齊次式構造，數學妙思維

【摘要】齊次式構造思維是解決一些相關代數式的變形與轉化時經常采用的一種特殊技巧方法，是解決數學問題的一種基本策略技巧．本文結合實例，就齊次式構造思維在處理不等式、三角函數或解三角形、平面向量以及函數與導數等相關問題中的應用，歸納總結技巧與方法，引領并指導解題研究與復習備考．

【關鍵詞】齊次式；不等式；三角函數

齊次式從詞面上解釋就是“次數相等”的意思，即一個代數式中各個單項的次數都相同．在解決一些涉及函數與方程、代數式與不等式、三角函數、平面向量、函數與導數等相關問題時，經常會通過關系式的恒等變形，合理借助齊次式構造思維，使得所含各項的次數一樣，進而綜合應用相關的知識來解決問題，這就是解決數學問題中一種比較常見的齊次式構造策略，也是破解一些相關數學問題中一種非常有效的技巧方法．本文結合實例，就齊次式構造思維的應用加以剖析，拋磚引玉．

1不等式問題中的齊次式構造

例1若正數a，b滿足a+b=1，則1+3aab的最小值為．

分析通過題目條件與所求結論之間關系式的對比與分析，聯想到可以將關系式中的分子也配湊成二次式，進而借助常數“1”的平方與乘積轉化，巧妙構造齊次式思維處理，為進一步利用基本不等式放縮確定最值提供條件．

解依題，由于正數a，b滿足a+b=1，

所以1+3aab=12+3a×1ab

=a+b2+3aa+bab=4a2+5ab+b2ab=4ab+ba+5≥24ab×ba+5=2×2+5=9，

當且僅當4ab=ba，即b=2a=23時等號成立，

所以1+3aab的最小值為9.

點評在解決一些不等式綜合問題時，特別是限定條件下代數式的最值問題，往往要回歸不等式自身的函數與方程的本質，借助構造齊次式思維，合理變形與巧妙轉化，為進一步利用不等式的基本性質或重要不等式的放縮，以及函數與方程思維等來解決問題奠定基礎，這也是解決此類問題的一種基本技巧方法．

2三角函數問題中的齊次式構造

例2（2023年全國高中數學聯賽江蘇賽區蘇州市選拔賽第3題）已知x∈R，則4sinxcosx+3cos2x的最小值為．

分析根據題設條件，合理分析并挖掘三角函數分式關系式的結構特征，結合平方關系1=sin2x+cos2x的代換進行關于sinx與cosx的齊次化處理，方便“化弦為切”，構建涉及正切值的函數關系式，進而利用恒等變形構造關于tanx的函數，借助函數思維與方法來分析與解決問題．

解析依題，4sinxcosx+3cos2x

=3sin2x+4sinxcosx+3cos2xcos2x

=3tan2x+4tanx+3=3tanx+232+53，

所以當tanx=－23時，4sinxcosx+3cos2x的最小值為53.

點評在處理一些三角函數問題時，根據三角函數等式左右兩邊是對稱的，或三角函數分式上下兩邊是對稱的等特殊結構形式，可以借助齊次式構造思維對三角函數式進行變形與轉化，主要是利用“化弦為切”等技巧思維，進而通過三角關系式的轉化，巧妙解決問題．齊次式構造思維是解決此類問題中的一種“巧技妙法”．

3解三角形問題中的齊次式構造

例3（2023屆廣西南寧市高中畢業班摸底測試數學試卷）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點D在BC邊上，∠BAC=60°，AD=2，CD=2BD，當2c+b取最大值時，BD=．

分析根據題設條件，利用線段的長度關系引入平面向量的線性關系式，結合向量的線性轉化以及平方處理，通過向量的模與數量積公式加以變形與轉化，合理構建三角形中相關邊之間的關系式，結合對應邊長關系式的最大值場景，合理配湊，構造齊次式加以變形，為進一步利用基本不等式確定相關邊長關系式的最值提供條件．

解依題由CD=2BD，可得CD=2DB，

則有AD－AC=2AB－AD，

整理有3AD=2AB+AC，

兩邊平方展開可得9AD2=4AB2+4AB·AC+AC2，

則有9AD2=4AB2+4ABACcos60°+AC2，

整理有b2+4c2+2bc=36，結合基本不等式，

可得2c+b=b+2c2=6×b2+4c2+4bcb2+4c2+2bc=6×1+2bcb2+4c2+2bc≤6×1+2bc2b2+4c2+2bc=6×1+13=43，

當且僅當b2=4c2，即b=2c=23時等號成立，

所以2c+b取得最大值43，

此時利用余弦定理有a2=b2+c2－2bccos60°=9，

則有a=3，那么BD=13a=1.

