大單元背景下“終端起始課”的教學實踐

編者按

2012年9月以來，國家“萬人計劃”教學名師邢成云在2012年提出的“快慢相宜的整體化教學”基礎上，順應時代發展課程改革的理念所需，教學實踐的現實所需，深度學習的價值所需，基于解決碎片化教學的問題，進一步強化了“章起始課”研究，歷經“個人探索·校內推廣·市域輻射·團隊引領”四個階段，通過10余年的實踐探索，逐步建構起初中數學“章起始課”的單元—課時實踐模型，形成了“立足市域·走向全國：章起始課為抓手的初中數學大單元教學”的濱州經驗. 2023年5月，這一經驗作為單元教學新樣態在《中國教師報》獲得推介，在2023年11月的第三屆亞洲數學教育中心（ACME）國際學術研討會上得以分享，在第六屆中國教育創新成果公益博覽會上得以展示，在全國形成了一定的影響力.

本組文章以“二次根式”為載體，系統呈現了大觀念統領下的章起始課，順承章起始課下的兩節深度探研課，以及與章起始課呼應的統攝復習課，全程展現了“整—分—整”的單元整體教學路徑，是對m個“1+n”中“1+n”的有效落實. 這里的“m”指某個大單元可分解成邏輯連貫、前后一致的m個章（中）單元，而每一個章（中）單元通過“單元（呈現）—課時（表達）”設計展開；“1”指章（中）單元起始課.

［摘 要］ 文章立足《“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學》［1］中“整體化教學”的教學理念，對人教版八年級下冊“二次根式”這一章“終端起始課［2］”從教學內容、整體規劃、研究現狀、教學實踐、整體立意等多視角做出分析，旨在實現知識的同化與自然遷移，形成本章的認知路線、學習方法及結構藍圖，獲得“終端·起始”課的教學范式.

［關鍵詞］ 二次根式；類比；結構化；章起始課

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在教學建議的條目三指出：“推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯. 單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，分析主題—單元—課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養［3］.” 以此為背景，筆者以人教版八年級下冊“二次根式”章起始課為抓手，談談如何落實整體設計，為后面研究方程、函數、三角形、四邊形、圓等其他終端內容的教學提供導引.

1. 宏觀分析

“二次根式”在整個初中階段，屬于“數與式”的最后一章內容，本節課又屬于整章內容起始課，“終端起始課”由此而來. “學習代數學，就是要學會善用運算律去有效、系統地解決各種各樣的代數問題［4］.” 前面，學生已經完成了對“有理數、實數”的學習，建立了研究數系擴充、運算法則和運算律的基本套路；在“整式”“分式”的學習中，積累了學習“式”的運算法則以及用運算律進行“式”的運算的方法. 同時，本節課在整個課程體系中，也是后續學習勾股定理、一元二次方程的直接基礎.

數、整式、分式的學習都為本章內容提供了代數學的基本思想和基本方法. 如何借助本節課的教學，讓學生再次領悟已學代數學的思想方法，以體現整個義務教育階段“數式”這一數學課程的整體性，幫助學生形成“數式一致性”的整體觀，建構數式運算模型，是本單元的核心問題，更是本節課的“大問題”“大觀念”.

2. 微觀分析

章引言從運算角度提出整章學習內容及學習本內容的必要性. 從微觀上看，本章遵循代數學的研究路線“概念—性質—運算（法則，公式）”，教材采用了“具體—抽象”的研究方法. 筆者立足教材，結合團隊已研究的整體化教學法、《課標（2022年版）》，確定本章內容研究思路為：二次根式的概念→二次根式的性質→二次根式的運算→二次根式的應用. 聚焦二次根式的概念，二次根式其實是對非負實數進行開平方運算的一般化結果（實則是一類特殊實數的一般形式）. 以此理解，本起始課研究價值以實數（重點是無理數）運算為載體，使學生對實數運算形成再完整認知的同時，再整體感知二次根式的內容與方法.

