理順知識(shí)聯(lián)系，促進(jìn)自主建構(gòu)

摘 要：教學(xué)“直線的傾斜角和斜率”，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，理順知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自然經(jīng)歷概念生成、公式獲得的過程，完成自主建構(gòu)。具體的教學(xué)思路是：基于現(xiàn)實(shí)情境中刻畫山坡傾斜程度的需要，從“形”的角度，設(shè)立基準(zhǔn)線，定義傾斜角；基于刻畫“銳角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，聯(lián)想坡度的概念與表示，進(jìn)一步坐標(biāo)化，得出斜率的定義式，并與傾斜角的正切關(guān)聯(lián)；基于刻畫“鈍角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，突破坡度概念與表示的局限，擴(kuò)大傾斜角，推廣斜率的定義式，并與傾斜角的正切關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；傾斜角；斜率；認(rèn)知基礎(chǔ)；知識(shí)聯(lián)系

“直線的傾斜角和斜率”是高中數(shù)學(xué)課程解析幾何板塊的初始內(nèi)容，是“直線的方程”“直線的位置關(guān)系”等內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）要求：“在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。”^［1］可知，該內(nèi)容的教學(xué)不能“重結(jié)果輕過程”，而要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，理順知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自然經(jīng)歷概念生成、公式獲得的過程，完成自主建構(gòu)。

然而，在對(duì)使用不同版本教材的多個(gè)課例進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)：部分教師對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系缺乏準(zhǔn)確把握與深入剖析，致使概念生成和公式推導(dǎo)的過程不夠自然，使得學(xué)生更多的是機(jī)械記憶。下面在幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上，分析教學(xué)中容易出現(xiàn)的問題，再設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)。

一、 基于攀爬山坡的情境，設(shè)立基準(zhǔn)線，定義傾斜角

為了描述直線不同的傾斜程度，需要設(shè)立一個(gè)共同的比較標(biāo)準(zhǔn)。滬教版教材指出：通過確定直線與其中一條坐標(biāo)軸的相對(duì)位置，可以描述直線在坐標(biāo)系中的位置。人教A版教材指出：這些直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同。蘇教版教材則直接引入坡度概念，并用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，之后才介紹傾斜角的概念——這沒有充分發(fā)揮幾何直觀的作用，顯得不夠自然。那么，為什么要選擇一條坐標(biāo)軸作為基準(zhǔn)線？怎樣讓學(xué)生感受到設(shè)立一條基準(zhǔn)線來定義傾斜角是水到渠成的？這需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生感受到在實(shí)際背景下，若不設(shè)立基準(zhǔn)線，則無法刻畫生活中不同的傾斜程度。具體地，可創(chuàng)設(shè)攀爬山坡的情境：

【問題1】如圖1、圖2、圖3所示，學(xué)校周圍有三座山坡可攀爬，攀爬哪座山坡會(huì)感到最費(fèi)力呢？

結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不難感知攀爬圖3所示的山坡最費(fèi)力。教師追問原因，便可引出傾斜程度的概念。進(jìn)一步追問如何刻畫傾斜程度，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：是因?yàn)槠旅嫔吓逝婪较蛩诘纳渚€與坡底部水平指向山體的射線形成的角度不同。從而引出基準(zhǔn)線的概念，進(jìn)而引出傾斜角的概念（由射線推廣到直線），并自然生成傾斜角的范圍。這里，尤其要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：攀爬圖3所示的山坡最費(fèi)力是因?yàn)閮A斜角大于90°。

二、 聯(lián)想坡度的概念與表示，定義斜率，關(guān)聯(lián)傾斜角

傾斜角是一個(gè)幾何量，而解析幾何的本質(zhì)是利用代數(shù)方法（點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系）研究幾何問題，因此，需要把傾斜角轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)量——斜率。應(yīng)該如何定義斜率呢？滬教版教材在沒有充分鋪墊的情況下，直接用傾斜角的正切來定義直線的斜率，讓學(xué)生感覺到突兀。人教A版教材和蘇教版教材則借助坡度概念（坡度的定義式涉及的兩條直角邊，相對(duì)于斜邊是更基本的量）架設(shè)橋梁，使傾斜角和斜率自然地建立關(guān)聯(lián)。當(dāng)然，在教學(xué)中，還需要引導(dǎo)學(xué)生自然想到坡度，建立坡度的坐標(biāo)表示，從而定義斜率，關(guān)聯(lián)傾斜角。具體地，可繼續(xù)利用銳角情況下攀爬山坡的情境（圖1）：

