運算意義視角下“整數乘法”單元整體教學探索

【摘 要】在“整數乘法”單元整體教學中培養學生的運算能力，教師要整體構建“整數乘法”單元主題的軸線，從橫向和縱向兩個維度厘定“整數乘法”單元概念的內在邏輯，同時要在整體性的教學與系統性的建構中打通法理相融的學習脈絡。

【關鍵詞】小學數學；運算意義；整數乘法；單元整體教學；法理相融

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）41-0048-03

運算能力是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出的數學課程要培養的學生核心素養之一，這為素養導向的數學運算教學賦予了更深的內涵。“整數乘法”是培養學生運算能力的一個良好載體。“整數乘法”的教學是一個長程設計。基于單元整體視角教學“整數乘法”，其意義和價值將不再局限于學生計算技能的培養，而是要促進他們更加深入地理解運算意義、把握運算原理、構建運算秩序，以及探究運算內容背后的思想、方法、結構、原理等。

一、意義性理解：整體構建“整數乘法”單元主題軸線

1.把握結構意義，以系統化思維理解單元

要整體把握運算單元， 還需把這一單元的內容放在整個小學階段的數學知識體系中，圍繞兒童的數學結構性理解對教材單元進行梳理和重組。在“整數乘法”三個年級的長程設計中，二年級是探究乘法的意義；三年級上冊初步探索“兩、三位數乘一位數”，三年級下冊“兩位數乘兩位數”聚焦一般化方法的鞏固應用、“位值”的體悟以及分與合思想的滲透；四年級上冊“三位數乘兩位數”的學習與三年級下冊的學習有著相似的結構，是運算模型的遷移拓展。教師要從數學核心知識、數學思想以及學科素養的角度重構單元整體教學內容，形成素養導向的單元整體框架， 分析學生核心素養在不同階段的要求與結構層次，把握“整數乘法”在學段之間螺旋上升的知識結構。

2.關照運算意義，以整體性眼光梳理內容

第一學段的運算著重從加減乘除四則運算的本質意義出發；第二學段以數量關系為核心解決問題，是乘法單元的意義線。 三年級乘法運算單元中的運算意義源于第一學段的加法模型和乘法模型，基于一、二年級積累的運算經驗，立足對加減乘除四則運算意義的理解，體會用乘法解決實際問題的價值。 教學“整數乘法”時，我們可以對單元內容做相應調整，基于“兩位數乘整十數”和“兩位數乘兩位數口算”，形成“兩位數乘整十數口算”的基礎課； 基于“兩位數乘兩位數估算”與“兩位數乘兩位數（不進位）”，生成“兩位數乘兩位數（不進位）”的種子課；通過相似結構類推，形成“兩位數乘兩位數（進位）”的主干課，讓學生利用方法的遷移，主動完成四年級上冊“三位數乘兩位數”的學習，從而打通方法之間的聯系； 將練習和復習的相關內容拓展形成整理課“探究兩位數乘法的規律”，引導學生在研究鋪地錦的過程中體會數學的美感。這樣設計，有助于學生有關聯地學，從而實現知識的整體建構。

二、結構化認知：厘清“整數乘法”單元概念的內在邏輯

1.橫向：乘法算理的整體性理解具有一致性

在小學階段，乘法運算的算理理解大多以乘法意義為基石。從“兩位數乘一位數”到“兩位數乘兩位數”，均是以理解幾個相同加數的和作為其算理的意義。因此，在橫向分析、比較、抽象的過程中，需要重視計數單位的表征切換，基于數的意義和計數單位的十進制關系，以乘法運算的形式記錄新計數單位產生的過程。如教學“兩位數乘兩位數”時，要重視每層積幾個一（十、百）的理解，在算理上要回歸計數單位總個數的理解。教師可以設計“豎式運算千層糕”的游戲，讓學生從“兩位數乘一位數—兩位數乘兩位數”的運算進階中，選擇合適的個、十、百等計數單位卡片條一層一層進行疊加，使他們體會乘法算理的一致性。同時，基于乘法運算“計數單位個數重復加”的算理，將此貫通到整數乘法、小數乘整數、分數乘整數等內容的學習中，把乘法算理統一為“（新）計數單位個數重復加”，促進學生實現對乘法算理的整體性理解。