點評在解三角形中的相關代數式變形與應用時，特別是抓住所求關系式進行升冪處理，經常借助構造齊次式進行合理變換，配湊吻合基本不等式的條件，進而利用基本不等式來確定最值．

4平面向量問題中的齊次式構造

例4已知非零平面向量a，b的夾角為60°，且a－b=1，則a·a+2b的最大值為．

分析對題設條件中的平面向量的線性關系式的模加以平方處理，確定涉及兩向量的模的方程，結合所求平面向量的數量積的變形，通過除“1”引入涉及平面向量的模的關系式來合理構造齊次式處理，巧妙換元，進而利用基本不等式的放縮來確定數量積的最值問題．

解依題，由a－b=1，兩邊平方整理可得a2－ab+b2=1，

所以a·a+2b=a2+ab=a2+aba2－ab+b2，

令t=ba>0，則有a·a+2b=a2+aba2－ab+b2=|a||b|+1|a||b|2-|a||b|+1

令t=|a||b|，則上式為=1+t1－t+t2=1+t1+t2－31+t+3

=11+t－3+31+t≤121+t×31+t－3=123－3=23+33，

當且僅當1+t=31+t，

即t=ba=3－1時等號成立，

所以a·a+2b的最大值為23+33．

點評應用齊次式構造思維處理此類平面向量的數量積與模的關系問題時，關鍵在于利用數量積的定義轉化為向量的模的關系式，結合代數式的結構特征通過除“1”合理構造齊次式，此方法具有一定的靈活性與技巧性．

5函數與導數問題中的齊次式構造

例5（2023年清華大學優秀中學生暑期學堂）已知x≥y≥0，且x+y+x－y≤ax+y，則實數a的取值范圍是．

分析根據題設條件，通過分類討論，對于當x>0時分離參數，恒等變形分式并進行齊次式構造，引入參數并構建函數，結合函數中代數式的結構特征，通過正值函數的平方處理，利用分式中分子與分母所對應的正值函數的單調性來綜合分析與應用．

解當x=y=0時，不等式x+y+x－y≤

ax+y對任意的實數a都成立；

當x>0時，

分離參數有a≥x+y+x－yx+y=

1+yx+1－yx1+yx恒成立，

設t=yx∈0，1，構造函數f（t）=1+t+1－t1+t>0，

t∈0，1，

則知a≥f（t）max，

而f（t）2=1+t+1－t1+t2

=2+21-t21+t2，

顯然2+21－t2為正值減函數，1+t2為正值增函數，則知函數f（t）2在0，1上單調遞減，即函數f（t）在0，1上單調遞減，

所以f（t）max=f（0）=2，即a≥2，

當且僅當t=0，即y=0時等號成立；

綜上分析，可知a≥2．

點評齊次式構造思維處理此類涉及函數與導數的綜合問題，關鍵是代數式的恒等變形與構造相應的齊次式，借助對應的函數與方程來轉化與應用．特別是此類含參不等式恒成立背景下參數最值求解問題，齊次式構造思維是解決此類問題最常用的一種技巧方法，對觀察能力與數學運算能力有較高的要求．

6結語

齊次式構造思維在處理一些代數式具有特殊結構特征的數學問題中有奇效，解決問題的關鍵就是對關系式進行合理的恒等變形與轉化，通過對整式、分式中對應各項的次數進行齊次化處理，方便進一步的恒等變形與轉化，為相關問題的分析與解決提供更加寬廣的思路與解題的空間，從而優化數學運算，方便邏輯推理，開拓了學生的數學思維，提升了他們的數學能力，培養了其數學核心素養．