【問題2】除了傾斜角可以刻畫攀爬方向所在直線的傾斜程度，在之前所學(xué)的知識(shí)中，還有哪個(gè)量可以刻畫圖1中攀爬方向所在直線的傾斜程度？具體是如何刻畫的？

回憶舊知，學(xué)生可以想到坡度的概念及其定義式：豎直高度（爬坡時(shí)的豎直升高量）水平寬度（爬坡時(shí)的水平前進(jìn)量）。以水平指向山體的射線為基準(zhǔn)線，學(xué)生很容易刻畫水平寬度，但可能茫然于豎直高度的刻畫。對(duì)此，教師可以提示“還需一條垂直的線來刻畫豎直高度”，引導(dǎo)學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系（如圖4所示）。

由此，便可讓學(xué)生意識(shí)到“豎直高度與水平寬度都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示”，進(jìn)而探究具體的坐標(biāo)表示：在攀爬方向所在直線上任取兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則豎直高度和水平寬度可以用兩點(diǎn)在相應(yīng)方向上的距離來表述，分別為

|y1-y2|=y2-y1和|x1-x2|=x2-x1，故坡度為y2-y1x2-x1。至此，可以引導(dǎo)學(xué)生由相似三角形的知識(shí)發(fā)現(xiàn)y2-y1x2-x1為定值，順勢(shì)引出斜率的定義：這樣的表示在數(shù)學(xué)中被定義為斜率，一般記作k。

追問：圖4中，傾斜角（設(shè)為θ）與斜率“y2-y1x2-x1”都可以刻畫攀爬方向所在直線的傾斜程度，那么，它們之間有什么關(guān)系？

教師可以提示：這兩個(gè)量都在豎直高度與水平寬度所構(gòu)成的三角形中。由此，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：斜率是傾斜角的正切，即k=y2-y1x2-x1=tanθ。至此，使在傾斜角為銳角的情況下，幫助學(xué)生自然地引出了斜率的定義。

三、 突破坡度概念與表示的局限，擴(kuò)大傾斜角，推廣斜率

人教A版教材和蘇教版教材均直接類比坡度概念幫助學(xué)生理解用傾斜角的正切來定義斜率的合理性。然而，實(shí)際生活中的坡度都是正數(shù)（因?yàn)樨Q直高度與水平寬度都是正數(shù)），它是在傾斜角為銳角時(shí)才有的概念。對(duì)此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生突破已有認(rèn)知的局限，借助有向線段（正負(fù)坐標(biāo)），將斜率的定義式推廣到傾斜角非銳角的情況。具體地，可繼續(xù)利用鈍角情況下攀爬山坡的情境（見圖3）：

【問題3】用坡度的定義式來刻畫攀爬方向所在直線的傾斜程度，對(duì)傾斜角為銳角的情況（圖1）是適用的，但是，用其刻畫圖3中攀爬方向所在直線的傾斜程度時(shí)，豎直高度與水平寬度還能用相應(yīng)的距離（坐標(biāo)差的絕對(duì)值）來表示嗎？

依然是將圖3抽象后放到平面直角坐標(biāo)系中（如圖5所示），也在攀爬方向所在直線上任取兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：圖3中攀爬方向所在直線的傾斜程度遠(yuǎn)大于圖1中的，如果豎直高度與水平寬度還用相應(yīng)的距離（坐標(biāo)差的絕對(duì)值）來表示，則會(huì)造成傾斜角互補(bǔ)的兩條直線的傾斜程度一樣，這不符合實(shí)際情況。