2.縱向：不同階段的乘法算法結構具有相似性

二年級到四年級的整數乘法結構有著相似性。一是算法探索中把未知轉化為已知這一思想的相似性。如學生學習“兩位數乘兩位數”時，往往會將其轉化為已知“兩位數乘一位數”“兩位數乘整十數”的口算，在理解算理的基礎上，基本算法是將其中一個因數拆分成幾十和幾；學習“兩位數乘三位數”，是在理解一位數乘法、兩位數乘法的算理和算法的基礎上，運用先分后合的思想，把豎式法、表格法、鋪地錦等方法統一起來，這有助于學生發展運算能力和推理意識，培養幾何直觀。二是運算模型的一致性。在情境的選擇上，教師需要考慮如何為后面的計算過程提供更好的支持。比如，乘法雖然都表示“幾個幾”，但有幾種不同的基本模型，如幾個相同的集合、在數線上面連續加、點陣模型、面積模型等。三是算理理解與算法表征的相似性。“兩位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”“三位數乘兩位數”的算法是結果性知識，“整數乘法”單元整體教學不僅要讓學生掌握知識本身，更重要的是將關于乘法運算的問題、語言、方法、命題這條邏輯鏈完整、清晰地展現給學生，促進他們完善認知結構。

三、系統化構建：打通法理相融的“整數乘法”單元學習脈絡

1.整體地教，在立“序”明“理”中把握平衡

構建“整數乘法”的整體結構，需要找尋算理與算法之間的平衡，“怎么算”是基礎，“為什么這樣算”是依據。如教學“兩位數乘兩位數”時，教師要注意將算理的明晰、算法的建構貫穿全課，構建學與教的“序”，引導學生探索算理與算法的“理”。教師可以通過核心問題的設計與核心任務的演進，引導學生在自主發現中建構乘法運算的模型，發展核心素養。

【兩位數乘整十數口算】說一說12×10表示什么；記一記12×10的不同計算方法，并說清楚道理；展示學習作品，借助方塊圖講清楚算理；在練一練中提煉計算方法；運用乘法的意義和數的組成進行計算，通過對比分析、類推等找出快速計算的方法。

【兩位數乘兩位數】借助情境、方塊圖，理解“兩位數乘兩位數”的計算可以先分塊求積再求這些積的和，初步探索豎式計算方法；探索“兩位數乘兩位數進位乘法”的計算方法，理解豎式每一步的含義，通過方塊圖的幾何直觀來理解算理；通過不同方塊圖分別對應不同算法的比較，學會解決問題。

【用運算解決問題】通過審題指導獨立解決問題，并回顧反思，提煉解題策略。借助圖式，使學生更直觀、更深刻地理解數量關系；列出綜合算式，培養學生思維的有序性和條理性，提高他們的運算意識和應用能力。

2.系統地聯，在知“書”達“理”中遷移結構

在計算教學中，不僅需要學生理解為什么可以這樣算，而且要讓他們在眾多不同的方法中通過比較、篩選找出解決問題的一般方法。學生只有獲得了運算內在一致的算理，并以其來推導萬變的算法，才能真正實現算理貫通、理法互融。整數、小數、分數計算內部的一致性、完整性都有著內在的脈絡；“法”與“理”的相融、“序”與“則”的邏輯、數學過程性與結果性的映照……提高學生的運算能力，不是簡單外顯為能正確運算，而是強調他們能夠理解意義和關系、選擇運算策略、發展數學推理能力、形成數學思維品質、養成科學的態度，這是一個完整的素養發展過程。

總之，在“整數乘法”單元整體教學中，將運算意義貫穿始終，不斷激活與調用學生原有的運算經驗，引導他們從整體的、聯系的視角思考單課教學，有助于他們異中求同，深化對運算的意義性理解，建立運算內在的結構性聯結，從而促進他們不斷完善認知結構。

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