“截長補短法”在平面幾何問題中的應用

摘" 要：“截長補短法”作為初中數學平面幾何問題中一種經典的添加輔助線的方法，不僅體現了數學思維的靈活性，更是解決線段之間數量關系問題的利器.基于此，筆者探討“截長補短法”的含義，舉例說明其在平面幾何問題中的應用，并給出教學啟示，以期為初中數學教學提供參考.

關鍵詞：平面幾何；“截長補短法”；全等三角形；應用

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）35-0038-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡介：江同營（1981.2—），男，江蘇省沛縣人，本科，中小學高級教師，從事初中數學教學研究.

在初中平面幾何問題中，線段之間的數量關系問題是學生學習過程中的一大挑戰，也是學生普遍感到困惑的難點之一.“截長補短法”以其獨特的思維方式，為解決這類問題提供了一種有效途徑.筆者將從“截長補短法”的特征出發，分析其基本含義，并通過典型例題探討具體應用策略.

1" “截長補短法”的含義及應用策略

“截長補短法”，顧名思義，包含“截長”與“補短”兩種策略.“截長”指的是在一條較長的線段上截取一段與某條較短線段相等的部分；“補短”則是將一條較短的線段延長至與某條較長線段相等的長度.這兩種方法的核心在于通過構造新的幾何圖形，從而揭示原圖形中隱藏的線段之間的數量關系［1］.

在利用“截長補短法”解決問題的過程中，首先要選擇合適的基準線段，即需要確定哪條線段作為基準進行截取或延長.通常情況下，需選擇與其他線段有較多關聯或易于構造新圖形的線段作為基準.選擇好合適的線段之后，再構造全等三角形.即截取或延長線段后，需要構造出與原圖形部分或完全相同的圖形，以便利用全等三角形的性質進行證明.同時，要注意線段的相對位置.在截取或延長線段時，需要仔細考慮新線段與原線段之間的相對位置關系，以確保所構造的圖形符合題目要求.

2" 典型例題分析

基于以上分析，筆者通過一些典型例題探討“截長補短法”的具體應用策略.

例1" ［方法探究］（1）如圖 1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C ，探究AC，AB，BD之間的數量關系.

嘉銘同學思考發現，可以通過“截長”和“補短”兩種方法解決問題.

思路1：如圖2，在AC上截取AE，使AE=AB，連接DE，可以得到全等三角形，從而解決此問題.

思路2：如圖 3，延長AB到點E，使BE=BD，連接DE，可以得到等腰三角形，從而解決此問題.

請你選擇其中一種方法的解題思路，寫出解題過程.

（2）［遷移應用］如圖 4，在△ABC中，D是BC上一點，∠B=2∠C，AD⊥BC于D， 探究CD，AB，BD之間的數量關系，并證明.

（3）［拓展延伸］ 如圖5，△ABC為等邊三角形，點D為AB延長線上一動點，連接CD.以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，點F是DE的中點，連接AF并延長，交CD的延長線于點G.若∠G=∠ACE，求證：GF=AE+AF.

解析" （1）方法1：如圖2，因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.在△BAD和△EAD中，因為AD=AD，∠BAD=∠EAD，AB=AE，所以△ABD≌△AED，所以BD=ED，∠AED=∠ABC=2∠C.因為∠AED=∠C+∠EDC，所以∠EDC=∠C，所以EC=ED=BD，所以AC=AE+EC=AB+BD.

方法2：如圖3，延長AB到點E，使BE=BD，連接DE，則∠E=∠BDE.因為∠ABD=2∠C，

∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E，所以∠C=∠E.因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.在△EAD和△CAD中，因為∠EAD=∠CAD，∠E=∠C，AD=AD，所以△EAD≌△CAD.由此可知AE=AC.因為AE=AB+BE=AB+BD，所以AC=AB+BD.

（2）如圖6，在CD上截取DE=DB，連接AE.因為AD⊥BC，所以AE=AB，∠AEB=∠B.因為∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，所以∠C+∠CAE=2∠C，所以∠CAE=∠C，所以EA=EC，所以CD=CE+ED=AE+DB=AB+DB.

（3）如圖7所示，因為△ABC，△CDE為等邊三角形，所以∠ACB=∠ECD=60°，CA=CB，CE=CD，所以∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB=∠BCD，所以∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，因為CA=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，所以△ACE≌△BCD，所以∠EAC=∠DBC=120°，所以∠ACE+∠AEC=60°.

