構造直角三角形 破解中考壓軸題

摘" 要：相似三角形是初中數學中最重要的內容之一，它和勾股定理是解決與線段長度有關幾何問題的兩大利器.在初中數學解題中，分析幾何圖形中某些線段之間的關系離不開數量的計算，任何未知量的計算都可以歸結為方程，相似三角形的性質與勾股定理是構建方程的主要依據.基于此，筆者從構造直角三角形的視角出發，利用相似三角形的性質給出2024年山西省中考數學第15題的多種解法，以此豐富學生的解題經驗，培養學生的創新意識和創新思維，提高學生的幾何推理能力，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：直角三角形；相似三角形；構造；解法探究

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）35-0002-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡介：韓康（1976.1—），男，新疆喀什人，本科，中學高級教師，從事初中數學教學研究.

直角三角形和相似三角形是初中數學中最基本的幾何圖形，具有豐富的幾何性質，是證明或求解線段之間數量關系問題的核心工具，是全國各地歷年中考的重點知識，倍受命題專家的青睞.在解決幾何問題的過程中，根據已知條件和圖形特征，構造直角三角形或相似三角形是關鍵環節，其方法靈活多樣，對學生而言具有一定的挑戰性.筆者通過構造直角三角形，得到相似三角形，利用“相似三角形的對應邊成比例”這一基本性質給出2024年山西省中考數學第15題的多種解法，供讀者參考.

1" 試題再現

（2024年山西省中考數學第15題）如圖1，在ABCD中，AC為對角線，AE⊥BC于點E，點F是AE延長線上一點，且∠ACF=∠CAF，線段AB，CF的延長線交于點G.若AB=5，AD=4，tan∠ABC=2，則BG的長為.

2" 試題分析

本題是一道與平行四邊形、直角三角形、等腰三角形有關的幾何計算問題，這些圖形都是平面幾何中最重要、最核心的基本圖形，是《義務教育數學課程標準（2022年版）》規定的學生必須掌握的基礎知識［1］.從考查的知識來看，本題不但考查等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、相似三角形等基本圖形的性質，而且還考查相似三角形的判定.直角三角形的性質包括勾股定理、銳角三角函數等，由此可以看出，這道題涉及的知識點多，具有很強的綜合性，承載著一定的選拔性功能，對初中學生而言具有一定的難度，是一道中考填空壓軸題.本題的求解思路不唯一，可以構造某些關鍵線段的平行線解決問題，也可以構造垂線段解決問題.

筆者研究本題解法的基本路徑為“構造直角三角形→相似三角形→利用相似三角形的性質解決問題”［2］.

如圖1，因為∠ACF=∠CAF，所以△ACF是等腰三角形，AF=CF.因為AE⊥BC，所以△ABE、△ACE、△CEF都是直角三角形.顯然，線段CE是等腰△ACF的腰AF上的高線.在Rt△ABE中，AB=5，tan∠ABC=2.根據tan∠ABC=AEBE=2，可以設BE=x，那么AE=2x，根據勾股定理，可得到方程x2+（2x）2=（5）2，解得x=1（負根已舍去），所以AE=2，BE=1.易知BC=AD=4，所以CE=3.由勾股定理易得AC=13.在Rt△CEF中，令EF=y，則CF=AF=y+2，由勾股定理得32+y2=（y+2）2，解得y=54，故EF=54，AF=CF=134.

3" 解法探究

思路1" 根據已知條件，CE是等腰△ACF的腰AF上的高線，而等腰三角形兩腰上的高相等，由此易聯想到過點A作AM⊥CF，則AM=CE=3.為構建已知條件與所求結論之間的數量關系，需考慮過其他點作CG的垂線構造直角三角形，從而得到相似三角形，然后利用相似三角形的性質解決問題.

解法1" 如圖2，過點A作CG的垂線AM，過點B作CG的垂線BN，垂足分別為M，N.易知△CEF∽△CNB，所以EFBN=CFBC，易得BN=2013.同理可得△GBN∽△GAM，所以BGAG=BNAM，從而BG=20519.

點評" 這種解法借助垂線段構造直角三角形，得到了兩組相似三角形，由此得到了已知線段與所求線段之間的數量關系，求解過程簡潔明了，計算量較小，思路清晰自然，符合初中學生的認知特征.

