從整體的角度理解中學數學教學內容

摘 要：促進學生對數學的整體理解是中學數學教學的重要目標之一。整體理解中學數學教學內容主要包括知識、思維和方法三個層面。以“章”為單位來看，以不同的知識為載體教的應該是同一種數學思維或同一種學科觀點。每個知識領域處理問題的數學思維具有共同特征，從而就具有了思維活動的整體性。解決數學問題時要運用一般方法對研究對象進行研究，在得出性質或關系后，演繹出解決具體問題的具體方法，這就是“方法層面”的整體理解。

關鍵詞：中學數學；教學內容；整體性；數學本質；數學思維

基于數學的整體理解開展數學教學，是新課程改革的重要理念。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“教學建議”中指出：“在教學中，要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。”^［1］《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“教學建議”中指出：“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展。”^［2］可見，不同學段的數學課程標準對教學內容的整體性都給予了高度的關注，并在教學建議中提出了明確的要求，揭示出做好數學教學工作的深刻道理。這對數學教學研究和實踐有著現實的指導意義。

從數學學習的角度看，學生在不同的階段獲得的知識往往是局部的，只有在整體中才能看清局部知識的意義和作用，以及局部知識與其他知識的區別和聯系。各個局部知識按照某種觀點和方法組織成整體，才便于存儲、提取和應用。因此，促進學生對數學的整體理解是中學數學教學的重要目標之一。

整體理解中學數學教學內容具體包括什么呢？我們只有了解整體理解的內涵，才能在數學教學中實施這一重要理念。結合數學教學的實踐與思考，我認為整體理解中學數學教學內容主要包括以下三個方面：

一、 知識層面的整體理解

知識層面的整體理解可以小到一節課的知識，大到一章或幾章的知識、一個學段的知識甚至跨學段的知識。以“章”的知識為例：從“章”的角度理解知識、把握知識是研究教學的切入點，也是提高教師專業能力的落腳點。從表面上看，課是一節一節上的，每節課教授的知識也是不同的。但是，如果以“章”為單位來看，則不同的知識講的應該是同一件事情；從教學的角度看，以不同的知識為載體教的也應該是同一種數學思維或同一種學科觀點。

例如七年級《有理數》這一章，表面上看，概念多、運算法則多。學生學習時首先要面對的是正數和負數、相反數、絕對值等幾個非常重要的數學概念，為什么要學習這些概念呢？教學中，教師可以啟發學生思考：表示有理數a的點A在數軸上是怎樣確定的？這個問題本質上是點與直線位置關系的確定問題。點A在數軸上首先要有位置，位置在哪里呢？數軸上的原點O把數軸分成了三部分，除了原點O以外，還有數軸上原點O的左側部分和右側部分，這就是原點O在數軸上劃分的位置。點A是和原點O重合，還是在數軸上原點O的哪一側？為此，首先需要知道點A表示的數a如果不是零，其符號是什么？其次需要確定點A在數軸上的位置，這個確定是相對于原點O的（要么與原點O重合，要么與原點O的距離是確定的），這就對應著點A表示的數a的絕對值大小。

之后，在“有理數的運算”教學中，針對運算法則多，含義不易理解的難點，教師要注意引導學生把理解有理數概念的思維活動應用于運算的學習中。比如有理數的加法法則，從形式上看，敘述復雜、不好理解，但實際上，說的無非是兩個加數的和的確定問題：一是符號，二是絕對值。同樣，有理數的乘法法則、乘方法則，講的都是如何從符號和絕對值這兩個方面去確定積、確定冪。

如此看來，《有理數》全章都是圍繞一個問題展開的，即無論是研究一個有理數，還是兩個有理數的各種運算（運算結果還是一個有理數），都是通過符號、絕對值來確定的。不難看出，“確定一個有理數，一是符號，二是絕對值”這個觀點是《有理數》全章知識的靈魂，是最本質的。如果學生能夠抓住這個本質，就可以提綱挈領地把握各部分知識，把《有理數》這一章的知識按照一定的順序組織起來形成一個整體，從而對數學知識的認識得到進一步深化。

