索穹頂比值逆迭代法形態分析

摘" 要" 索穹頂結構的幾何形狀與預應力分布密切相關，在結構幾何形狀不變的情況下，各拉索、撐桿之間的預應力比例關系是唯一的。基于此，提出了一種新的形態分析方法——比值逆迭代法，它可以同時得到結構初始態下索桿內力分布以及平衡初始態幾何，并能在迭代過程中改變結構幾何使得索桿內力分布更加均勻。首先，對Gieger型索穹頂進行了形態分析，以驗證比值逆迭代法的正確性，結果表明：比值逆迭代法求解效率高，得到的索桿內力分布合理，平衡初始態幾何與設計初始態幾何的位形偏差小。其次，在算例驗證的基礎上，通過在比值逆迭代法迭代過程中，根據節點位移調節撐桿下部節點的坐標，改變原算例模型的結構幾何，使改進模型的內力分布更加均勻。結果表明：與原模型相比，改進模型的索桿內力分布更加均勻，且得到的平衡初始態幾何滿足精度要求。該算法適用于索穹頂結構的形態分析，并對結構的索桿內力分布進行了優化，為索穹頂結構的分析與設計提供了新的思路。

關鍵詞" 索穹頂， 比值逆迭代法， 形態分析， 初始態

收稿日期： 2023-05-25

* 聯系作者： 何 契（1998—），女，碩士研究生，主要從事大跨度空間結構研究。E-mail：2545224229@qq.com

Form-Finding Analysis of Cable Dome by Ratio Inverse Iteration Method

HE Qi*" ZHANG Li

（School of Mechanics and Engineering Science，Shanghai University， Shanghai 200444， China）

Abstract" The geometric shape of cable dome structure is closely related to the distribution of prestress， and the prestress proportional relationship between cable and strut is unique under the same geometric shape of the structure. Based on this， a new form analysis method， ratio inverse iterative method， is proposed in this paper， which can simultaneously obtain the axial force distribution of cable-strut in the pre-stress state of the structure and geometric coordinates of balanced pre-stress state.It can change the structural geometry in the iterative process to make the internal force distribution more uniform.Firstly， the form analysis of Gieger cable dome is used to verify the correctness of the ratio inverse iteration method.The results show that the ratio inverse iterative method has high efficiency， gives reasonable distribution of internal forces of cable and strut， and generates small configuration deviation between the balanced pre-stress geometry and the design pre-stress geometry.Secondly， on the basis of calculation example verification， the coordinates of the lower nodes of the strut are adjusted according to node displacement in the iterative process of ratio inverse iteration method.The structural geometry of the original example model is changed to make the internal force distribution of the improved model more uniform. The results show that， compared with the original model， the internal force distribution of the improved model is more uniform， and the obtained balanced pre-stress geometry meets the precision requirements. The algorithm is suitable for the form-finding analysis of cable dome structure， and the internal force distribution of cable and strut is optimized， which provides a new idea for the analysis and design of cable dome structure.

Keywords" cable dome， ratio inverse iteration method， form-finding analysis， pre-stress state

0" 引" 言

20世紀80年代，美國著名結構工程師蓋格對富勒的“張拉整體”概念進行了適當的改造，成功地設計開發了一種新型的大跨度空間結構體系——索穹頂結構［1］。索穹頂結構具有自重輕、用鋼量少、跨度大、構造簡單、傳力明確等優點，得到了國內外廣大工程師和研究人員的青睞［2］。國外的索穹頂代表建筑有1988年建成的首爾奧林匹克體操競技場以及1996年建成的亞特蘭大奧運會主場館。我國至今已建成十余座大型索穹頂結構工程，如國內第一個百米級索穹頂結構——天津理工大學體育館［3］，以及山西太原煤炭交易中心索穹頂［4］和鄂爾多斯伊金霍洛旗全民健身體育活動中心［5］。

