一道三角形折疊問題的解法探究與變式拓展

摘" 要：折疊問題是全國各地歷年中考數學的熱點問題，其涉及三角形、四邊形、圓等核心知識，綜合性較強，對學生而言具有一定的難度.基于此，筆者以一道三角形折疊問題為例，探討此類問題的求解策略，同時對試題進行變式拓展，以培養學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：折疊問題；三角形；解法；變式

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）35-0062-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡介：楊春莉（1983.3—），女，江蘇省南通人，本科，中小學一級教師，從事初中數學教學研究.

折疊問題是中考中的常見題型，主要包括三角形、正方形、矩形、圓等圖形的折疊問題［1-4］.圖形的折疊本質上是圖形的軸對稱變換，其隱含著軸對稱的性質.這類問題綜合性較強，考查的知識點較多，通常涉及全等三角形的判定與性質、勾股定理、四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識.筆者以2023年武漢市中考數學第16題為例，談談這類問題的求解策略及變式拓展，供讀者參考.

1" 試題呈現

問題1" 如圖1，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點.若DG=m，EH=n，用含m，n的式子表示GH的長是.

2" 解法探究

本題以等邊三角形為載體，主要考查圖形折疊的性質、等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，其綜合性較強，具有一定的難度.

解法1" 因為△ABC是等邊三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°.因為△FDE是由△BDE折疊得到的，所以△BDE≌△FDE，所以S△BDE=S△FDE，且∠F=∠B=60°=∠A=∠C.因為DE平分等邊△ABC的面積，所以S四邊形ACED=S△BDE=S△FDE.又因為 S四邊形ACED=S△ADG+S四邊形DGHE+S△CHE，S△FDE=S△FHG+S四邊形DGHE，所以S△FHG=S△ADG+S△CHE.因為∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，且∠A=∠F=∠C=60°，所以△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，所以S△ADGS△FHG=（DGGH）2=m2GH2，S△CHES△FHG=（EHGH）2=n2GH2，所以S△ADGS△FHG+S△CHES△FHG=m2+n2GH2=S△ADG+S△CHES△FHG=1，所以GH2=m2+n2，所以GH=m2+n2.

點評" 根據等邊三角形的性質得到∠A=∠B=∠C=60°，根據折疊的性質得到△BDE≌△FDE.根據DE平分等邊△ABC的面積得到S四邊形ACED=S△BDE=S△FDE， 由此可得S△FHG=S△ADG+S△CHE.根據相似三角形的判定可知△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，再根據“相似三角形面積比等于相似比的平方”可知S△ADGS△FHG=（DGGH）2=m2GH2，S△CHES△FHG=（EHGH）2=n2GH2，最后將兩式相加可得GH2=m2+n2，即GH=m2+n2.由此可以看出，全等三角形與相似三角形的性質是解決幾何計算問題的基本工具.

解法2" 如圖2，分別過點A，F，C作AM⊥DG，FN⊥AC，CP⊥HE， 垂足分別為M，N，P.

類似解法1，易知△ADG∽△FHG∽△CHE，所以AMFN=DGGH，FNCP=GHHE.設AM=a，GH=b，FN=c，CP=d，則ac=mb，cd=bn.由此可知a=cmb，d=cnb，所以am=cm2b，dn=cn2b.因為DE平分△ABC的面積，所以S△BDE=S 四邊形ADEC.由折疊的性質知S△BDE=S△DFE，所以S△DFE=S 四邊形ADEC，所以S△FGH=S△ADG+S△CEH，所以12GH·FN=12DG·AM+12EH·CP，即bc=am+dn，所以bc=cm2b+cn2b，即b2=m2+n2，所以GH=m2+n2.

點評" 這種解法需先證明△ADG∽△FHG∽△CHE，然后根據相似三角形的性質得到三角形的高與邊之間的數量關系a=cmb，d=cnb.根據已知條件可知，DE平分等邊△ABC的面積，由此可得到S△FGH=S△ADG+S△CEH，最后根據三角形的面積公式即可得出答案.從解題過程可以看出，相似三角形的性質發揮了重要作用.

3" 變式拓展

3.1" 從折疊一個角到折疊兩個角

問題1是將等邊△ABC的一個角折疊得到的幾何問題.若將三角形的兩個角折疊，能否得到類似的結論呢？

變式1" 如圖3，DE平分等邊△ABC的面積，折疊四邊形ADEC得到四邊形DFGE，FG與AB相交于點H，與BC相交于點I.試探究線段DH，HI，IE之間的數量關系.

