基于考試邏輯判斷題的數理邏輯教學案例設計

摘要：數理邏輯是采用數學方法研究邏輯形式及其規律的數學分支，是“離散數學”和“人工智能”課程的重要內容。現有的數理邏輯教學以理論講解為主，教學案例較少且較為抽象，學生難以理解。為了提升數理邏輯的教學效果，本文結合公務員考試中的邏輯判斷題，從數理邏輯角度分析解題思路與方法，增強學生邏輯思維能力。教學實踐結果表明，以公務員考試中的邏輯判斷題作為教學案例，可以激發學生自主學習興趣，提升課堂教學效果。

關鍵詞：離散數學；數理邏輯；命題邏輯；謂詞邏輯

中圖分類號：TP391.4

數理邏輯是數學的一個分支，通過邏輯的符號化、形式化對邏輯推理過程進行研究。數理邏輯包含經典邏輯和非經典邏輯，在計算機科學、哲學、語言學等領域具有廣泛的應用。

數理邏輯是“離散數學”課程的核心內容之一，離散數學教材通常將命題邏輯與謂詞邏輯規劃為兩個章節進行介紹［12］。此外，“離散數學”中涉及的多種證明方法，如直接證明、間接證明法（反證法）等都是基于數理邏輯的原理［3］。

數理邏輯在“人工智能”課程中同樣占有重要位置。人工智能中專家系統的構建通常以數理邏輯作為理論基礎［45］。在專家系統中，命題邏輯與謂詞邏輯使用邏輯符號表示邏輯規則，推理引擎結合前向推理和后向推理，根據給定的規則和事實推導出新的結論。專家系統使用規則庫表示專家知識，依賴推理引擎模擬專家的決策過程。

數理邏輯為離散數學和人工智能提供了一種強大的工具，用于形式化表達、推理和解決問題。通過學習數理邏輯，學生可以更好地理解人工智能領域的基本概念和方法。然而，現有的數理邏輯教學過于偏重理論，缺少實際應用案例支撐，導致學生難以理解邏輯概念的實際價值和應用場景。缺少案例練習，學生容易產生“這些我都懂了”的錯覺，因此，教學實踐中需要更多的應用練習來鞏固理論知識。

解決上述問題需要教師不斷探索和改進教學方法，提供更多樣的學習資源，并與實際應用相結合，提高數理邏輯教學的質量和效果。本文結合公務員考試中的邏輯判斷題，以提升學生邏輯推理能力為導向，打造“以學生為中心”的“離散數學”課程教學案例［67］。公務員考試是公務員錄用工作的重要環節，邏輯判斷題是考試中的常見題型。邏輯判斷題與數理邏輯關系密切，可以從命題邏輯與謂詞邏輯角度對題目進行分析求解。

1命題邏輯

1.1命題邏輯主要教學內容

“離散數學”課程中，命題邏輯部分主要介紹命題的基本概念、Eo9oJqO6LXjZoDjLkH9+FaN5a/dHiU1wuGv9Xp93Yfk=聯結詞、命題符號化方法、真值表、邏輯等價、邏輯蘊含、范式以及推理理論。命題是可以判斷真假的陳述句，通常用一個字母表示命題。簡單命題又稱原子命題，它是不包含任何聯結詞的命題。聯結詞可看作是命題或命題變元的運算符，由原子命題和聯結詞組成的復雜命題稱為復合命題。主要的聯結詞包括否定、合取、析取、蘊含以及雙條件，分別使用符號┐、∧、∨、→、表示。命題公式是由代表命題的字母以及聯結詞符號組成的一個符號串，將一個自然語言表述的命題翻譯成命題公式的過程稱為命題符號化。假設有一個命題公式G，P1，…，Pn是命題公式G中的命題變元，指定其中每個命題變元Pi的真值，這組真值稱為G的一個解釋。如果命題公式G在所有解釋下真值均為1，則稱G為永真式（重言式）；如果命題公式G在所有的解釋下真值均為0，則稱G為永假式（矛盾式）；如果存在一種解釋使得G的真值為1，則稱G為可滿足式。如果兩個命題公式G和H在任意解釋下，其真值相同，則稱公式G和H是邏輯等價的，記作GH。命題公式的規范化表示形式稱為范式。設P、Q是命題公式，若P→Q是永真式，則稱P邏輯蘊含Q，記作PQ。推理就是從前提出發，按規則推出結論的過程。推理過程中可以使用的規則包括前提引入規則（P）、結論引入規則（T）以及CP規則。