再如，八年級《整式的乘法與因式分解》這一章的教學如何體現知識的整體性？如果對整式乘法中的“平方差公式”和“完全平方公式”，都先給學生幾個特殊的“多乘多”例子［如（x+1）（x-1）=""" ，（x+1）（x+1）=""" ］，讓學生計算結果，再歸納得出相應的公式，就看不到公式之間內在的邏輯關系了，機械記憶、熟練應用公式就成為學習這部分知識的主要思維活動了。同樣地，如果因式分解中的“公式法”就是把整式乘法中的“平方差公式”或“完全平方公式”倒過來運用，則本質上就是在套用公式，談不上有什么數學思維，更看不到知識之間內在的邏輯關系。實際上，“整式乘法與因式分解”的整體性體現在等式（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq（以下記作公式*）上。對這個代數結構的理解，可以有不同的方向：從左往右看，是多項式乘多項式轉化為單項式與多項式相乘，得到幾個單項式的和，或者說得到一個多項式，這個方向的變形引發的數學思維活動聚焦在運算上；從右往左看，是幾個單項式的和，也就是一個多項式變形為幾個整式的乘積，即所謂的因式分解，這個方向的變形引發的數學思維活動聚焦在對多項式代數特征的分析上。

先看“乘法公式”，多項式與多項式相乘方向的公式*是單元知識整體性的核心所在。平方差公式、完全平方公式是特殊的多項式與多項式相乘，因此，從具有一般性的多項式與多項式相乘的公式*來引出平方差公式、完全平方公式更自然，更符合數學知識發生發展的邏輯。要通過對公式*右端的四個單項式的分析，向學生提出“能不能由4個單項式變成3個或2個”的問題，進而啟發學生找到p、q與a、b之間的特殊關系，從而得到平方差公式、完全平方公式。

再看“因式分解”，按照以往的教學要求，至少需要2個課時，分別教學“提公因式法”和“公式法”。但是，如果從整體的角度理解這部分教學內容，就會發現所謂的“公式法”本質上就是“提公因式法”，就可以在第1課時通過分析公式*右端的代數特征，將數學思維活動聚焦到研究多項式ap+aq+bp+bq上。比如，對于多項式a2-b2，盡管是兩個數的平方差的形式，但是不要讓學生套用剛學過的平方差公式，而要把學生的思維活動引導到分析這個多項式的代數特征上：由于構成這個多項式的兩個單項式沒有公因式，可不可以添加一項使得它與原多項式中的二項都有關系呢？那么，添加的這一個單項式具有什么特征？添加之后如何保證多項式沒有改變？從而得到：a2-b2=a2+ab-ab-b2=a（a+b）-b（a+b）=（a+b）（a-b）。同樣地，有：a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2=a（a+b）+b（a+b）=（a+b）2。

又如，高中《三角函數》這一章的公式比較多，這些公式是否具有整體性呢？實際上，“用數學的符號語言來刻畫三角函數的性質”這一點與所有函數性質的研究方式是一致的，使得有關公式具有整體性。

如果是針對一個角的三角函數，角的終邊對應的是同角三角函數，包括正弦函數、余弦函數和正切函數，同角三角函數關系就是刻畫這三個函數之間的代數關系的。

誘導公式看似公式，本質上是刻畫兩個角的三角函數之間關系的，是三角函數性質的代數表達。只不過這里的兩個角的終邊具有特殊的幾何位置關系，如α和-α的終邊關于x軸對稱，α和π-α的終邊關于y軸對稱，α和π+α的終邊關于原點對稱，等等。

三角恒等變換看上去有很多公式，但是，這些公式的邏輯起點都是兩角差的余弦公式。這個公式類似誘導公式，是以兩個角為研究對象的。只不過這里的兩個角不是具有某種特殊幾何位置關系的兩個角：兩個角的頂點仍然是坐標原點，始邊還是x軸的正半軸，但是，兩條終邊的位置是任意的。因此，我們看到的不僅是兩個角，還有這兩個角的終邊所夾的角——這個角的頂點沒有變，還是坐標原點，但是它的始邊不是x軸的正半軸，而是原來兩個角的終邊中的一條，它的終邊則是另一條。

可以看出：同角三角函數關系、誘導公式、三角恒等變換都是三角函數性質的代數特征的刻畫，是數學的符號語言（其中最具有一般性的三角恒等變換的邏輯起點——兩角差的余弦公式，作為三角函數的基本性質，正是高等數學中三角函數的抽象定義^［3］）。這些性質的幾何特征是與自變量對應的角終邊的位置關系及單位圓幾何性質的體現，本質上就是三角函數各種公式的整體性表達。

還如高中的“集合”知識，無論是集合的含義，還是兩個集合之間的關系、運算，都是通過研究元素與集合的關系，即“屬于（∈）”或“不屬于（）”得到的。這就為《集合》一章教學的整體性提供了載體，即從元素與集合關系的角度把握并運用這種符號語言。通過對集合的這種理解，讓學生體會集合的內涵，掌握集合這種符號語言背后所具有的共性思維方法。

