研究生“數(shù)值分析”課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐

［摘 要］ 在專業(yè)課程教學(xué)中，融入科學(xué)研究和思政元素已成為高等教育改革發(fā)展的必然趨勢(shì)。數(shù)值分析是連接數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、工程科學(xué)、計(jì)算思維、工程思維和邏輯思維之間非常重要的紐帶，其課程教學(xué)所體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法已深入各個(gè)學(xué)科中。針對(duì)研究生“數(shù)值分析”課程的特點(diǎn)，實(shí)施探究性教學(xué)，將科研探索和課程思政融入“數(shù)值分析”課程教學(xué)中，探索以科研助教學(xué)、以教學(xué)促科研、知識(shí)傳授和價(jià)值引領(lǐng)有機(jī)結(jié)合的課程教學(xué)改革路徑，培養(yǎng)研究生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力，使其具有扎實(shí)的學(xué)術(shù)研究功底。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)值分析；教學(xué)模式；探究性學(xué)習(xí)；創(chuàng)新能力；課程思政

［基金項(xiàng)目］ 2021年度廣東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目“數(shù)值分析研究生示范課程建設(shè)”（2021SFKC030）

［作者簡(jiǎn)介］ 鄧秀勤（1966—），女（瑤族），廣東連州人，碩士，廣東工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要從事機(jī)器學(xué)習(xí)研究；劉冬冬（1989—），男，河南商丘人，博士，廣東工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)值代數(shù)及其應(yīng)用研究；徐 杰（1980—），男，浙江紹興人，博士，廣東工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師（通信作者），主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。

［中圖分類號(hào)］ G642.0 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A " ［文章編號(hào)］ 1674-9324（2024）43-0117-04 ［收稿日期］ 2023-09-20

“數(shù)值分析”既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)高度技術(shù)性的特點(diǎn)，是一門(mén)與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合且實(shí)用性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程［1］。隨著大數(shù)據(jù)和人工智能的飛速發(fā)展，“數(shù)值分析”課程教學(xué)面臨著新的挑戰(zhàn)。結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)和專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)開(kāi)展“數(shù)值分析”課程教學(xué)改革，受到越來(lái)越多教育工作者的關(guān)注。

傳統(tǒng)的“數(shù)值分析”課程教學(xué)主要以知識(shí)目標(biāo)為導(dǎo)向，容易過(guò)多地強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)和公式推導(dǎo)，忽視實(shí)踐環(huán)節(jié)，難以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果不是很理想。陳明等［2］結(jié)合自主探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)五要素，構(gòu)建了基于自主探究式學(xué)習(xí)的研究生“數(shù)值分析”課程教學(xué)策略總體思路，取得了良好的教學(xué)效果。郭培昌等［3］在研究生“數(shù)值分析”課程中實(shí)施了探究性學(xué)習(xí)，向?qū)W生提供了具有科研深度兼具專業(yè)特色的科研文獻(xiàn)作為閱讀材料，將科研探索融入教學(xué)中，全面提升了學(xué)生的知識(shí)技能和科研水平。張建華等［4］分析了目前課程教學(xué)存在的問(wèn)題，構(gòu)建了以計(jì)算思維和工程思維為核心要素的“數(shù)值分析”課程教學(xué)改革方法，為新工科研究生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供了有效的途徑。筆者結(jié)合多年的課堂教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從課程教學(xué)模式、理論和實(shí)踐與科研融為一體、課程思政和考核方式四個(gè)方面進(jìn)行了研究及探討。

一、構(gòu)建以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向的探究性教學(xué)

在教學(xué)過(guò)程中，探究性教學(xué)要求學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過(guò)以自主、探究、合作為特征的學(xué)習(xí)方式對(duì)當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容中的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、深入探究并進(jìn)行小組合作交流［5］。在以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向的探究性教學(xué)中，以問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題分析、問(wèn)題解決為主線，師生共同圍繞“問(wèn)題”開(kāi)展自主合作探究學(xué)習(xí)，體現(xiàn)以“學(xué)”為中心的教學(xué)理念。以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向的課堂教學(xué)圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)需求而展開(kāi)，打破了傳統(tǒng)教學(xué)的“壁壘”，避免了教師“一言堂”，有助于在自主探究、合作交流、問(wèn)題解決的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和潛能，鍛煉其獨(dú)立思考和科研思維能力。

