概率與數(shù)列綜合問題的解題策略

【摘要】概率與數(shù)列綜合問題是近幾年高考的熱點，也是難點.此類問題需要對概率有深入的理解，常需要建立遞推數(shù)列、構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式和前n項和解決.本文給出概率與數(shù)列綜合問題的解題策略，并應(yīng)用于解決實際問題.

【關(guān)鍵詞】概率；數(shù)列；高中數(shù)學(xué)；解題策略

概率與數(shù)列結(jié)合的方法在數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)中是一種常見且重要的方法.而概率與數(shù)列的綜合問題通常涉及對數(shù)列的特性和概率的深入理解，以及如何將這兩者有效地結(jié)合起來.本文結(jié)合具體實例介紹概率與數(shù)列綜合問題的解題策略.

1解題策略

（1）理解題意：首先，需要清楚理解題目的要求和背景，識別出與數(shù)列和概率相關(guān)的關(guān)鍵信息.

（2）識別數(shù)列模式：在理解了題目后，需要識別出與概率問題相關(guān)的數(shù)列模式.這可能涉及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）建立數(shù)列模型：根據(jù)識別出的數(shù)列模式，需要建立一個合適的數(shù)列模型.這可能涉及數(shù)列的遞推公式、通項公式，或者等比數(shù)列的求和等.

（4）應(yīng)用數(shù)列模型：建立好數(shù)列模型后，需要將其應(yīng)用到概率問題的處理中.這可能涉及計算某些事件的概率，或者求解隨機(jī)變量的期望等.

（5）應(yīng)用數(shù)列的性質(zhì)和公式：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和公式，求出數(shù)列的通項公式或求和公式.

（6）求解概率：最后，根據(jù)數(shù)列的通項公式或求和公式，求出題目要求的概率.

以上步驟僅是一個大致的流程，具體的步驟可能會因題目的不同而有所變化.在解題過程中，還需要靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，如排列組合、對稱性、全概率公式等，簡化問題，提高解題效率.

2題目應(yīng)用

例1杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素．本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情．某體能訓(xùn)練營為了激勵參訓(xùn)隊員，在訓(xùn)練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓(xùn)練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊員到達(dá)第7或第8步臺階時，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺階，認(rèn)定失?。坏竭_(dá)第8步臺階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺階．記隊員到達(dá)第n步臺階的概率為pn（0≤n≤8），記p0=1．

（1）投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第X階，求X的分布列；

（2）①求證：數(shù)列pn－pn－1（1≤n≤7）是等比數(shù)列；

②求隊員贏得吉祥物的概率．

解析（1）由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為23，爬兩步臺階的概率為13，所以隨機(jī)變量X可能取值為4、5、6、7、8，可得X的分布列如表1.

（2）①證明：n=1，即爬一步臺階，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不是3的倍數(shù)概率p1=23，則p1－p0=－13.到達(dá)第n步臺階有兩種情況：

a.前一輪爬到第n－2步臺階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺階，其概率為13pn－2；

b.前一輪爬到第n－1步臺階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺階，其概率為23pn－1.

所以pn=13pn－2+23pn－1（n=2，3，…，7），

則pn－pn－1=－13pn－1－pn－2，

所以數(shù)列pn－pn－1（n=1，2，…，7）是首項為－13，公比為－13的等比數(shù)列．

②因為數(shù)列pn－pn－1是首項為－13，公比為－13的等比數(shù)列，

所以pn－pn－1=－13n，

得p1－p0=－13，p2－p1=－132，

…，

pn－pn－1=－13n.

各式相加，得pn－p0=－141－－13n，

所以pn=34+14－13n（n=1，2，…，7）.

所以活動參與者得到紀(jì)念品的概率為

p8=13p6=13×34+14×－136=14+

14×137=5472187．

例2一只螞蟻在正四面體的表面爬行，每秒從某一個頂點等可能地爬往三個相鄰頂點之一，小螞蟻在第n秒爬回初始位置的概率為pn，其中n∈N*．

（1）解釋p1的實際意義，并求p1，p2的值；

（2）寫出pn+1和pn滿足的關(guān)系式，并求數(shù)列pn的通項公式．

解析（1）p1為螞蟻第1秒爬回初始位置的概率．因為一秒鐘后小螞蟻已離開出發(fā)點到達(dá)正四面體另外一個頂點，所以p1=0.

因為兩秒內(nèi)螞蟻爬行的路徑有9種，其中能回到初始位置的路徑有3種，所以p2=13．

（2）因為小螞蟻在第n秒爬回初始位置的概率為pn，其中n∈N*，所以第n秒時位于非初始位置的三個頂點之一的概率為1－pn，

所以pn+1=131－pn+0×pn，且p1=0，

整理得pn+1－14=－13pn－14，且p1－14=－14≠0.

可知數(shù)列pn－14是以－14為首項，－13為公比的等比數(shù)列，

則pn－14=－14×－13n－1，

所以pn=34－13n+14．

3結(jié)語

概率與數(shù)列有著緊密的聯(lián)系.利用概率模型可描述數(shù)列問題，比如在某些情況下，數(shù)列的生成或變化可以通過概率模型來描述.而在隨機(jī)過程中，數(shù)列的每一項可能是隨機(jī)變量的實現(xiàn)，而這些隨機(jī)變量的分布和特性可以通過概率來描述.同樣，也可以用概率來分析數(shù)列的性質(zhì)，例如數(shù)列的收斂性、數(shù)學(xué)期望、方差等.這種分析方法特別適用于那些與隨機(jī)性有關(guān)的數(shù)列，都需要對數(shù)列和概率有深入的理解，同時還需要一些數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的知識.

參考文獻(xiàn)：

[1]李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.