而上述思維活動在初中“不等式”的學習中也是存在的。比如，判斷數a與不等式x＞2解集之間的關系，就是要確定a與2的大小關系，也就是：如果a≤2，則a不屬于x＞2的解集；如果a＞2，則a屬于x＞2的解集。如果是x＞2的解集與x＜3的解集之間關系的分析，就要判斷x＞2的解集與3的關系以及x＜3的解集與2的關系。可以看出，上述思維活動本質上就是對元素與集合關系問題的分析。

因此，無論是初中的“不等式”知識，還是高中的“集合”知識，從思維方法的角度看，是不是從中可以體會到跨學段的數學知識所具有的整體性了呢？

二、 思維層面的整體理解

在中學階段，學生所要學習的數學知識大致可以分為代數、幾何和概率統計三個領域，不同領域處理問題的數學思維是不同的。代數領域以符號語言為主要研究對象，所承載的是以抽象為特征的代數思維；幾何領域以圖形語言為主要研究對象，所承載的是以直觀為特征的幾何思維；概率統計領域以數據為主要研究對象，所承載的是以從隨機性中尋找規律性為特征的概率統計思維。盡管每個領域的數學知識是豐富多彩、形式各異的，但是，由于每個領域的研究對象具有共性，因此，每個領域處理問題的數學思維具有共同特征，從而就具有了思維活動的整體性。

在代數領域，因為處理代數（包括函數，下同）問題的思維載體主要是符號語言，所以處理代數問題的思維特征是抽象，其承載的整體性體現在兩個方面。一是抽象的核心地位。抽象是代數這門學科的特點，抽象能力是學生數學思維的核心能力，讓學生經歷數學的抽象過程是最有價值的思維活動。代數領域的教學設計中，教師要時常提醒自己：這節課有沒有抽象的數學思維活動？二是直觀的從屬地位。抽象不排斥直觀，是借助直觀來理解抽象，而不是利用直觀來替代抽象。教學設計中，教師要明確：直觀是在代數抽象后的數學思維活動，在處理代數問題的思維活動中是服務于抽象的。

以函數的單調遞增性質為例，這個性質的直觀描述為“在區間D內，函數f（x）的自變量x越來越大，其因變量y也越來越大”。為了能用符號語言表達這段文字描述，要先借助函數的圖像進行直觀的分析：

函數f（x）的圖像是動點P（x，y）運動形成的軌跡，動點P（x，y）的橫坐標x是函數f（x）的自變量，縱坐標y是函數f（x）的因變量。結合函數圖像，可以直觀地看到f（x）在區間D內的這段軌跡的變化趨勢是向上的，也就是動點P（x，y）從左至右是向上運動的，點P（x，y）的橫坐標x越來越大，縱坐標y也越來越大。但這只是對函數圖像幾何特征的定性描述，還無法抽象成函數的代數性質。為了能用代數的方法刻畫這個變化趨勢，要通過軌跡上的兩個幾何元素表達其幾何特征，以便能將它們的幾何位置關系轉化為相應的數量關系，最終實現數學符號化。為此，就要將函數f（x）圖像上的一個動點P（x，y）轉化為其上的任意兩個點，這樣的兩個點的幾何特征是通過其在函數圖像上的相對位置來體現的，也就是點Q（x2，y2）在點P（x1，y1）的上方。正是由于在區間D內趨勢向上的函數圖像上的任意兩個點P（x1，y1）和Q（x2，y2）有這種“上下”的相互位置關系的幾何特征，對應的代數形式就可以表達為：對任意的兩個自變量x1和x2，當x1＜x2時，有y1＜y2。

在幾何領域，因為幾何思維活動的載體是幾何圖形和幾何符號，所以處理幾何問題的思維特征是從“幾何直觀到幾何抽象”。對幾何圖形或幾何符號的直觀感受是幾何思維活動的起點，是幾何思維生長的沃土。但是，幾何思維不能停留在直觀感受上，而要在幾何直觀的基礎上走向幾何抽象。

這種幾何上的從直觀到抽象具有整體性，體現在兩個方向：一是幾何方向的抽象，即對幾何圖形性質的分析和對幾何圖形（包括幾何元素）之間位置關系的演繹；二是代數方向的抽象，即對幾何對象的代數化。這兩個方向的從直觀到抽象的思維過程是有邏輯關系的：通常情況下，是先確定幾何圖形的性質及幾何圖形之間的位置關系，再對幾何圖形進行數量關系的刻畫。