1. 宏觀規劃

立足以上定位，本設計踐行了《課標（2022年版）》提出的“整體設計，分步實施”理念，借助章起始課統領的大單元教學“1+n”的教學程式［5］（其中的“1”指章起始課，“n”表示“1”之后的課時，含章復習課等），對本章內容進行了如下統籌與規劃.

第一課時：統領起始課. 借助實數，引出二次根式的概念；類比整式、分式，得出二次根式一章的內容結構圖、研究策略與研究方法；依據數學邏輯、數式通性，探討二次根式的性質，由性質出發得到乘法法則，并用代數推理進行驗證，類比乘法得出除法法則，初步認識二次根式的加減運算，形成對本章的完整認知.

第二課時：深度探研課. 再次對二次根式的性質以及乘除運算進行探研，理解最簡二次根式的概念，能熟練進行二次根式的化簡與乘除運算.

第三課時：深度探研課. 探究二次根式的加減運算方法，在整體中推進對二次根式乘除、加減運算法則的理解.

第四課時：訓練提升課. 通過對二次根式混合運算的訓練，打牢運算基本功，實現“四基—核心素養”的轉變.

第五課時：項目實踐課（此課型可結合學情確定課時數量）. 分析教材中的“閱讀與思考”“數學活動”，立足學情，開展項目化學習或微項目學習，提高學生的綜合實踐能力，讓學生感受二次根式在生活實踐中的運用，落實《課標（2022年版）》中對綜合與實踐的要求，以提高學生的實踐能力，培養學生的創新意識.

第六課時：統攝復習課. 與“1”相呼應，通過所學的“n”（這里的n為4或5）課時，對整章內容進行再次整體認知，加固并重構已有的知識結構，形成多角度對本章“終端”的認識.

第七課時：分層評價課. 分A、B、C三個層級設立評價題目，形成AB、BC兩個組合的評價題組，由學生自選進行測試，其中A對應教材的拓廣探索題，B對應教材的綜合運用題，C對應教材的復習鞏固題. B是保底題目，A、C兩組題等分值設計.

第八課時：試卷講評與異步達標課.

2. 微觀目標

結合《課標（2022年版）》，聚焦本起始課，教學目標確定如下.

（1）通過對所列數學式的分類，再次領悟學過的數與式內容，體會由數到式的進階.

（2）從算術平方根的概念出發，總結含根號式子的共性，形成n次根式的概念.

（3）從二次根式的概念出發，探究并獲得二次根式的性質，由性質得出其（根號下僅限于數）乘、除運算法則，會用它們進行簡單的乘除運算；初步認識二次根式的加、減運算，結構上完善二次根式的運算體系；理解數式一致性，發展抽象能力，形成研究數與式的基本經驗.

環節一：喚醒故知，獲取對象

問題1 （1）某市冬季某天的溫差是12 ℃，這天的最低氣溫是t ℃，則這天的最高氣溫是____℃.

（2）面積為9的正方形的邊長為______；面積為5的正方形的邊長為______；面積為S的正方形的邊長為______；棱長為a的正方體的表面積為_____；體積為n的正方體的棱長為_____.

（3）物體自由下落的高度h（單位：m）與下落時間t（單位：s）的關系式為h=4.9t2. 如果有一個物體從110 m高的建筑物上自由落下，到達地面需要____s.

（4）某村有n個人，耕地50 hm2，則人均耕地面積為____hm2.

數學思考 （1）上面所列式子中，我們已經研究過哪些？

（2）請把得到的式子進行分類，并指出分類依據.

歸納概括 （1）歸納、概括得出的“新式子”的特點，嘗試給它們起個名字，并小組交流.