索穹頂結構的受力狀態可分為三種，分別為：零狀態、初始態以及荷載態。其中零狀態是指結構無自重無預應力的狀態；初始態是指結構在自重和預應力作用下的平衡狀態；荷載態是指結構在初始態的基礎上，承受其他外荷載的受力狀態。索穹頂結構的形態分析可分為兩類：①預應力分布已知，結構幾何未知，需要求解給定預應力分布下的結構幾何；②結構幾何已知，預應力分布未知，需要求解給定幾何形狀下的預應力分布［6］。前者為找形分析，后者為找力分析。

初始態的結構幾何是預先設計確定的，結構設計初始幾何確定，就可以進行找力分析。索穹頂結構在施加預拉力前沒有剛度，采用一般有限元法計算結構初始態容易導致總剛度矩陣奇異從而計算失敗，因此確定這類體系的初始態有相當大的難度［7］。國內外學者在找力分析方面做了大量研究，Pellegrino等［8］于1986年提出了平衡矩陣理論，為空間桿系結構的內力分析奠定了基礎，隨后又在此基礎上提出奇異值分解法［9］求解自應力模態；袁行飛等［10］從桿件拓撲關系入手，提出了整體可行預應力的概念；闞遠等［11］提出了不平衡力迭代法，可以克服整體可行預應力法的不足，在索穹頂構件分組錯誤時仍可找到滿足已知形狀的預應力分布；張沛等［12］提出了一種求解整體自應力模態的能量方法，通過特征值分析獲取使結構初應變能取駐值的自應力模態；劉小偉［13］提出了基于比值更新的索穹頂找力分析方法，姜正榮等［14-15］將其改進應用于Kiewitt型索穹頂結構；張愛林等采用節點平衡法與位移法相結合的方法推導出T型三撐桿索穹頂［16］以及星形四面體型索穹頂［17］的初始預應力分布計算公式。

結構施加預應力后產生位移，在新的位置達到平衡，因此需要獲取索穹頂平衡初始態幾何，便于后續進行其他分析。張其林等［18］提出用逆迭代法確定預應力梁-索屋蓋結構的零狀態放樣幾何；羅堯治等［19］通過放松支座約束或放松單元的方式將結構自應力模態降為零，然后再用修正Newton-Raphson法進行迭代求解，獲取結構零狀態幾何；李國強等［20］將逆迭代法運用于索結構的形狀確定；宋杰［21］用非線性有限元方法和迭代技術對Levy索穹頂結構進行了找形分析；夏晨［22］應用逆迭代法求得索網結構的初始態內力和零狀態幾何。

在前人工作的基礎上，本文提出一種新的形態分析方法——比值逆迭代法，可以得到結構初始態下索桿內力分布以及平衡初始態幾何，為索穹頂結構的分析與設計提供新的思路。同時該法可以在迭代過程中改變結構幾何，使得索桿內力分布更加均勻，從而提高索穹頂結構的整體性能，增強結構的穩定性。

1" 比值逆迭代法

索穹頂結構的幾何形狀與預應力分布密切相關，結構各拉索、撐桿之間的預應力比例關系是唯一的。以已知的結構設計初始態幾何建立模型，并對各拉索施加預應力進行張拉，結構會產生位移，在新的位置達到平衡，此時結構的索力也與施加的預應力不一致，因此要同時對結構幾何與拉索內力進行控制。基于此，本文提出了一種新的用于索穹頂結構形態分析的方法——比值逆迭代法。該法通過在迭代過程中同時按比值更新預應力以及反向補償節點位移的方式，使結構在設計初始態的位置達到平衡，并使各索桿之間內力的比值穩定于一個數值，滿足精度要求則停止迭代，可以有效地解決索穹頂結構的形態分析問題。

迭代過程中，以結構幾何和拉索內力作為控制參數，當平衡初始態幾何與設計初始態幾何差值以及兩次迭代時的拉索內力差值均滿足收斂條件時，認為索穹頂結構施加預應力后在滿足精度的幾何外形上達到了平衡，收斂準則見式（1）、式（2）。

（1）

（2）

式中：｛X，Y，Z｝、｛X，Y，Z｝k分別為結構設計初始態坐標和第k次迭代后平衡的初始態坐標；、分別為第k-1次和第k次迭代平衡后拉索內力分布；ε1、ε2為控制精度，其中ε1取0.001，ε2取0.01%。