拉格朗日插值既是數(shù)值逼近的重要內(nèi)容，又是微分方程、數(shù)值積分、數(shù)值微分的重要基礎(chǔ)。為了讓學(xué)生掌握構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式的核心思想，首先根據(jù)互異的兩點(diǎn)唯一確定一條直線的幾何直觀，讓學(xué)生由點(diǎn)斜式寫(xiě)出該直線方程，通過(guò)對(duì)所構(gòu)造的一次函數(shù)化簡(jiǎn)，得出這個(gè)一次函數(shù)可以表示成兩個(gè)線性函數(shù)的線性組合，然后啟發(fā)學(xué)生思考這兩個(gè)線性函數(shù)有什么性質(zhì)，進(jìn)而引出基函數(shù)的概念，并重點(diǎn)講清拉格朗日基函數(shù)的構(gòu)造思想。依據(jù)這種思路，讓學(xué)生構(gòu)造二次、三次基函數(shù)，然后從二次、三次基函數(shù)逐漸向高次歸納和推廣。最后，分析討論拉格朗日插值的優(yōu)缺點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、深入探究、自主學(xué)習(xí)。雖然拉格朗日插值公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊、理論分析方便，但公式不具備遞推性，在計(jì)算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基函數(shù)需要全部重新計(jì)算。為克服這些缺點(diǎn)，就須要構(gòu)造其他插值方法，從而為講述Newton插值法的構(gòu)造做鋪墊。此外，可以先舉例說(shuō)明二次插值比線性插值要精確，隨后提出問(wèn)題“是不是多項(xiàng)式插值的次數(shù)越高越好？”，從而引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，然后結(jié)合Matlab繪制插值曲線來(lái)解釋高次拉格朗日插值的龍格現(xiàn)象，進(jìn)而引出分段線性插值問(wèn)題，不斷拓展拉格朗日插值多項(xiàng)式的內(nèi)涵，層層推進(jìn)，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索嘗試，將科研思想融入教學(xué)過(guò)程，為今后的科研和學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、強(qiáng)化理論與實(shí)踐并重的理念，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、無(wú)人駕駛汽車和數(shù)據(jù)分析等的技術(shù)基礎(chǔ)。“數(shù)值分析”是一門(mén)集理論和實(shí)踐于一體的專業(yè)學(xué)位課程，具有較強(qiáng)的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，是數(shù)學(xué)和工程科學(xué)的紐帶，在培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力，以及樹(shù)立工程理念上發(fā)揮著重要作用。“數(shù)值分析”課程最主要的特色便是理論與實(shí)踐相結(jié)合，數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)算法設(shè)計(jì)和誤差分析，數(shù)值運(yùn)行結(jié)果又驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性，在教學(xué)中既要重視講透各種數(shù)值算法理論，又要重視培養(yǎng)學(xué)生的編程計(jì)算能力，使學(xué)生能將課上所學(xué)到的數(shù)學(xué)算法，通過(guò)編程、上機(jī)實(shí)現(xiàn)，得到計(jì)算結(jié)果。因?yàn)橄胍幊龀绦虼a，首先必須透徹理解算法的數(shù)學(xué)原理，這樣不僅有助于學(xué)生理解課堂上的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，而且學(xué)生可以根據(jù)程序代碼的運(yùn)行結(jié)果來(lái)比較算法的優(yōu)劣，直觀感受算法的穩(wěn)定性、運(yùn)算量、運(yùn)算時(shí)間等，在程序反復(fù)報(bào)錯(cuò)與對(duì)錯(cuò)誤修正中，加深對(duì)算法相關(guān)數(shù)學(xué)原理的理解，鍛煉實(shí)踐動(dòng)手能力。譬如，在介紹求解線性方程組的古典迭代法時(shí)，布置編程計(jì)算題目，分別按照雅可比迭代和高斯—賽德?tīng)柕袷絹?lái)求解方程組，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際運(yùn)算時(shí)間來(lái)比較兩種算法的漸進(jìn)收斂速度。這時(shí)再與高斯消去法的程序運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行比較，可以使學(xué)生直觀感受迭代方法在處理大規(guī)模稀疏問(wèn)題方面的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)而深入分析運(yùn)算量和存儲(chǔ)量對(duì)算法效果的影響［3］。學(xué)生通過(guò)具體的實(shí)踐操作，突破了習(xí)慣性認(rèn)知模式，深刻領(lǐng)會(huì)到理論知識(shí)和實(shí)踐能力的重要性，提升了深度分析問(wèn)題、大膽質(zhì)疑問(wèn)題、勇于創(chuàng)新的能力，提高了數(shù)學(xué)建模能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)術(shù)創(chuàng)新精神。

