換元法在解方程中的應(yīng)用

摘" 要：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解方程是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.有些方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜，如果采用常規(guī)方法直接求解，其運(yùn)算量大，不易求得正確結(jié)果.為此，可考慮利用換元法求解.基于此，文章結(jié)合整體思想，利用換元法求解較為復(fù)雜的一元一次方程、一元二次方程、分式方程、方程組和高次方程等，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：方程；方程組；整體思想；換元法；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）35-0059-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡(jiǎn)介：夏冬平（1975.10—），男，江蘇省南通人，本科，中學(xué)正高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果方程或方程組的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，用常規(guī)方法求解比較繁瑣，這時(shí)需根據(jù)整體思想，利用換元法求解，才能簡(jiǎn)化運(yùn)算［1］.

1" 一元一次方程

例1" 若關(guān)于x的一元一次方程2 0212 022x+3=2x+m的解為x=-2，則關(guān)于y的一元一次方程2 0212 022（y+1）+3=2（y+1）+m的解為（" ）.

A．y=1" B．y=-2" C．y=-3" D．y=-4

解" 因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程2 0212 022x+3=2x+m的解為x=-2，所以關(guān)于y的一元一次方程2 0212 022（y+1）+3=2（y+1）+m的解為y+1=-2，解得y=-3.選C．

點(diǎn)評(píng)" 把方程2 0212 022（y+1）+3=2（y+1）+m看作關(guān)于y+1的一元一次方程，則y+1=-2，從而得到y(tǒng)的值．

例2" 若關(guān)于m的方程bm+c=0（b≠0）的解為m=6，則關(guān)于x的方程b（x2-x）+c=0的解是（" ）.

A．x=6""""" B．x=30C．x1=3，x2=-2D．x1=-3，x2=2

解" 將方程b（x2-x）+c=0看著關(guān)于（x2-x）的一元一次方程，而關(guān)于m的方程bm+c=0（b≠0）的解為m＝6，因?yàn)閤2-x=m=6，所以x2-x=6，解得x1=3，x2=-2.選C．

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查換元法解方程.通過(guò)對(duì)比兩個(gè)方程可知m=x2-x，結(jié)合m=6即可求出方程b（x2-x）+c=0的解．

2" 一元二次方程

例3" 關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）．

（1）已知a，c異號(hào)，試說(shuō)明此方程根的情況．

（2）若該方程的根是x1=-1，x2=3，試求方程a（x-2）2+bx-2b+c=0的根．

解" （1）因?yàn)閍，c異號(hào)，所以aclt;0，所以-acgt;0.因?yàn)閎2≥0，所以△=b2-4acgt;0，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）方程a（x-2）2+bx-2b+c=0可變?yōu)閍（x-2）2+b（x-2）+c=0.令x-2=y，則原方程可變?yōu)閍y2+by+c=0，因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x1=-1，x2=3，所以方程ay2+by+c=0的兩個(gè)根為y1=-1，y2=3，故x-2=-1或x-2=3，解得x1=1，x2=5．

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查一元二次方程的根的判別式、一元二次方程的解法、換元法解一元二次方程等知識(shí).第（2）問(wèn)將x-2作為整體，根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求解．

例4" 若n滿足（n-2 022）2+（2 023-n）2=5，則（n-2 022）（2 023-n）的值是．

解" 設(shè)n-2 022=a，2 023-n=b，則a2+b2=5，a+b=（n-2 022）+（2 023-n）=1．因?yàn)椋╝+b）2=a2+2ab+b2，所以2ab=（a+b）2-（a2+b2）=-4，所以ab=-2，故（n-2 022）（2 023-n）=-2．

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式，并且靈活運(yùn)用換元法是解題的關(guān)鍵．設(shè)n-2 022=a，2 023-n=b，則可得a2+b2=5，a+b=1.根據(jù)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2即可求出ab的值，從而得解．

3" 分式方程

例5" 如果x+32=y-13=z-24，且x+y+z=18，則2x-y-z的值為．

解" 設(shè)x+32=y-13=z-24=k，則x=2k-3，y=3k+1，z=4k+2.因?yàn)閤+y+z=18，所以2k-3+3k+1+4k+2=18，所以k=2，所以x=1，y=7，z=10，所以2x-y-z=2-7-10=-15.

點(diǎn)評(píng)" 本題考查比例的性質(zhì).設(shè)x+32=y-13=z-24=k，則x=2k-3，y=3k+1，z=4k+2，再根據(jù)x+y+z=18，求出k的值，從而得出x，y，z的值．

例6" 用換元法解方程xx2-1+2x2-2x=35時(shí)，若設(shè)xx2-1=y，則原方程可化為整式方程.

解" 設(shè)xx2-1=y，則方程xx2-1+2x2-2x=35可以化為y+2y=35，整理得5y2-3y+10=0.