具體分析步驟如下：

（1）將索穹頂結構各索桿分為n組，其中第i組索為控制索，預應力目標值為Pi，假設初始預應力分布為P（0）=［P1（0）P2（0）…Pi（0）…Pn（0）］T。

（2）以結構設計初始態幾何｛X，Y，Z｝為零狀態｛X，Y，Z｝0，0建模，將P（0）換算成初應變施加在各組索上，對結構進行非線性分析，得到平衡初始態｛X，Y，Z｝0下的索內力F（0）=［F1（0）F2（0）…Fi（0）…Fn（0）］T以及位移｛U｝0。

（3） 第1次迭代。

以平衡態下的索內力F（0）為基準，對控制索i的預應力進行補償，Pi（1）=Pi+［Pi-Fi（0）］，第j組拉索的預應力為Pj（1）=［Fj（0）/Fi（0）］·Pi（1）（其中j≠i），則新的初始預應力分布為P（1）=［P1（1）P2（1）…Pi（1）…Pn（1）］T。將位移｛U｝0反向施加在初始態幾何上即｛X，Y，Z｝0，1=｛X，Y，Z｝0，0+｛U｝0。

以當前零狀態幾何｛X，Y，Z｝0，1更新節點坐標重新建模，并將P（1）換算成初應變施加在各組索上，對結構進行非線性分析，得到平衡初始態｛X，Y，Z｝1下的索內力F（1）=［F1（1）F2（1）…Fi（1）…Fn（1）］T以及位移｛U｝1。

計算平衡初始態與設計初始態幾何坐標差值error1=｛X，Y，Z｝-｛X，Y，Z｝1，兩次迭代的拉索內力差值error2=F（1）-F（0）。判斷error1和error2是否滿足式（1）和式（2），若滿足，則｛X，Y，Z｝1為所求的平衡初始態幾何，此時結構的內力F（1）即為初始態下的平衡內力分布；若不滿足，則進行下一次迭代。

（4） 第k次迭代。

以第k-1次迭代后平衡態下的索內力F（k-1）為基準，對控制索i的預應力進行補償，Pi（k）=Pi+［Pi（k-1）-Fi（k-1）］，第j組拉索的預應力為Pj（k）=［Fj（k-1）/Fi（k-1）］·Pi（k）（其中j≠i），則新的初始預應力分布為P（k）=［P1（k）P2（k）…Pi（k）…Pn（k）］T。將位移｛U｝k-1反向施加在初始態幾何上即｛X，Y，Z｝0，k=｛X，Y，Z｝0，k-1+｛U｝k-1。

以當前零狀態幾何｛X，Y，Z｝0，k更新節點坐標重新建模，并將P（k）換算成初應變施加在各組索上，對結構進行非線性分析，得到平衡初始態｛X，Y，Z｝k下的索內力F（k）=［F1（k）F2（k）…Fi（k）…Fn（k）］T以及位移｛U｝k。

計算平衡初始態與設計初始態幾何誤差error1=｛X，Y，Z｝-｛X，Y，Z｝k，兩次迭代的索內力誤差error2=F（k）-F（k-1）。判斷error1和error2是否滿足式（1）和式（2），若滿足，則｛X，Y，Z｝k為所求的平衡初始態幾何，此時結構的內力F（k）即為初始態下的平衡內力分布；若不滿足，則令k=k+1，繼續進行迭代，直至滿足收斂條件。

比值逆迭代法流程分析流程圖如圖1所示。

2" 算例驗證

2.1 不考慮自重影響

由于大多數文獻［9-11］對索穹頂結構進行找力分析時均沒有考慮自重的影響，為驗證比值逆迭代法形態分析中找力分析結果的正確性，根據上述形態分析理論，用APDL語言編制了ANSYS有限元分析程序，對索穹頂結構進行了不考慮重力的形態分析，并與奇異值分解法進行對比。