在教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，注重?cái)?shù)學(xué)理論、方法與工程實(shí)際的有機(jī)融合。通過(guò)布置2～3道往年的數(shù)學(xué)建模題作為課后作業(yè)，讓學(xué)生自己去探索，從學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)中找思想、找方法、找突破口，極大地激發(fā)了學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模的興趣。例如，學(xué)生積極報(bào)名參加每年九月份舉辦的“華為杯”中國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，參賽熱情逐年提升，比賽成績(jī)逐年提高。2021年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有3人獲得了二等獎(jiǎng)，6人獲得了三等獎(jiǎng)；2022年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有15人獲得了二等獎(jiǎng)，14人獲得了三等獎(jiǎng)。我們期待2023年獲獎(jiǎng)人數(shù)更多，能有學(xué)生沖擊一等獎(jiǎng)，實(shí)現(xiàn)“零的突破”。

三、堅(jiān)持教研相長(zhǎng)、以研促教的教學(xué)理念

在課程教學(xué)中融入科學(xué)研究已成為高等教育改革發(fā)展的必然趨勢(shì)。在課程中引入學(xué)科前沿，將科研項(xiàng)目和成果融入課堂教學(xué)，提升教學(xué)水平和科研意識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)科研能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)以及終身學(xué)習(xí)能力的提高是我們追求的目標(biāo)。在教學(xué)中，把“數(shù)值分析”課程內(nèi)容結(jié)合到教師的科研項(xiàng)目中是踐行教學(xué)與科研同向而行的一個(gè)非常好的突破口，為了強(qiáng)化“數(shù)值分析”課程以科研助教學(xué)、以教學(xué)促科研的教學(xué)理念，加強(qiáng)學(xué)生的科研意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，充分發(fā)揮科研項(xiàng)目的育人功能。筆者鼓勵(lì)研究生參與自己的國(guó)家自然科學(xué)基金科研項(xiàng)目“高階Markov鏈的張量低秩逼近模型及其在大規(guī)模隨機(jī)游走中的應(yīng)用”以及廣州市科技基金項(xiàng)目“大規(guī)模稀疏隨機(jī)張量模型的理論和數(shù)值分析及其在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用”的研究中，引導(dǎo)研究生進(jìn)行自主探索和學(xué)術(shù)創(chuàng)新。用迭代法解線性方程組是“數(shù)值分析”中很重要的理論知識(shí)，高斯-賽德?tīng)柕ê退沙诜ㄊ堑ㄖ薪?jīng)典的算法之一。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用“數(shù)值分析”知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入思考、理論驗(yàn)證、程序?qū)崿F(xiàn)以及教師的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)指導(dǎo)，有助于讓研究生清楚地看到“數(shù)值分析”課上所學(xué)的理論知識(shí)、算法分析與編程技術(shù)能直接應(yīng)用于科研項(xiàng)目的問(wèn)題解決中，極大地激發(fā)了研究生參與項(xiàng)目研究的信心和積極性，鍛煉了學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力和科研創(chuàng)新能力，為學(xué)生日后參與科研工作奠定了扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)，進(jìn)一步提高了課堂的教學(xué)效果。譬如，2021級(jí)研究生唐舒婷針對(duì)多重線性PageRank問(wèn)題，結(jié)合松弛技術(shù)，提出了一種新的張量分裂算法——基于分裂迭代算法求解多重線性PageRank問(wèn)題，并給出嚴(yán)格的收斂性分析，該文已投我國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域頂刊《計(jì)算數(shù)學(xué)》。2021級(jí)研究生利錦軒研究了一種求解m張量多線性系統(tǒng)的預(yù)條件分裂迭代法，并通過(guò)數(shù)值算例給出了迭代張量的比較結(jié)果，證明所提方法的有效性，該文已被國(guó)外期刊錄用。這些都是教師和學(xué)生不斷交流、思想碰撞產(chǎn)生火花的成果，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，2020級(jí)42位學(xué)碩研究生中有35人公開(kāi)發(fā)表了學(xué)術(shù)論文，其中20篇是SCI期刊論文；2021級(jí)53位學(xué)碩研究生已發(fā)表了25篇論文，其中有18篇是SCI期刊論文。2019級(jí)畢業(yè)生共29人，讀博只有3人；2020級(jí)畢業(yè)生共42人，選擇繼續(xù)讀博深造的有11人，2020級(jí)研究生讀博升學(xué)率為26.2%。

