教學策略

依據認知負荷理論，探討三種認知負荷的成因，以GeoGebra軟件作為降低認知負荷的有效手段，在立體幾何教學過程中減輕內在和外在認知負荷，同時提升關聯認知負荷. 通過參考圖1所示的策略，可以優化總體認知負荷.

1. 結合教學內容使用GeoGebra，分解內在認知負荷

內在認知負荷是原生性負荷，主要取決于教學內容的復雜性以及學習者當前的知識水平. 在立體幾何教學中，面對復雜且抽象的教學內容，可以通過將教學內容細分為若干主題來簡化教學. 對于選定的主題，進一步規劃教學目標、教學方法和課時分配，從而明確各個階段的教學任務. 一方面，通過合理安排教學課時和細化教學目標，可以減少學生需要處理的信息量及其相互作用，從而降低內在認知負荷. 另一方面，將GeoGebra軟件的運用融入教學，采用過程化的教學手段，將原本隱性的知識轉化為顯性，揭示不同元素之間的聯系，這有助于知識的遷移和理解，進一步減輕學生的內在認知負荷.

2. GeoGebra直觀展現學習材料，降低外在認知負荷

外在認知負荷是由于教學材料設計不當而造成的無效認知負荷. 在設計教學時，若難以直觀形象地呈現學習材料，學生可能難以領會材料中各元素的含義，也難以梳理這些元素之間的聯系，這可能導致他們面臨較高的外在認知負荷. 為了減輕外在認知負荷，教學設計時應從展示角度和形式等多個維度優化學習材料的呈現方式. 適時運用GeoGebra的3D繪圖和數形同步變化等功能，以科學和直觀的方式展示學習內容，通過視覺化手段幫助學生直觀地感知材料中的元素特征及其邏輯關系，確保學習內容的適宜呈現，從而降低外在認知負荷.

3. 選擇恰當的教學方法，增加關聯認知負荷

關聯認知負荷，作為一種對學習有益的負荷，具有雙重正面效應. 首先，它通過提供內容豐富、形式多樣的課堂環境，能夠調整學生的心態，激發他們的學習熱情，從而增加關聯認知負荷;其次，運用多樣化的教學方法能夠進一步提升學生的學習興趣和動力，同樣有助于增強關聯認知負荷. 例如，在應對枯燥且復雜的立體幾何知識時，利用GeoGebra的動態演示功能，采用演示法教學，可以有效提升學生的專注度. 同時，借助GeoGebra設計的情境活動，結合情境教學法、啟發式和探究式教學法，能夠激發學生在積極參與的教學環境中產生持續的認知動力. 將GeoGebra軟件融入教學過程，有助于營造積極的課堂氛圍，進而激發學生內在的學習動機，并增加其關聯認知負荷.

GeoGebra環境下基于認知負荷理論的“基本立體圖形”教學

在《在一般觀念引領下探索空間幾何圖形的性質（續）——“立體幾何初步”內容分析與教學思考》一文中，章建躍強調信息技術在立體幾何教學中的關鍵作用. 例如，通過使用數學軟件繪制長方體，并借助動態演示技術，可以從多個角度觀察其結構特征，從而清晰地理解點、直線和平面之間的位置關系[9]. 課程標準在立體幾何章節首次引入了“基本立體圖形”的概念. 這些立體圖形源于現實世界物體的抽象化，學生通過觀察周圍環境中的具體幾何體，能夠深入理解基本立體圖形的結構特征，從而抽象出空間圖形的基本元素及其位置關系. 然而，高中生在學習基本立體圖形時，往往受到平面幾何知識的負遷移效應、空間想象力的不足以及學習興趣的缺乏等多重主觀和客觀因素的影響，這使得他們在認知上面臨一定的挑戰. 為了更有效地利用信息技術，需要找到方法，將這些高度抽象且關聯復雜的立體圖形知識，以一種易于學生理解和接受的方式傳授給他們. 依據上述教學策略，筆者設計了在GeoGebra環境下基于認知負荷理論的“基本立體圖形”教學方案.

1. 教學內容的整體設計

“基本立體圖形”教學內容包括三節：基本立體圖形、立體圖形直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積. 在教學設計時，應重視探究各種幾何體的構建過程，并從其結構特征著手，清晰地界定空間幾何體中點、線、面之間的相互關系. 在教學時，應遵循“定義—平面表示—面積與體積”的研究路徑，按照從具體實例到抽象概念的順序，將教學分解為3個階段. 表1詳細描述了這些階段任務.