1.2命題邏輯教學案例

公務員考試中的部分邏輯判斷題可以利用命題邏輯知識進行分析與求解。本小節選取典型的邏輯判斷題，挖掘題目關鍵信息與命題邏輯的關聯，對關鍵信息進行符號化，從命題邏輯角度對題目進行解析，得出正確選項。

案例1：某倉庫發生了失竊事件，四個倉庫保管員均存在嫌疑，被要求接受公安機關調查。在詢問過程中，他們供述如下：

甲：我們四個人都沒有參與盜竊。

乙：我們中間至少有一個人參與了盜竊。

丙：乙和丁之中，至少有一個人沒有參與盜竊。

丁：我是無辜的，我沒有參與盜竊。

調查結果顯示這四個人中，有兩個人說的是真話，另外兩個人說的是假話。從調查結果可知，以下哪項斷定成立？

A.說真話的是甲和丁

B.說真話的是乙和丙

C.說真話的是甲和丙

D.說真話的是乙和丁

解析：用字母P、Q、R、S分別表示甲作案、乙作案、丙作案、丁作案四個命題，則四個人的陳述可以用命題符號化為：┐P∧┐Q∧┐R∧┐S，P∨Q∨R∨S，┐Q∨┐S，┐S。根據題意，四個人中有兩個人說真話，兩個人說假話，共有12種可能組合。四個選項提供了四種組合，逐一驗證即可。先取假話的否定，然后驗證四句話的合取是否為永假式。如果為永假式，則該選項錯誤。例如選項A，甲和丁說的是真話，那么乙和丙說的是假話。乙和丙的陳述的否定為┐P∧┐Q∧┐R∧┐S和Q∧S。對四句話進行合取并化簡，可得命題公式（┐P∧┐Q∧┐R∧┐S）∧（Q∧S）∧┐S，該命題公式為永假式，選項A錯誤。考察選項B，乙和丙說的是真話，那么甲和丁說的是假話。甲和丁的陳述的否定為P∨Q∨R∨S和S。對四句話進行合取并化簡，可得命題公式（P∨Q∨R∨S）∧（┐Q∨┐S）∧S，該命題公式為可滿足式，選項B正確。

案例2：所有真正關心教師福利的校長，均已被證實為管理得法的校長。而這類校長在行動上都會首先關注并解決中青年教師的住房問題。所以，我們可以推斷出，那些沒有將首要關注點放在解決中青年教師住房問題上的校長，不屬于管理得法的范疇。為了使這一推斷成立，以下哪項陳述必須為真？

A.中青年教師的住房問題，在教師的整體福利中占據核心地位

B.所有管理得法的校長，都無一例外地關心教師的福利

C.近年來，中青年教師在教師群體中的比例有了顯著增加

D.所有將首要關注點放在解決中青年教師住房問題上的校長，都無一例外地展現了管理得法的特質

解析：題目涉及命題邏輯推理，先對題目陳述進行命題符號化。設P表示校長關心教師福利，Q表示校長管理得法，R表示校長把首要關注點放在解決中青年教師住房問題上，則題目中的前提可以符號化為P→Q以及P→R，結論可以符號化為┐R→┐Q。題目含義為增加選項中的哪個前提，可以推導出結論。其中選項B可以命題符號化為Q→P，增加該前提可以推出結論，推理過程如下：