筆者在如何把“數(shù)值分析”的理論和實(shí)踐與科研融為一體方面做了一些嘗試，取得了可喜的成效。如何進(jìn)一步把“數(shù)值分析”與科研實(shí)踐相結(jié)合，充分發(fā)揮教學(xué)與科研的協(xié)同育人功能，是筆者今后要進(jìn)一步探討的課題。

四、深挖思政元素，使課程思政有效融入課程教學(xué)

課程思政是一種教育教學(xué)理念。新時(shí)代的課程思政建設(shè)，應(yīng)圍繞立德樹(shù)人根本任務(wù)，加強(qiáng)課程思政建設(shè)，更加注重思想引領(lǐng)［6］。2016年，習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，“要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道”“其他各門(mén)課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”［7］。“數(shù)值分析”課程蘊(yùn)含著許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，可以從中挖掘出思政元素，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題來(lái)源和數(shù)學(xué)思想的理解，從而使其更好地掌握數(shù)學(xué)思想和算法精髓。譬如，北宋文學(xué)家蘇軾所寫(xiě)的“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”，描繪了廬山隨著觀察者角度的變化，會(huì)呈現(xiàn)出不同的風(fēng)景。在介紹利用基函數(shù)的方法構(gòu)造Hermite插值時(shí)，可以適時(shí)地引入這首古詩(shī)［8］，因?yàn)樵跇?gòu)造Hermite插值函數(shù)時(shí)，要“橫著”寫(xiě)出須滿足的條件，但是卻要“豎著”用這些條件。利用這首古詩(shī)不僅加深了學(xué)生對(duì)基函數(shù)方法的理解，而且加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生的傳統(tǒng)文化教育，讓學(xué)生在潤(rùn)物無(wú)聲中領(lǐng)略到了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，可以用文學(xué)的語(yǔ)言將數(shù)學(xué)的原理解說(shuō)得有理、有情、有趣。再譬如，秦九韶算法蘊(yùn)含了豐富的愛(ài)國(guó)主義教育元素，在講解避免誤差危害的算法設(shè)計(jì)原則時(shí)，重點(diǎn)介紹可減少運(yùn)算次數(shù)以減少計(jì)算誤差的秦九韶算法，介紹秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家。通過(guò)穿插相關(guān)數(shù)學(xué)史，以激發(fā)學(xué)生科技報(bào)國(guó)的家國(guó)情懷和使命擔(dān)當(dāng)，增強(qiáng)其民族自豪感。