2. 學習材料的呈現方式

在第一階段，學生在認識基本立體圖形的過程中，可以借助GeoGebra軟件來展示棱柱、棱錐和棱臺的各個點、線、面. 這有助于學生清晰地理解數量關系以及圖形之間的聯系. GeoGebra軟件還能生動地演示圓柱、圓錐、圓臺和球體的形成過程，使學生能夠直觀地感知空間幾何體的構建，從而加深對這些基本立體幾何圖形模型的理解.

進入第二階段，當學生開始學習空間幾何體的直觀圖時，GeoGebra軟件可以用來展示一個簡易模型，例如窗戶在地上影子的變化，從而引入斜二測畫法的概念.

到了第三階段，為了深入理解空間幾何體的表面積和體積，GeoGebra軟件能夠直觀地展示圓臺的展開圖，幫助學生探究圓臺的表面積計算. 此外，通過GeoGebra呈現的3D動態圖象，學生可以研究球體的體積公式，并領會極限化和以曲代直的數學思想.

根據每個教學階段的具體任務，從展示角度和形式等多個維度，科學地優化學習材料的呈現方式.

例如（見圖2），通過操作滑動條，學生能夠動態觀察圓臺的展開過程，從而歸納出圓臺的表面積公式. 通過改變圓臺的展示形式，有助于降低學生的外在認知負荷.

3. 教學方法的選擇

在第一階段，利用GeoGebra展示物體的3D模型，初步探究立體幾何知識，增強學生的學習體驗，激發學生的興趣. 進入第二階段，先觀察實物正方體，隨后利用GeoGebra展示正方體，引導學生嘗試在紙上畫出正方體的平面圖，從而增強學生的成就感. 到了第三階段，當探討柱體、錐體和臺體的表面積公式時，鼓勵學生親自上臺展示這些立體幾何圖形的展開圖，從而更深入地理解立體幾何圖形的表面積公式. 在整個主題學習中，注重將日常生活中的實際情境與數學知識相結合，運用問題驅動法、探究教學法和啟發式教學法，激發學生的學習熱情并提升他們的內在學習動力.

例如（見圖3），在GeoGebra環境中通過操作正方體模型來觀察其截面. 正方體中的紅點可以拖動，允許用戶將其放置在正方體不同棱的不同位置上，有助于探索正方體的各種截面，從而激發學生的求知欲，并增強其對幾何結構的理解和認知.

實驗與分析

1. 研究問題

本研究的目標是探究“相較于傳統教學方法，運用認知負荷理論指導并利用GeoGebra軟件設計的教學活動是否能更有效地深化學生對基本立體圖形的理解？”研究假設提出：基于認知負荷理論，在GeoGebra軟件環境中設計的教學活動相較于傳統教學，將更有利于提升學生對基本立體圖形的理解.

2. 研究對象

研究對象是樅陽縣某學校高一年級中近一次月考班級數學成績相近的兩個平行班，共100名學生. 其中，實驗A班50人，對照A班50人. 兩個班級的學生性別比例相當，平均成績也相近. 運用SPSS軟件對這兩個班級學生最近一次月考成績進行獨立樣本t檢驗，結果見表2. 由于兩個班級的水平沒有顯著差異，因此它們都適合作為實驗對象. 實驗A班和對照A班的數學教學，均由原班級的同一位數學教師負責進行.

3. 研究過程

實驗時間為兩周，教學課題為基本立體圖形，總共7個課時，其中6個課時用于教學實驗，1個課時用于后測，實驗A班和對照A班最近一次月考成績用于前測. 實驗A班采用GeoGebra軟件輔助的認知負荷理論指導下的實驗教學方法，而對照A班則繼續采用傳統的教學方法，不涉及任何動態數學軟件的應用.

在開展教學實驗之前，兩個班級的參與學生已經在初中階段掌握了平面幾何知識以及部分立體圖形的相關知識，并能夠分析圖形的運動和變化屬性.

實驗A班的教學設計主要基于之前提及的認知負荷理論，將本單元教學劃分為3個階段. 實驗A班的教學從對基本立體圖形的分類認識入手，在GeoGebra軟件環境中，重點培養學生對基本立體圖形結構特征的直觀感知，并通過操作探究空間幾何體. 教學分為3個階段，共計6個課時，內容包括以下6個課題.

（1）多面體的結構特征. 借助GeoGebra軟件，直觀感知多面體（包括棱柱、棱錐和棱臺）的點、線、面及其相互關系，并歸納和抽象出多面體的結構特征.

（2）旋轉體的結構特征. 借助GeoGebra軟件，直觀感知旋轉體（包括圓柱、圓錐、圓臺、球）的點、線、面及其相互關系，并歸納和抽象出旋轉體的結構特征.

（3）平面圖形的直觀圖. 學習直觀圖的概念，通過觀察窗戶和地面的影子隨時間的變化，以及稻田在遠距離視角下的形狀變化，引入斜二測畫法;學會繪制水平放置的平面圖形（包括圓、正方形、平行六邊形）的直觀圖.