解析" 因為△ABC是等邊三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°.因為四邊形DFGE是由四邊形ADEC折疊得到的，所以S四邊形ADEC=S四邊形DFGH，且∠F=∠A=60°=∠G=∠C.因為DE平分等邊△ABC的面積，所以S△BDE= S四邊形ADEC= S四邊形DFGE.又因為S△DBE=S四邊形DHIE+S△IBH， S四邊形DFGE=S△DFH+S四邊形DHIE+S△IGE，所以S△IBH=S△DFH+S△IGE.因為∠DHF=∠IHB，∠BIH=∠GIE，且∠F=∠B=∠G=60°，所以△DFH∽△IBH，△IGE∽△IBH，所以S△DFHS△IBH=DH2HI2，S△IGES△IBH=IE2HI2，所以S△DFHS△IBH+S△IGES△IBH=DH2+IE2HI2=S△DFH+S△IGES△IBH=S△IBHS△IBH=1，由此可知DH2+IE2=HI2.

點評" 變式1與問題1的解答類似，首先根據等邊三角形的性質得到∠A=∠B=∠C=60°.根據折疊的性質得到S四邊形ADEC=S四邊形DFGH，然后由DE平分等邊△ABC的面積得到S△BDE= S四邊形DFGE， 由此可得S△IBH=S△DFH+S△IGE.根據相似三角形的判定可證明△DFH∽△IBH，△IGE∽△IBH，根據“相似三角形面積比等于相似比的平方”可知S△DFHS△IBH=DH2HI2，S△IGES△IBH=IE2HI2，兩式相加即可得DH2+IE2=HI2.

3.2" 從折疊正三角形到折疊正方形

問題1與變式1都是折疊正三角形得到的幾何問題.正三角形屬于正多邊形的一種，若將正三角形改為其他正多邊形，能否得到類似的結論呢？

變式2" 如圖4，EF平分正方形ABCD的面積，折疊四邊形ABFE得到四邊形GHFE，GH與AD相交于點于I，與CD相交于點J兩點，FH與CD相交于點K.試探究IE，IJ，JK，KF之間的關系.

解析" 因為四邊形ABCD為正方形，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因為四邊形GHFE是由四邊形ABFE折疊得到的，所以S四邊形ABFE=S四邊形GHFE，且∠G=∠A=90°=∠H=∠B.因為DE平分正方形ABCD的面積，所以S四邊形GHFE= S四邊形ABFE= S四邊形EFCD.又因為S四邊形GHFE= S△EIG+ S五邊形EFKJI+S△JKH，S四邊形EFCD= S△JID+ S五邊形EFKJI+S△FKC，所以 S△EIG+S△JKH= S△JID+S△FKC.因為∠GIE=∠DIJ=90°-∠DJI=90°-∠HJK=∠HKJ=∠CKF，且∠G=∠D=∠H=∠C=90°，所以△EIG∽△JID∽△JKH∽△FKC，所以S△EIG： S△JID：S△JKH：S△FKC=EI2：IJ2：JK2：KF2，所以S△EIGS△JID=EI2IJ2，S△JKHS△JID=JK2IJ2，所以S△EIG+S△JKHS△JID=S△EIGS△JID+S△JKHS△JID=EI2IJ2+JK2IJ2=EI2+JK2IJ2.同理可得，S△EIG+S△JKHS△FKC=S△EIGS△FKC+S△JKHS△FKC=EI2KF2+JK2KF2=EI2+JK2KF2.從而可得S△EIG+S△JKHS△JID+S△FKC=EI2+JK2IJ2+KF2.又因為 S△EIG+S△JKH= S△JID+S△FKC，所以EI2+JK2IJ2+KF2=S△EIG+S△JKHS△JID+S△FKC=1，所以EI2+JK2=IJ2+KF2.

點評" 變式2將問題1與變式1中的正三角形推廣到正方形，難度更大，但其解答思路類似.首先根據正方形的性質得到∠A=∠B=∠C=∠D=90°.根據折疊的性質得到S四邊形ABFE=S四邊形GHFE，然后根據DE平分正方形ABCD的面積得到S四邊形GHFE= S四邊形EFCD， 由此可得 S△EIG+S△JKH= S△JID+S△FKC.根據相似三角形的判定易證明△EIG∽△JID∽△JKH∽△FKC，根據“相似三角形面積比等于相似比的平方”及比例的性質可得EI2+JK2=IJ2+KF2.

4" 結束語

折疊問題是中考的熱點和難點，這類問題涉及圖形的對稱變換，不僅能夠考查學生對幾何圖形的認識與操作能力，而且可以考查學生的邏輯推理能力和抽象思維能力.在中考數學復習中，教師應重視折疊問題的教學，通過多樣化的教學策略培養學生的解題能力，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：［1］ 孫鍇.關于圖形變換中的折疊探究：以矩形背景下的折疊問題為例［J］.數學教學通訊（中旬），2024（1）：82-85.

［2］ 陳玉松.聚焦本質 變式拓展：以一道正方形折疊問題為例［J］.初中數學教與學，2024（4）：17-19，35.

［3］ 賈曉陽.圖形折疊問題分類例析［J］.中學教學參考（中旬），2023（12）：31-33.

［4］ 喬鳳燕.構造基本圖形 妙解折疊問題：一道三角形試題的解法探究［J］.中學數學教學參考（下旬），2023（4）：36-37.

［責任編輯：李" 璟］