科研是一場(chǎng)永無(wú)止境的探索。“數(shù)值分析”課程與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)進(jìn)步緊密相連，在教學(xué)中須積極融入科學(xué)研究精神和創(chuàng)新創(chuàng)造精神。例如在講授數(shù)值積分時(shí)，首先給出非等分求積節(jié)點(diǎn)的機(jī)械型求積公式，然后講解等距求積節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，介紹幾種低階的求積公式，再介紹復(fù)化求積公式，最后在介紹變步長(zhǎng)的求積公式的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出龍貝格求積公式。這是一個(gè)求積精度不斷提高的過(guò)程。通過(guò)對(duì)求積公式進(jìn)行不斷優(yōu)化的循序漸進(jìn)的過(guò)程，向?qū)W生闡釋什么叫科學(xué)研究無(wú)止境，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神。“數(shù)值分析”課程中很多重要的定理和公式是以數(shù)學(xué)家的名字命名的，如高斯積分公式、牛頓迭代法等，在教學(xué)實(shí)踐中融入著名科學(xué)家的勵(lì)志事跡，可以激發(fā)學(xué)生為國(guó)家崛起而努力奮斗的科學(xué)創(chuàng)新精神和時(shí)代責(zé)任感，實(shí)現(xiàn)思想的共鳴，真正將價(jià)值導(dǎo)向與知識(shí)導(dǎo)向相融合，起到很好的思政教育效果。

五、多元化的課程考核方式

閉卷考試是主要的傳統(tǒng)考核方式，在這種考核方式下，一些學(xué)生可采用考前突擊的方式獲得較高的分?jǐn)?shù)。公正的考核評(píng)價(jià)體系是課程教學(xué)運(yùn)行的重要環(huán)節(jié)，不僅直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，也是教師教學(xué)效果的重要體現(xiàn)。目前，研究生“數(shù)值分析”課程采用多元化的考核評(píng)價(jià)體系，即上課考勤（5%）+作業(yè)（10%）+課程實(shí)驗(yàn)（15%）+期末考試（70%），其中課程實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以根據(jù)專業(yè)背景自主選擇題目，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)完成作業(yè)。

結(jié)語(yǔ)

本文立足于廣東工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的實(shí)際情況，針對(duì)“數(shù)值分析”課程的學(xué)科特點(diǎn)，將科研探索和課程思政融入教學(xué)中，真正將知識(shí)導(dǎo)向與價(jià)值導(dǎo)向相融合，激發(fā)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情，提升了學(xué)生的創(chuàng)新能力和科研能力，有效地提高了教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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［7］習(xí)近平在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào) 把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程 開(kāi)創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面［N］.人民日?qǐng)?bào)，2016-12-09（1）.

［8］閔杰，李璐，歐劍.《數(shù)值分析》課程思政教學(xué)改革研究與實(shí)踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2020，36（6）：40-45.

The Exploration and Practice of Reform on the Teaching of Numerical Analysis for Post-Graduates

DENG Xiu-qin， LIU Dong-dong， XU Jie， ZHAN Rui

（School of Mathematics and Statistics， Guangdong University of Technology， Guangzhou，

Guangdong 510006， China）

Abstract： Integrating scientific research and ideological and political elements into professional course teaching has become an inevitable trend in the development of higher education reform. Numerical Analysis serves as an important link connecting mathematics， computer science， engineering science， computational thinking， engineering thinking， and logical thinking， and its mathematical ideas and methods are deeply embedded in various disciplines. In this paper， aiming at the characteristics of the graduate course Numerical Analysis， an exploratory teaching model is implemented to integrate scientific research exploration and elements of curriculum ideology and politics into the teaching of Numerical Analysis. A course teaching reform method is constructed， which combines research-assisted teaching， teaching promoting research， knowledge imparting， and value guidance， aiming to cultivate the practical ability， innovation ability， and solid academic research foundation of graduate students.

Key words： Numerical Analysis; teaching pattern; exploratory learning; innovation ability; curriculum ideology and politics