（4）幾何體的直觀圖. 在掌握斜二測畫法和畫平面圖形的基礎上，嘗試繪制立體圖形（正方體、正六棱柱、圓柱、球、簡單組合體）的直觀圖. 概括繪制空間立體圖形的步驟：畫出軸線、底面、側面.

（5）多面體的表面積和體積. 利用GeoGebra軟件展示多面體的展開圖，促使學生理解多面體的表面積是圍成多面體各個面的面積之和;掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積公式，并運用公式計算它們的表面積;理解棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，根據條件計算底面面積和高，運用公式求解多面體的體積.

（6）旋轉體的表面積和體積. 利用GeoGebra軟件展示圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖，以及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，促使學生靈活運用圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，理解并掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的體積公式.

對照A班采用的是傳統教學方法. 教師首先引導學生觀察教材中的物體，讓他們識別形狀，并引導他們總結出多面體與旋轉體的定義. 在黑板上，教師繪制棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺以及球體，并詳細講解它們的定義和結構特點. 接著，學生通過觀察魔方（正方體），理解直觀圖的概念，并通過平行投影來研究斜二測畫法，學習運用這種畫法來繪制幾何體. 最終，學生掌握簡單幾何體的表面積和體積公式，并運用這些公式進行實際計算.

4. 數據收集

本次研究選取了實驗A班和對照A班最近一次月考的成績作為前測數據，同時以針對基本立體圖形單元主題的試卷測驗成績作為后測指標. 試卷內容涵蓋幾何體的主要結構特征、斜二測畫法、空間幾何體直觀圖的繪制，以及簡單幾何體及其組合體的表面積和體積計算等知識點. 在收集并整理了兩班學生實驗后的成績數據后，筆者運用獨立樣本t檢驗方法，對實驗A班與對照A班學生在成績上的差異進行了顯著性分析.

5. 實驗結果分析

運用SPSS軟件，得到表3所示的實驗結果. 從表3可以看到，實驗后實驗A班與對照A班在主題單元測試的平均成績分別為89.70和79.50. 通過獨立樣本t檢驗，發現p<0.05，這表明實驗A班與對照A班在實驗后的成績上存在顯著差異. 從實驗結果可以看出，在GeoGebra環境下，依據認知負荷理論設計的教學方法，對于促進學生對基本立體圖形的理解以及提升他們的數學成績具有積極效果.

討論

目前，絕大多數關于GeoGebra軟件的教學研究僅限于以認知理論為基礎進行分析或調查，鮮有研究將認知理論與GeoGebra軟件相結合，在數學教學實踐中探索其對學生數學成績的影響. 然而，通過GeoGebra軟件的繪圖功能，可以直觀地展示復雜的立體幾何概念，從而優化學生的認知負荷. 此外，現有研究已經表明，GeoGebra軟件能夠降低內在認知負荷和外在認知負荷，增加關聯認知負荷. 這表明，合理運用GeoGebra等信息技術工具，能夠平衡認知負荷的總量，并有助于提升教學效果[10].

根據認知負荷的產生原因和GeoGebra軟件的特點，從原因出發，借助GeoGebra軟件強大的3D繪圖功能和幾何代數同步展現特點，分解內在認知負荷、降低外在認知負荷、增加關聯認知負荷，形成GeoGebra環境下優化認知負荷的策略. 依據策略設計并執行基本立體圖形的教學實驗. 實驗結果顯示，實驗A班學生的總體成績相較于對照A班有顯著提升. 這一成效歸因于在立體幾何的入門學習階段，高中生在處理復雜且抽象的空間幾何體時，往往面臨過大的認知負荷，這會干擾學習效率. 對于特定學習內容，記憶中存在一個理想的認知負荷量. GeoGebra軟件通過將平面幾何知識與立體圖形相結合，分解內在認知負荷，并通過直觀展示三維圖形減少外在認知負荷. 此外，通過實驗操作激發學生的學習興趣，進而增加關聯認知負荷. 這種優化總認知負荷的方法，能有效提升教學效果.

研究成果表明，在GeoGebra軟件的支持下，基于認知負荷理論的教學方法在立體幾何教學中顯示出適用性. 該方法通過調整和優化學生的認知負荷，能在一定程度上有效提高學生的數學成績. 本次教學實踐探索將認知負荷理論與GeoGebra軟件相結合，應用于數學課堂的可能性，為信息技術與數學教學的整合提供了有益的參考. 此外，從認知負荷的角度出發，本研究還提出了在GeoGebra環境下優化學生認知負荷的立體幾何教學策略，旨在激發更廣泛的思考，為數學和物理教學中GeoGebra的應用開拓新的視角.

參考文獻：

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