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查換元法解分式方程.當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，通常采用換元法簡(jiǎn)化方程［2］．將xx2-1=y代入到原方程中，再進(jìn)行整理即可．

4" 二元二次方程

例7" 已知2（x+y）2-3x-3y-2=0，求x+y的值．

解" 2（x+y）2-3x-3y-2=0，即2（x+y）2-3（x+y）-2=0.利用十字相乘法分解因式得［2（x+2y）+1］（x+y-2）=0，則2（x+2y）+1=0或x+y-2=0.由2（x+2y）+1=0得x+y=-12；由x+y-2=0得x+y=2.故x+y=-12或x+y=2．

點(diǎn)評(píng)" 將方程變形為2（x+y）2-3（x+y）-2=0，把x+y看作一個(gè)整體，解二元一次方程即可.

例8" 閱讀材料：我們知道，4x-2x+x=（4-2+1）x=3x，類似地，我們把（a+b）看成一個(gè)整體，則4（a+b）-2（a+b）+（a+b）=（4-2+1）（a+b）=3（a+b），整體思想是初中數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．

（1）嘗試應(yīng)用：把（a-b）2看成一個(gè)整體，合并3（a-b）2-5（a-b）2+7（a-b）2的結(jié)果是．

（2）已知x2-2y=1，求3x2-6y-5的值．

（3）拓展探索：已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求（a-c）+（2b-d）-（2b-c）的值．

解" （1）3（a-b）2-5（a-b）2+7（a-b）2=（3-5+7）（a-b）2=5（a-b）2．

（2）3x2-6y-5=3（x2-2y）-5.由x2-2y=1可知，原式=3×1-5=-2．

（3）（a-c）+（2b-d）-（2b-c）=a-c+2b-d-2b+c=（a-2b）+（2b-c）+（c-d）.因?yàn)閍-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，從而原式=8．

點(diǎn)評(píng)" 本題是一道閱讀理解題，主要考查求代數(shù)式的值，理解整體法是解題的關(guān)鍵．

5" 方程組

例9" 已知關(guān)于x、y的方程組ax+by=10，mx-ny=8的解是 x=4，y=6.則關(guān)于x、y的方程組2a（x+y）+3b（x-y）=10，2m（x+y）-3n（x-y）=8的解是．

解" 令m=2（x+y），n=3（x-y），則原方程組的解為m=2（x+y）=4，n=3（x-y）=6.由2（x+y）=4，3（x-y）=6，得x=2，y=0.

點(diǎn)評(píng)" 本題考查二元一次方程組的解及同解方程組，利用整體思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.根據(jù)已知條件及所求問(wèn)題，由同解方程組的性質(zhì)即可求解．

例10" 閱讀理解，并根據(jù)所得規(guī)律答題解二元一次方程組的基本方法有代入法、加減法兩種消元策略，有一種方程組，不是二元一次方程組，但結(jié)構(gòu)類似，如2x+3y=5，5x-2y=3.我們分析x≠0，y≠0，可以采用換元法來(lái)解：設(shè)1x=m，1y=n，原方程組轉(zhuǎn)化為2m+3n=5，5m-2n=3.解得m=1，n=1.所以1x=1，1y=1，由倒數(shù)定義得，原方程組的解為x=1，y=1.

（1）直接寫(xiě)出滿足方程3x+2y=4的一個(gè)解；

（2）解方程組3x+2y=4，5x-6y=2.

解" （1）x=1，y=2.

（2）設(shè)1x=m，1y=n，原方程組轉(zhuǎn)化為3m+2n=4，5m-6n=2.解得m=1，n=12.所以1x=1，1y=12，由倒數(shù)定義得，原方程組的解為x=1，y=2.

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查二元一次方程組的有關(guān)知識(shí).在解題過(guò)程中，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，n的方程組是解題的關(guān)鍵．對(duì)于第（1）問(wèn)，根據(jù)方程解的定義，先假定x等于一個(gè)數(shù)，再求出對(duì)應(yīng)的y即可.對(duì)于第（2）問(wèn)，仿照例題，設(shè)1x=m，1y=n，則原方程組可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，n的方程組，可求出m，n的值，進(jìn)而求出方程組的解.

6" 高次方程

例11" 解方程（x2+x）2-3（x2+x）+2=0.

解" 設(shè)t=x2+x，則原方程化為t2-3t+2=0，解得

t=1或t=2.當(dāng)t=1時(shí)，x2+x=1，解得x=-1+52或x=-1-52；當(dāng)t=2時(shí)，x2+x=2，解得x=-2或x=1.故原方程的解為x1=-2，x2=1，

x3=-1+52，x4=-1-52．

點(diǎn)評(píng)" 本題考查一元二次方程的解法，利用換元法即可把較為復(fù)雜的一元二次方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程，從而得到原方程的解.在本題中，設(shè)t=x2+x，則可將高次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程.

7" 結(jié)束語(yǔ)

換元法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想，其目的是簡(jiǎn)化方程結(jié)構(gòu)，給計(jì)算帶來(lái)方便.但需要注意的是，一定要注意新元的取值范圍，防止方程出現(xiàn)增根.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透換元思想，不斷提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 鄭鈺.換元法在解方程中應(yīng)用的四個(gè)原則［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（1）：8-9.

［2］ 于雯雯.例談?chuàng)Q元法解題［J］.數(shù)理化解題研究，2023（21）：38-40.

［責(zé)任編輯：李" 璟］