追問：這時(shí)的豎直高度與水平寬度應(yīng)該如何表示呢？

教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察平面直角坐標(biāo)系中的圖形，發(fā)現(xiàn)從P1到P2，“升高”的方向與y軸的正方向相同，“前進(jìn)”的方向與x軸的正方向相反；想到要區(qū)分這“一正一反”，可以讓豎直方向上的距離保持正號(hào)，給水平方向上的距離加上符號(hào)，從而得到豎直高度和水平寬度分別為|y1-y2|=y2-y1和-|x1-x2|=x2-x1，由此得到坡度依然為y2-y1x2-x1。這樣，傾斜角為鈍角時(shí)的斜率定義式與傾斜為銳角時(shí)的斜率定義式就得到了統(tǒng)一。

為了幫助學(xué)生更好地理解傾斜角為鈍角的情況下斜率小于0，可以充分結(jié)合攀爬山坡的情境解釋：這時(shí)相當(dāng)于從起點(diǎn)反方向攀爬山坡，所以感到費(fèi)力。為了幫助學(xué)生更好地理解兩種情形下斜率定義式的統(tǒng)一，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在相應(yīng)的直角三角形中發(fā)現(xiàn)k=y2-y1x2-x1=-tanπ-θ，進(jìn)而利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到k=y2-y1x2-x1=tanθ。

最后，引導(dǎo)學(xué)生自主探究?jī)A斜角為0°和90°的情況，并與現(xiàn)實(shí)中水平行走和沿著90°的垂直線攀爬巖壁進(jìn)行關(guān)聯(lián)，使學(xué)生更好地理解斜率為零和不存在的現(xiàn)實(shí)意義，從而歸納出斜率的完整定義。

四、 反思與總結(jié)

上述教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)切入，基于現(xiàn)實(shí)情境中刻畫山坡傾斜程度的需要，從“形”的角度，設(shè)立基準(zhǔn)線，定義傾斜角；基于刻畫“銳角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，聯(lián)想已有知識(shí)中相關(guān)的坡度概念與表示，進(jìn)一步坐標(biāo)化，得出斜率的定義式，并與傾斜角的正切關(guān)聯(lián)；基于刻畫“鈍角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，突破坡度概念與表示的局限，擴(kuò)大傾斜角，推廣斜率的定義式，并與傾斜角的正切關(guān)聯(lián)。進(jìn)一步反思，可以總結(jié)出引導(dǎo)學(xué)生自然經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過程，完成自主建構(gòu)的兩個(gè)關(guān)鍵：

第一，充分了解學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，把握好教學(xué)起點(diǎn)。教學(xué)起點(diǎn)過高會(huì)使學(xué)生失去探究信心，過低則會(huì)使學(xué)生失去探究欲望。確定教學(xué)起點(diǎn)需要分析學(xué)生的生活與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中是否有與新知相關(guān)聯(lián)的情境與知識(shí)，即了解學(xué)生已有的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)。上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，攀爬山坡的情境是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，能引發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考其費(fèi)力程度相關(guān)因素的數(shù)學(xué)表達(dá)，自然地關(guān)聯(lián)傾斜程度、傾斜角和斜率等概念，從而將抽象的知識(shí)具體化、直觀化，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地參與認(rèn)知建構(gòu)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。

第二，充分挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，把握好認(rèn)知路徑。數(shù)學(xué)是一個(gè)有著嚴(yán)密邏輯結(jié)構(gòu)的學(xué)科，知識(shí)之間存在密切的內(nèi)在聯(lián)系。充分挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，有助于合理構(gòu)建知識(shí)學(xué)習(xí)的邏輯順序，從而促進(jìn)學(xué)生有層次、有條理地進(jìn)行認(rèn)知建構(gòu)，同時(shí)感悟數(shù)學(xué)的基本原理和思維方式。上述教學(xué)設(shè)計(jì)立足于傾斜角概念和斜率概念這兩個(gè)內(nèi)容，挖掘出傾斜程度的概念，利用攀爬山坡的現(xiàn)實(shí)情境引發(fā)設(shè)立基準(zhǔn)線的需求，建立了傾斜角概念；挖掘出坡度的知識(shí)、任意角的知識(shí)和有向線段的知識(shí)，引發(fā)了三角函數(shù)的知識(shí)，幫助學(xué)生關(guān)聯(lián)了斜率概念與傾斜角概念，統(tǒng)一了多種情況下的斜率概念。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：43.