（2）你還能舉出類似的新式子嗎？

設計意圖 問題1中的4個問題是基于學生的現實所提出來的，其中（2）基于數學現實提出，能喚醒學生的已學知識，激發學生積極思考；（1）（4）基于生活現實提出，能讓學生感受到數學與生活的密切聯系；（3）基于科學現實提出，體現了數學與鄰近學科知識的融合. 學生易列出式子：t+12，3，，，6a2，，，. 學生在解決“數學思考”的過程中體會每個式子的特點，能喚醒整式、分式、實數的已有經驗，發揮好數式系統“終端”課的價值，也能為后續的類比遷移做鋪墊. 當學生將，，， 均歸類為單項式時，教師指出，屬于單項式符合單項式的概念，但，則不能稱之為單項式. 此時學生出現“認知沖突”，教師可出示，，并請學生思考兩個式子的名稱，以啟發學生深度思考. 接著，教師可讓學生根據新式子的特點進行舉例，形成初步感知，再利用歸納概括對其進行抽象總結，形成對二次根式本質的認識. 在此環節，學生經歷了用數學眼光看現實的第一次抽象，再從數學對象中通過分類、剝離獲取研究對象（二次根式）的二次抽象，這顯然是從水平抽象到垂直抽象的完整過程，學生的模型觀念、抽象思維得以發展.

環節二：類比遷移，生成結構

問題2 根據學過的“分式”一章的研究路徑，猜想研究二次根式的一般路徑，并嘗試勾勒出二次根式的研究結構圖.

設計意圖 問題2引發學生思考，由回想→猜想→聯想，激起思維碰撞；同時幫助學生積累數學經驗，感受數學知識的整體性與一致性. 分式與二次根式分別隸屬于人教版教材中的第十五章與第十六章內容，這兩章內容雖然處在不同學期，但在整個數式系統中是毗鄰的，用好同構遷移至關重要（如圖1所示）.

環節三：基于定義，探究性質

問題3 結合分析，觀察（a≥0），你發現了什么？由此猜想二次根式有哪些性質.

數學思考 結合所學，請大家寫出幾個二次根式；對比寫出的二次根式：，，，，，哪些可以化簡？由此得出什么？什么樣的二次根式可以化簡為有理數？結合平方運算與開平方運算的互逆性，與（）2（a≥0）分別等于多少？

歸納概括 請勾勒出二次根式性質的結構圖（如圖2所示），并猜想：利用二次根式的這些性質，可以解決什么問題？

設計意圖 問題3直擊算術平方根的本質，三個性質其實都是由二次根式的概念以及平方運算與開平方運算的互逆性得出來的，引導學生找出性質2與性質3的聯系與區別，加深對性質的理解. 學生在感知知識進階的同時，能體會到數式的統一性、一致性與完整性.

環節四：性質引航，邏輯推進

問題4 請大家認真觀察二次根式的性質2與性質3，你還能發現什么？

數學思考 （1）由（）2=a（a≥0）與=a（a≥0），你有什么發現？

（2）請認真觀察=（）2（a≥0），你又有什么發現？當a≥0時，==·，這顯然是特殊形態的表達，若把它一般化，即把其中的一個a改為b，可得到什么？

（3）猜想獲得的=·一定正確嗎？接下來還需要干什么？借助=·（a≥0，b≥0）可以解決什么問題？你能舉例說明嗎？根據等式的對稱性，由上面的等式又可以得到·=，這個等式又告訴了我們什么？

（4）類比二次根式的乘法運算法則，你能猜想出二次根式的除法運算法則是什么嗎？

（5）利用得到的二次根式乘除運算法則，編寫幾道題目小組內交流并互相完成解答.

（6）根據學習分式的經驗，我們認識了二次根式的乘除運算法則，接下來我們應該研究什么運算？

（7）要研究二次根式的加減運算，你想到了學過的哪類式子的加減運算？比如+能進行運算嗎？你能總結出二次根式加減運算的本質嗎？

設計意圖 問題4為學習二次根式的乘除法找到了“生長點”，遵照數學邏輯的同時，培養了學生的數學思維，再次彰顯出數式系統“終端起始”的價值. “數學思考”利用二次根式的性質讓學生猜想結論，得出積的算術平方根的性質，再利用等式的對稱性得出二次根式的乘法法則，接著利用平方運算與開平方運算的互逆性對其進行證明，完善了教材對該法則的探究歷程，體現了分式與二次根式學習的一致性，加強了對代數推理能力的培養. 二次根式除法法則由乘法法則類比猜想獲得，限于時間下一節課推證，二次根式的加減法由整式加減的實質遷移而來，這樣，整個運算結構系統就形成了.