例如，在八年級《平行四邊形》這一章中，“矩形的性質”的教學如何設計，才能體現出思維活動的整體性呢？由定義“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可知，矩形的性質本質上是一般平行四邊形與矩形的關系，這是研究兩個圖形的關系問題。從一般平行四邊形到特殊平行四邊形的形成過程，正是從整體的角度理解“矩形的性質”的過程。

目前，“矩形的性質”的教學存在的主要問題是：學生面對的幾何圖形僅僅是確定的矩形，不再有一般平行四邊形的影子。換句話說，要研究的不是一般平行四邊形與矩形這兩個圖形的關系問題，而是矩形這一個圖形的問題。

為了從整體的角度理解“矩形的性質”，可以做如下教學設計：

如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，∠B由銳角變化到直角。根據平行四邊形的性質，可知∠B的對角∠D始終與其相等；根據“兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補”，可知∠B的鄰角∠A和∠C始終與其互補。因此，當∠B變為直角時，∠D為直角，∠A和∠C也為直角。這就得到性質“矩形的四個角為直角”。

→

矩形這個性質的得出不是看著矩形這個圖形直觀感受到之后加以論證的，而是在一般平行四邊形到矩形的變化過程中演繹推理的結果。這樣的設計下，學生對矩形性質的理解體現了思維活動的整體性，是在從一般平行四邊形到特殊平行四邊形的變化過程中得到的幾何元素的數量關系。

再分析平行四邊形ABCD中的△ABC與△DCB之間的關系（如圖2所示）。一般情況下，△ABC與△DCB一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形；它們除了有一條公共邊BC以及一組相等的邊AB、CD之外，并沒有類似“全等”的特殊關系。但是，隨著∠ABC由銳角變化到直角，∠DCB由鈍角變化到直角。當然，∠ABC越變越大，∠DCB越變越小，這兩個角始終是互補的。當∠ABC=90°時，∠DCB=90°。也就是說，當平行四邊形ABCD為矩形ABCD時，△ABC與△DCB滿足三角形全等的判定條件“SAS”。因此，由全等三角形的性質可知，這兩個三角形的對應邊AC、BD相等。從矩形這個圖形的角度看，就是性質“矩形的對角線相等”。

→

這樣設計沒有局限在矩形這個特定的圖形上，而是拓展到更大的思維空間中，從思維活動的整體性出發，在從一般平行四邊形到矩形的變化過程中研究其內部的兩個三角形之間的關系，在從不全等到全等的變化過程中演繹出矩形對角線的性質。

三、 方法層面的整體理解

數學教學一個很重要的任務就是例題分析。在這個過程中，教師要引導學生感悟如何理解問題，如何確定解題的思路或策略，如何實施具體的解題方法。一個好的例題分析一般不會局限于例題本身，而能借助例題的背景，將研究的問題不斷地引向深入，找到解決例題與解決其他數學問題在思維方法上的共性，從而使學生對解決數學問題思維方法的一般性有更清晰地理解與把握。這就是教學生“方法層面”的整體理解。

教師首先要具備“方法層面”整體理解的意識，清醒地認識到：解題教學的目的不是教給學生一道又一道數學題的不同解法，也不在于教給學生一個問題的多種解法，而是通過對不同數學問題的分析或對解決同一數學問題的不同方法的探究，幫助學生形成一種觀念或一種意識。學生解題能力的提高不是由解題的數量決定的，而是通過不斷地提煉解決問題方法的共性或規律，并將其內化到他們的思維活動中來實現的。從這個意義上說，學生在“方法層面”是否具備整體理解正是學生思維能力強弱的標志之一。

因此，教師選擇什么樣的例題進行教學也就明確了。如果教師所選的例題在思維上沒有共性的東西，解決問題的思維方法缺乏一般性，解題的手段更多地依賴于所謂的技巧，這樣的例題就不適合在同一節課上進行分析。

再從解決數學問題的過程中體會“方法層面”的整體性。不難發現：不論是解決代數問題，還是解決幾何問題、概率統計問題，都要運用一般方法對研究對象進行研究，在得出性質或關系后，演繹出解決具體問題的具體方法。這種跨不同領域的、具有思維規律性的解決問題的方法就是“方法層面”的整體理解，其整體性體現在研究問題的一般方法和解決具體問題的具體方法的邏輯關系上，即：