對文獻［23］中跨度為100 m的Gieger型索穹頂進行分析，結構模型如圖2所示，截面參數列于表1，各構件均以拼音首字母加桿件位置編號表示，如js1、js2、js3分別代表由內往外第1圈、第2圈、第3圈的脊索，cg1、cg2、cg3分別代表由內往外第1圈、第2圈、第3圈的撐桿，以此類推。其中拉索采用link10單元，撐桿采用link180單元進行模擬。撐桿采用Q355B鋼材，彈性模量為E=2.1×1011 N/m2，拉索采用1670級鋼絲束，彈性模量E=1.9×1011 N/m2。結構的邊界條件為三向約束，結構自重按構件容重7 850 kg/m3計算。設定js1的預應力目標值為261.27 kN，其他拉索初始預應力均假定為261.27 kN。

本文采用比值逆迭代法對結構進行形態分析，索桿軸力迭代過程如圖3所示，與文獻［23］采用奇異值分解法計算得出的索桿軸力分布對比見表2（軸力以受拉為正，受壓為負），平衡初始態幾何坐標列于表3。

由圖3可知，比值逆迭代法僅迭代5次，后3次迭代曲線基本重合，表明索桿軸力分布很快趨于平衡，迭代次數少且效率高。

根據《索結構技術規程》（JGJ 257—2012）規定，張拉完成后結構撓度允許偏差不宜大于設計值5%。由表2可知，比值逆迭代法與文獻［23］計算所得的索桿軸力分布相差無幾，其中拉索內力最大誤差僅為0.257%，撐桿軸力最大誤差僅為0.249%。由表3可知，比值逆迭代法計算得到的平衡初始態幾何坐標與設計初始態幾何坐標的最大差值為0.1 mm，偏差為0.001 2%。這表明結構在進行張拉后，仍能在所需的初始位置上保持平衡，且滿足索結構相關規范的精度要求。

2.2 考慮自重影響

實際結構必然存在重力，忽略重力影響計算得到的結果會有一定偏差，因此以2.1節不考慮自重影響時求得的拉索內力值作為考慮自重影響時分析的預應力設計值，分別采用逆迭代法與比值逆迭代法進行形態分析。由于逆迭代法中將預應力設計值換算成初應變施加在拉索上時會有損失，因此在迭代時對拉索進行一定的預應力補償，使拉索中的索力盡可能接近預應力設計值。逆迭代法共迭代10次，比值逆迭代法共迭代8次。兩種方法計算得到的索桿軸力分布對比見表4，結構初始態幾何坐標對比見表5。

由表4可以看出，兩種方法計算得到的索桿內力分布相差無幾，其中拉索內力最大誤差僅為0.013%，撐桿軸力最大誤差僅為0.011%。由表5可知，比值逆迭代法計算得到的結構平衡初始態坐標與設計初始態坐標最大誤差值僅為0.1 mm，偏差為0.001 2%，而逆迭代法計算得到的平衡初始態坐標與設計初始態節點幾何坐標最大誤差為0.4 mm，偏差為0.004 7%，均能滿足索結構相關規范的精度要求。綜上，采用比值逆迭代法對索穹頂結構進行形態分析，迭代次數少，所得索桿內力分布和幾何精度均滿足索結構相關規范要求，且幾何坐標精度高于逆迭代法。

3" 改進模型形態分析

第2節驗證了采用比值逆迭代法對索穹頂結構進行形態分析的可靠性，索穹頂結構各拉索、撐桿之間的預應力比例關系是唯一的，一旦構件的尺寸發生變化，如撐桿變長，則構件之間的預應力比例關系也要發生相應的變化。采用比值逆迭代法可以從結構幾何坐標上對原模型進行改進，在每次迭代過程中限制索穹頂結構上部節點的位移，對撐桿下端節點的位移不做約束。將撐桿下端節點的位移反向施加在原節點坐標上，撐桿長度發生變化，結構幾何變化，同時構件之間的預應力比值關系也隨之改變，以此得到內力分布更均勻的索穹頂幾何形態。當目標拉索的實際索力值與預應力設計值的差值滿足收斂條件時則停止迭代，此時認為施加該組預應力后的索穹頂結構在一個新的幾何位置達到了平衡，且索桿內力分布更加均勻。