環節五：回顧反思，總結提升

問題5 （1）我們是怎樣研究二次根式的？如何獲得二次根式的概念？

（2）我們研究二次根式的思路是什么？二次根式的性質與運算是如何獲得的？

（3）在本節課的學習過程中，你感受到了哪些數學思想方法？獲得了怎樣的學習經驗？你還有什么感悟和思考？

數學思考 通過本節課的學習，你對“數與式”有了哪些新認識？試猜想下一步我們會研究二次根式的什么內容.

設計意圖 問題5通過層級遞進的問題串引導學生“卻顧所來徑”，幫助其養成反思總結的習慣，增強其概括歸納能力. “數學思考”能提升學生對“數式通性”的認識，再次理解數式的一致性. 在引導學生回顧的同時，提煉出了學習的路徑與策略，形成了數式系統的結構圖（如圖3所示），實現了知其然—知其所以然—何由以知其所以然的轉變.

1. 聚焦“大概念”，整體發力，充分彰顯系統“終端起始”的價值

本節課幫助學生解決了五“W”問題：為什么學習二次根式？二次根式是什么？要學習二次根式的什么內容？怎樣學二次根式？二次根式要到“哪里去”？整節課不拘泥于細節，不在概念本體上深挖“洞”，不在性質中“兜圈子”，不貪心于“刷題”，而是將整章內容置于數與代數的“全景”之中統籌布局，是八方聯系，是整體感知. 課堂上教師注重內容結構化與思維系統化的形成，引導學生提煉學習策略，形成對數式一致性的認知；讓學生體會數式的發展脈絡，形成初中學段數與代數內容的“一覽表”，為后續包括高中學習數與代數的其他內容做好鋪墊.

2. 從猜想到邏輯，穩步推進，落實本單元的“大任務”

結合本章教學，“二次根式”一章的核心大任務是二次根式的運算. 而要完成該大任務，就需要厘清運算法則. 對于二次根式的乘除運算法則，教材由“特殊到一般”進行總結得出. 筆者認為，這樣不利于培養學生的推理能力，尤其是代數推理. 本節課教師利用二次根式的兩個性質，即=a（a≥0）與（）2=a（a≥0），獲得=（）2（a≥0）這一關系式，進而得到=·（a≥0），再由特殊形態（根號下的字母相同）一般化猜想出二次根式的乘法法則，接著利用乘方與開方的互逆運算進行推理論證，這樣不僅體現了《課標（2022年版）》提到的加強代數推理的要求，也再次呈現了整式、分式、二次根式的研究從定義到性質到運算到應用的一致性.

3. 從明線到暗線，問題貫通，體現數學課堂教學的本色

課堂上，教師用問題驅動下的追問，不斷引發學生思考. 明線是“用式子表達情境中的數量關系—對所得式子進行分類—總結共性，提煉二次根式的概念—分析概念得出二次根式的性質—根據性質探究二次根式乘法法則—類比乘法法則得出除法法則—二次根式加減的初步認知”. 整個過程給學生留足思考、探究的空間與時間，且都是通過“想到什么”“發現什么”的開放性問題來完成，教師針對學生的回答，一步步把課堂推向深入. 教學過程的兩條暗線分別是：有理數—整式，分數—分式，算術平方根—二次根式，實現由數到式的完整認知；二次根式單元的研究路徑，從定義出發研究性質，由性質到運算，最后指向應用.

參考文獻：

［1］邢成云. “整體統攝·快慢相諧”的整體化教學［J］. 中國教師，2021（10）：38-41.

［2］邢成云. 整體化教學：課堂直指學生思維發展［N］. 中國教育報，2019-12-11.

［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］武項義. 基礎代數學［M］. 北京：人民教育出版社，2004.

［5］邢成云. 章起始課是單元整體化教學的有力抓手［J］. 數學通訊，2022（21）：1-4+66.