過D作DH//AE，交AG于點H，則∠EAF=∠FHD.因為F是ED的中點，所以EF=FD.在△AEF和△HDF中，因為∠AFE=∠HFD，EF=DF，∠EAF=∠DHF，所以△AEF≌△HDF，所以AF=HF，AE=DH，∠AEF=∠HDF.因為∠GDF=180°-∠CDE=180°-60°=120°，所以 ∠HDF+∠GDH=∠GDF=120°.又因為∠AEF+∠ACE=∠FEC+∠AEC+∠ACE=60°+60°=120°，所以∠GDH=∠ACE.又因為 ∠G=∠ACE，所以∠G=∠GDH，所以GH=HD=AE，所以GF=GH+HF=AE+AF.

點評" 本題主要考查“截長補短法”的綜合運用.第（1）問的思路1是典型的“截長法”，通過在△ABC的AC邊上截取線段AE=AB，再連接DE，從而構造出全等三角形，即△ABD≌△AED，再利用全等三角形的性質將線段進行轉化，即可證明AC=AB+BD.而第（1）問的思路2則是典型的“補短法”，通過將△ABC的AB邊延長到點E，得到BE=BD，再連接DE，從而構造出全等三角形，即△ABE≌△ADC，再利用全等三角形的性質將線段進行轉化，即可證明AC=AB+BD.由此可以發現，“截長法”和“補短法”的解題思路類似，都是通過作一條與已知線段等長的線段，從而構造出全等三角形，再利用全等三角形的性質進行解題.因此，“截長法”和“補短法”是相輔相成的兩種解題方法.第（1）問幫助學生熟悉“截長補短法”，為解答后兩問提供了鋪墊.第（2）問和第（3）問采用的也是“截長補短法”，具體來說是“截長法”，但難度更大，要求學生深刻掌握“截長補短法”的本質，并靈活運用其解決問題，對學生的思維能力要求較高［2］.

3" 教學啟示

“截長補短法”作為幾何學中一種常用的解題策略，其教學價值不僅體現在解決具體問題上，更體現在培養學生的數學思維能力上.

3.1" 培養邏輯思維和問題解決能力

“截長補短法”要求學生在面對復雜幾何問題時，能夠識別出問題的關鍵點，并通過構造輔助線簡化問題.這一過程鍛煉了學生的邏輯思維能力，使他們學會如何將大問題分解為小問題，并逐步解決.同時，通過不斷嘗試和調整，學生能夠學會有效應對挑戰，進而提升其問題解決能力.

3.2" 加深學生對幾何概念的理解

“截長補短法”的應用往往需要學生深入理解幾何中的基本概念和性質，如平行、垂直、等腰三角形、直角三角形、全等三角形等.在運用“截長補短法”解題的過程中，學生需要反復運用這些概念和性質，從而加深對它們的理解和記憶.這種基于理解的學習，有助于培養學生靈活運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

3.3" 促進學生創新思維的發展

“截長補短法”鼓勵學生從不同角度審視問題，尋找多種可能的解決方案.在解題過程中，學生需要發揮想象力和創造力，嘗試利用不同的方式構造輔助線，以找到最簡潔、最有效的解題方法.這種嘗試和探索的過程能夠促進學生創新思維的發展，培養他們的創新意識和創新能力［3］.

3.4" 提升學生對幾何圖形的直觀感知能力

“截長補短法”往往涉及對幾何圖形的直觀操作和觀察.通過動手繪制圖形、截取或延長線段等操作，學生可以更直觀地感知圖形的變化和性質.這種直觀感知能力的提升，有助于學生在未來的學習中更好地理解和應用幾何知識.

4" 結束語

在初中數學教學中，“截長補短法”的教學價值在于它不僅能夠幫助學生靈活運用所學知識解決具體的幾何問題，更在于它對學生數學思維、問題解決能力、幾何概念理解、創新思維發展的深遠影響，能夠有效提升學生的數學核心素養.

參考文獻：［1］ 周影.靈活運用“截長補短”法求證線段的和差關系：一道中考題的多種解法及策略分析［J］.中學數學，2024（6）：78-79.

［2］ 袁魁.初中數學“截長補短”模型的分析［J］.現代中學生（初中版），2024（4）：25-26.

［3］ 賈立娟.用“截長補短法”巧解線段和差問題［J］.數理天地（初中版），2022（2）：6-7.

［責任編輯：李" 璟］