3.1 不考慮自重影響

首先不考慮自重的影響，各拉索的初始預應力均設為261.27 kN，根據上述過程修改比值逆迭代法，對第2節中的索穹頂結構進行形態分析，計算得到改進模型與原模型的構件索桿軸力極差對比如圖4所示，索桿軸力分布對比列于表6，原模型初始態幾何與改進模型初始態幾何的坐標對比見表7。

不考慮自重影響時，采用比值逆迭代法對結構進行計算僅迭代4次。由圖4可知，改進模型各拉索、撐桿軸力極差相比原模型數值均減小，其中環索軸力極差減小幅度最大，原模型環索索力極差為776.84 kN，改進后模型的環索索力極差減小為737.78 kN，相比之下減小了5.29%。改進模型的脊索、斜索軸力極差相比原模型分別減小了3.98%、5.15%，撐桿軸力極差減小了4.06%，結構內力分布更加均勻。由表6可知，改進模型的索桿軸力相比原模型普遍減小，其中hs3軸力減小了5.41%。由表7可以看出，與原模型初始態幾何相比，改進模型初始態幾何中撐桿上部節點坐標沒有改變，撐桿下部節點坐標均向下移動，撐桿長度增加。改進模型施加預應力后的平衡初始態幾何與初始態幾何坐標最大誤差僅為0.6 mm，偏差為0.009%，滿足規范精度要求。

3.2 考慮自重影響

以3.1節不考慮自重影響的計算結果為預應力設計值，考慮自重的影響，采用修改后的比值逆迭代法對索穹頂結構進行形態分析。計算得到改進模型與原模型的構件索桿軸力極差對比如圖5所示，索桿軸力分布對比列于表8，原模型初始態幾何與改進后模型初始態幾何的坐標對比見表9。

考慮自重影響時，采用比值逆迭代法對結構進行計算迭代了11次，求解速度較快。由圖5可知，改進模型的脊索軸力極差為753.5 kN，相比原模型脊索軸力極差784.7 kN減小了4.14%。改進模型的斜索、環索以及撐桿軸力極差分別減小了3.48%、3.90%和3.36%。由表8可知，改進模型各拉索及撐桿的軸力相比原模型均減小，其中hs3軸力減小了4.49%，xs2軸力減小了4.38%，有效地降低了結構的內力水平。

由表9可以看出，與原模型初始態幾何相比，改進模型初始態幾何中撐桿下部節點坐標均向下移動，撐桿長度均增加。改進模型施加預應力后的平衡初始態幾何與初始態幾何坐標最大誤差為0.9 mm，偏差為0.017%，略大于不考慮自重影響時的誤差。綜上可知，采用比值逆迭代法的改進策略可以在原模型結構的基礎上對結構幾何進行改進，使得索桿內力分布更加均勻，同時也能夠滿足規范的精度要求。

4" 結" 論

（1） 采用比值逆迭代法對索穹頂結構進行形態分析可同時得到結構索桿內力分布及平衡初始態幾何坐標，迭代速度快，位移偏差小，精度高。

（2） 對Gieger型索穹頂結構進行形態分析的結果表明，不考慮自重影響時，比值逆迭代法計算得到的初始態索桿內力分布與奇異值分解法計算結果相差甚微，滿足精度要求；考慮自重影響時，采用比值逆迭代法計算得到的初始態索桿內力分布與逆迭代法計算結果相差無幾，而初始態平衡幾何相比逆迭代法計算結果更接近于設計初始態幾何，幾何位形偏差非常小。

（3） 改進模型形態分析表明，比值逆迭代法在迭代過程中可以通過修改迭代策略，在原模型設計初始態幾何的基礎上對結構幾何進行改進，以此得到內力分布更均勻的索穹頂幾何形態，從而有效提高結構的整體性能，在工程上具有實際意義。

（4） 比值逆迭代法不但適用于索穹頂結構的形態分析問題，還可以對結構的索桿內力分布進行優化，該法為索穹頂結構的分析設計提供了新思路。

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