首先，要對數學問題中的研究對象進行研究。其思維活動與理解問題的思維活動交融在一起、密不可分。研究內容主要是：數學問題中的每個研究對象具有什么樣的性質？不同研究對象之間具有什么樣的關系（比如兩個函數之間的代數關系或兩個幾何圖形之間的位置關系）？這些研究是以用數學語言表達的已知條件為載體的，其研究方法稱為通性通法或一般方法。

知識教學中，很多內容都是在教學生如何研究數學問題中研究對象的性質或關系。比如，在初中平面幾何教學中，研究圓的性質、直線與圓的位置關系等；在高中函數教學中，研究函數的性質、冪指對函數的性質等；到了圓錐曲線教學，以曲線的方程為載體，不僅要研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質，還要研究直線與它們之間的位置關系，等等。可以說，在課堂上，我們花了大量的時間，都是在教學生研究數學問題的研究對象的性質或關系的一般方法。

其次，要解決數學問題中針對研究對象提出的具體問題。任何數學題目都會提出若干個具體的問題，如求某一個待定的數值、求某一個變量的取值范圍或證明某一個結論等。求解數學題目的目的就是回答具體問題提出的要求。解決具體問題的方法不同于前面所說的一般方法，需要以之前運用一般方法研究出的性質或關系（也包括具體問題附帶的條件）為基礎，探索出解決具體問題的方法，這種方法稱為具體方法。

例1 已知函數f（x）=x2+4x，x≥0；

4x-x2，x＜0，

若f（2-a2）＞f（a），求實數a的取值范圍。

這個問題中，函數f（x）就是研究對象，“若f（2-a2）＞f（a），求實數a的取值范圍”就是針對研究對象f（x）提出的具體問題。

研究對象函數f（x）=x2+4x，x≥0；4x-x2，x＜0

有什么性質呢？當x＞0時，其對應的函數值為f（x）=x2+4x；因為-x＜0，其對應的函數值為f（-x）=-4x-x2。可以看出，對函數f（x）來說，取相反的兩個自變量時，函數值相反。同樣，當x＜0時，它和其相反的自變量-x＞0所取得的函數值也是相反的。又x=0時，f（0）=0。因此，f（x）是奇函數，其圖像關于坐標原點對稱。

正是由于這種對稱性，可以把研究函數的范圍縮小到x≥0。而此時f（x）=x2+4x，從解析式可以得出，當x≥0時，y≥0，也就是其圖像分布在第一象限并且過坐標原點。又由于當x≥0時，f（x）=x2+4x是單調遞增函數，所以可以大致畫出f（x）在x≥0時的示意圖（如圖3所示）。再結合奇函數圖像關于坐標原點對稱的性質，可以畫出f（x）=x2+4x，x≥0；4x-x2，x＜0在R上的示意圖（如圖4所示）。至此，完成了對f（x）性質的研究。

解決針對這個研究對象的具體問題的方法是怎么得到的呢？由于前面分析函數性質時已經知道f（x）在定義域內是單調遞增的，所以由已知條件f（2-a2）＞f（a），可以得到自變量的大小關系2-a2＞a，從而得解。

在解決數學問題的過程中，缺乏“方法層面”整體理解的最典型做法是：淡化運用一般方法對研究對象的性質或關系進行分析，而將探索、尋找具體方法的思維過程題型化。這種題型化是為了能夠以最快的速度解決數學問題，從而滿足“應試”的需要；寄希望于通過大量的重復訓練，達到不用分析研究對象的性質或關系就可以解決具體問題的目的。這樣的解題教學背離了數學教學的本質，破壞了解決數學問題“方法層面”的整體理解，不利于學生數學思維能力的真正提高。

綜上，對數學知識的整體理解不僅體現在知識本身上，還體現在理解數學知識的思維特征與解決數學問題的思維規律上。完整、有邏輯的知識體系，是發展數學核心素養的必要保證。如果學生只了解一些支離破碎的知識片段，而不能從整體上認識它們之間的聯系和規律，他們是不可能充分提高自身的數學核心素養的。這就要求數學教師提高從整體的角度研究數學教學內容的能力，在此基礎上進一步研究課堂教學，并且通過教學實踐把教學內容轉化為學生的數學本質認識與數學思維能力。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：85.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：82.

［3］ 夏繼平.讓學習有必要，讓學習想得到——“兩角和與差的余弦公式”教學難點突破［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（11）：5864.