解法2" 如圖3所示，過點A作CG的垂線AM，垂足為M，AM交BC于點H.過點E作CG的垂線EQ，垂足為Q， QE的延長線交AB于點N.由相似三角形的判定容易得到△EQF∽△AMF，所以EQAM=EFAF，易得EQ=1513.易知△AEH∽△AMF，所以EHFM=AEAM，易得EH=56.由此可知CH=CE－EH=136，BH=BE+EH=116.易知HM=EH=56，所以AH=AM－HM=136，AH=CH=116.易知△BEN∽△BHA，所以ENAH=BEBH=BNAB，易得EN=1311，BN=6511，AN=5511.由此可知NQ=EN+EQ=334143.易知△GQN∽△GMA，所以BNAB=NQAM，易得BG=20519.

解法3" 如圖4，過點A作CG的垂線AM，垂足為M，AM交BC于點J.過點F作CG的垂線FN，交AG于點N，交BC于點I.易知AJ=CJ=136，MJ=EJ=56.易知△AEJ∽△FEI，所以EIEJ=FIAJ=EFAE，易得EI=2548，FI=6548，所以BI=BE－EI=2348，BJ=116.易知△BNI∽△BAJ，所以NIAJ=BNAB=BIBJ，易得NI=299528，BH=23588，所以FN=NI+FI=16988.易知△GFN∽△GMA，所以GNAG=FNAM，由此可得BG=20519.

點評" 解法2與解法3都需借助三組相似三角形構建已知線段與所求線段之間的數量關系.與解法1相比，這種解法求解過程較為煩瑣復雜，計算量較大，對學生的計算能力和幾何推理能力要求較高［3］.

解法4" 如圖5，過點A作CG的垂線AM，垂足為M，AM交BC于點J.過點G作CG的垂線GN，交CB的延長線于點N.根據已知條件易得AJ=CJ=136，MJ=EJ=56.令BN=m，

易知△CMJ∽△CGN，所以CJCN=MJGN，易得GN=5（m+4）13.易知△ABJ∽△GBN，所以AJGN=BJBN=ABBG，從而可知136m=5（m+4）13×116，解得m=11057.由此可知BG=20519.

點評" 與其他解法相比，這種解法較為復雜，需通過設元求解某些關鍵線段的長，然后借助相似三角形的性質，構建已知線段與所求線段之間的數量關系，即通過列方程解決問題［4］.

思路2" 根據圖形結構特征，易求得△ABC的邊AB上的高，由此易聯想到過點C作CN⊥AB.為探尋已知條件與所求結論之間的邏輯關系，可考慮過其他點作AG的垂線構造直角三角形，從而得到相似三角形，然后利用相似三角形的性質解決問題.

解法5" 如圖6，過點C作CM⊥AG，垂足為M，過點F作FN⊥AG，垂足為N.易知FN=13520，AN=13510，所以BN=AN－AB=3510.易知CM=855，所以BM=455，所以MN=BN+BM=11510.易知△GFN∽△GCM，所以GNGM=FNCM，即32GN=13（GN+MN），所以GH=1435190.由此可得BG=GN+BN=20519.

點評" 這種解法借助兩條垂線段構造直角三角形，得到了相似三角形，由此得到了已知線段與所求線段之間的數量關系.與解法1相比，這種解法計算量較大，

對學生的計算能力要求較高.

4" 結束語

在初中數學解題中，等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、全等三角形、相似三角形等基本圖形是最基本的幾何模型，它們的性質是解決幾何問題的基本工具.在初中數學教學中，教師要重視基礎知識教學，重視基本方法訓練，豐富學生解題思路，引導學生積累解題經驗，不斷提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 張寧.構造基本圖形 突破思維瓶頸［J］.數理化學習（初中版），2023（9）：20-27.

［3］ 張寧.2022年四川省綿陽市中考數學第18題解法探究［J］.數理化學習（初中版），2023（7）：25-32.

［4］ 喬鳳燕.構造基本圖形 妙解折疊問題：一道三角形試題的解法探究［J］.中學數學教學參考，2023（12）：36-37.

［責任編輯：李" 璟］