（1）P→RP

（2）┐R→┐PT（1）

（3）Q→PP

（4）┐P→┐QT（3）

（5）┐R→┐QT（2）（4）

因此，該題正確選項為B。

案例3：正如所有生命體依賴新陳代謝來維持生存，文明也需要通過不斷的交流和學習來保持其活力。如果文明長時間處于封閉狀態，不與其他文明進行交流和學習，那么它會逐漸走向衰退。交流互鑒是文明得以持續發展的核心要素。只有當文明與其他文明進行深入的交流，相互學習、相互補充時，它才能夠持續展現出強大的生命力和活力。基于這一邏輯，我們可以推斷出：

A.如果一個文明沒有長時間處于封閉狀態，那么它就不會走向衰退

B.如果一個文明與其他文明進行交流互鑒，那么它就能夠保持旺盛的生命力和活力

C.如果一個文明沒有與其他文明進行交流互鑒，那么它就無法保持旺盛的生命力和活力

D.如果一個文明沒有展現出旺盛的生命力和活力，那么它就沒有與其他文明進行交流互鑒

解析：題目涉及命題邏輯推理，先對題目陳述進行命題符號化。設P表示文明長期自我封閉，Q表示文明走向衰落，R表示文明交流互鑒、取長補短，S表示文明保持旺盛生命活力。題目陳述可以符號化為P→Q，S→R。選項A、B、C、D可以分別符號化為┐P→┐Q、R→S、┐R→┐S、┐S→┐R。選項C是前提S→R的逆否命題，他們邏輯等價，因此可以從前提推導出選項C。

2謂詞邏輯

2.1謂詞邏輯的主要教學內容

“離散數學”課程中，謂詞邏輯部分主要介紹謂詞與量詞的基本概念、命題符號化方法、范式以及謂詞邏輯推理理論。在謂詞邏輯中，將描述個體詞的特性或個體詞之間的關系的語句稱為謂詞。含有n個個體變元的謂詞稱為n元謂詞。一元謂詞表達了個體詞的性質，多元謂詞表達了多個個體詞之間的關系。零元謂詞中無個體，可以理解為命題。因此，謂詞邏輯包括命題邏輯。個體變元的變化范圍稱為論域。量詞用來表示個體數量，有兩種不同含義的量詞，即全稱量詞和存在量詞。全稱量詞記為，x表示“對任意的x”。存在量詞記為，x表示“存在一個x”。量詞的作用范圍稱為轄域。謂詞公式是由謂詞、量詞、個體常量、個體變元以及聯結詞符號組成的一個符號串。如果兩個謂詞公式G、H在共同的論域中的任意一個解釋下所得的命題具有相同的真值，則稱謂詞公式G、H在該論域上邏輯等價，記為GH。設P、Q為謂詞公式，若P→Q為永真式，則稱P邏輯蘊含Q，記為PQ。在謂詞公式中，如果所有的量詞都出現在公式的最前面，且它們的轄域為整個公式，則稱此謂詞公式為前束范式。謂詞邏輯推理演算中可以使用命題邏輯的推理規則，此外，謂詞邏輯的推理過程新增了消去量詞與引入量詞的規則。

2.2謂詞邏輯教學案例

公務員考試中的部分邏輯判斷題可以利用謂詞邏輯知識進行分析與求解。本小節選取典型的邏輯判斷題，挖掘題目關鍵信息與謂詞邏輯的關聯，對關鍵信息進行符號化，從謂詞邏輯角度對題目進行解析，得出正確選項。

案例4：在軍訓的尾聲，一班學生進行了實彈射擊訓練，三位教官對一班學生的射擊成績進行預測。張教官認為，由于軍訓時間有限，這個班級里沒有任何一個學生的射擊成績能夠達到優秀的標準。孫教官則持不同觀點，他表示有幾位學生之前有過訓練經驗，他們的射擊成績理應達到優秀水平。而周教官則預測，班長或體育委員中至少有一人能夠取得優秀的射擊成績。射擊結果出來后，我們發現這三位教官中只有一位的預測是準確的。基于這個信息，我們可以推斷出哪一項陳述是準確無誤的？

A.該班級所有學生的射擊成績均未達到優秀標準

B.該班級所有學生的射擊成績均達到了優秀標準

C.班長的射擊成績達到了優秀標準

D.體育委員的射擊成績并未達到優秀標準

解析：設論域為班里所有學生的集合，謂詞A（x）表示x射擊成績優秀，個體詞a和b分別表示班長和體育委員。三位教官的預測可以命題符號化為x┐A（x），xA（x），A（a）∨A（b）。依據題意，三位教官僅有一位教官說對。若周教官說對了，那么孫教官必定也對，與題設矛盾，因此周教官說錯了。周教官陳述的否定為┐A（a）∧┐A（b），因此選項D正確。

3教學實踐與教學反饋

3.1教學實踐

在運用案例之前，需要強化學生的基礎知識，確保學生掌握命題邏輯與謂詞邏輯的主要知識點。在課堂講授中采用多樣化的教學方法，結合討論、習題課和案例分析等形式，提高學生的參與度和興趣，同時強調數理邏輯的實踐應用。通過解決實際問題，學生了解了數理邏輯在現實世界中的應用。教師收集公務員考試中與數理邏輯緊密相關的邏輯判斷題，提供充分的習題訓練，鼓勵學生通過大量練習來鞏固理論知識。在教學過程中關注學生思維發展，引導學生思考，培養學生獨立思考的能力。定期評估教學效果，收集學生反饋，及時調整教學策略以滿足學生的學習需求。

3.2教學反饋

使用公務員考試中的邏輯判斷題作為教學案例，結合多樣化的教學方法，學生在課堂上的參與度明顯增加，表現出更濃厚的興趣和更強的積極性。通過強化基礎知識和提供充分的習題訓練，學生理解能力增強，能夠更深刻地理解數理邏輯的概念和原理，課程成績有所提高。教師通過強調實踐應用，增強了學生將數理邏輯知識應用到現實世界問題的能力，學生綜合素質得到提升。

結語

本文梳理了數理邏輯在“離散數學”和“人工智能”課程中的重要地位，指出當前數理邏輯教學存在的問題。為了貫徹“以學生為中心”的教學理念，本文結合公務員考試中的邏輯判斷題，以增強學生邏輯推理能力為導向，設計生動有趣的數理邏輯教學案例，從數理邏輯的角度分析求解各式各樣的實踐應用題。教學實踐結果表明，把公務員考試中的邏輯判斷題作為教學案例，可以提升學生學習的自主性，提升教學效果。

參考文獻：

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［6］潘曉衡，張宇輝.“以學生為中心”的“離散數學”教學改革［J］.科技風，2024（07）：130132.

［7］譚作文.新工科背景下離散數學課程“案例+四層次實驗”實踐教學探索［J］.計算機教育，2024（03）：199204.

基金項目：2022年度廣東省本科高校教學質量與教學改革工程項目“以學生為中心的《離散數學》課程教學改革與實踐”；2022年廣東省研究生教育創新計劃項目“《人工智能》高水平課程及教材建設”（2022SFKC080）；2022年度東莞理工學院質量工程項目“產教融合和多學科交叉背景下人工智能的教學改革與實踐”（202202013）

作者簡介：張宇輝（1990—），男，廣東梅州人，博士，講師，主要研究方向為群體智能與進化計算；李青青（1991—），女，河南平輿人，博士，講師，主要研究方向為統計學及人工智能。

*通訊作者：潘曉衡（1983—），男，湖南衡陽人，碩士，高級工程師，主要研究方向為云計算及人工智能。