深度學習視域下初中數學綜合與實踐教學策略研究

［摘 要］ 深度學習是促進學生學科核心素養發展的有效途徑. 文章以“平面圖形的鑲嵌”為例，重點闡釋了深度學習背景下的數學問題探究型綜合與實踐活動的教學策略，給出了具有可操作性的路徑參考.

［關鍵詞］ 深度學習；綜合與實踐；策略研究

根據布魯姆對認知水平的劃分，學習分為深度學習和淺層學習. 北京師范大學教授李春密認為，深度學習是在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程［1］. 學者朱立明等認為深度學習有三個基本特征：學科活動有體驗，學習理解有高度，結構拓展有層次［2］. 結合學科特點、深度學習的內涵及基本特征，筆者通過實踐，認為深度學習視域下的數學問題探究型綜合與實踐教學可以嘗試用如圖1所示的路徑開展.

創設問題情境，激發學習的興趣

創設密切聯系日常生活的問題情境可以激發學生的學習興趣，引發學生進行有意義的數學思考. 初中階段的數學知識在現實世界往往可以找到具體的問題情境，教師應借助生活中的恰當問題情境啟發學生在情境中感悟數學.

教學設計

多媒體呈現校園中多處地磚、墻磚的拼鋪圖片，大自然中蜂巢、龜板等圖片. 問：你能從這些生活現象中提出什么數學問題？

說明：以校園、大自然中的現實情境引出課題——“平面圖形的鑲嵌”，引導學生感受數學源于生活，培養學生提出問題的能力.

注重抽象提煉，培養數學的眼光

“會用數學的眼光觀察現實世界”是培養數學學科核心素養的重要目標. 初中階段，數學眼光主要表現為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識［3］. 能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構，理解自然現象背后的數學原理［3］等是“會用數學的眼光觀察現實世界”的具體表現.

教學設計

問題1：觀察圖2中的兩張圖片，它們分別由哪些基本圖形構成？同一種基本圖形的形狀、大小有什么關系？

問題2：兩張圖片都是平面圖形鑲嵌所形成的圖案，請嘗試給出平面圖形鑲嵌的定義.

活動：合作學習，用若干全等的三角形紙片和四邊形紙片分別嘗試拼成鑲嵌圖案.

問題3：一種多邊形能鑲嵌平面需具備哪些條件？

問題4：任意一種三角形或四邊形能否分別單獨鑲嵌平面？

說明：該部分首先組織學生觀察圖片，抽象平面圖形鑲嵌的定義；然后組織學生進行拼圖活動，在活動的基礎上討論鑲嵌的條件；最后引導學生運用鑲嵌的條件解釋任意一種三角形或四邊形都能單獨鑲嵌平面. 從現實世界中抽象研究對象，通過活動掌握并運用鑲嵌的條件，這樣，學生用數學的眼光觀察現實世界的意識和習慣得到培養.

扎實深度探索，發展數學的思維

培養數學學科核心素養，需要落實“會用數學的思維思考現實世界”的育人目標. 能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系［3］等是“會用數學的思維思考現實世界”的具體表現. 初中階段，數學思維主要表現為：運算能力、推理能力［3］. 利用拓寬研究思路、搭建學習支架、完善結構體系的教學路徑能夠很好地發展學生的數學思維.

1. 拓寬研究思路

一些心理學家認為發散思維是創造性思維的最主要特點. 在教學過程中，教師應倡導學生從不同的角度思考問題，以培育邏輯思維能力.

教學設計

問題：僅用一種正多邊形鑲嵌平面，會有哪些情形？

枚舉：6個正三角形，4個正方形，3個正六邊形.

思路1：對于正n邊形，其內角的度數隨著n的增大而增大，當n不少于7時，所需要的數量為2個或1個，顯然不可能.

思路2：設正多邊形的邊數是n，則每一個拼接點處的數量為360÷=2+. 因為邊數和數量均為正整數，所以n的值為3，4，6.

思路3：設正多邊形的邊數為n，每一個拼接點處的數量為m，則m=360，整理后得到（m-2）（n-2）=4. 因為m，n均是正整數，所以m-2=1，

n-2=4 或m-2=2，

n-2=2 或m-2=4，

n-2=1， 解得m=3，

n=6 或m=4，

n=4 或m=6，

n=3.

所以僅用一種正多邊形鑲嵌平面有如下三種情形：（6，6，6），（4，4，4，4），（3，3，3，3，3，3），數字代表正多邊形的邊數（下同）. 三種情形對應的鑲嵌圖案如圖3所示.

說明：該環節重點引導學生枚舉并多角度說明猜想的正確性. 思路1的“定性分析”是靈活的；思路2將問題轉化為“整數+真分式”的整數解問題，思路3將問題轉化為二元方程整數解問題，既拓寬了研究思路，也為后續的研究提供了方法支持.

2. 搭建學習支架

教學目標的達成需要關注學習支架的搭建. 何時搭建、如何搭建都可能影響目標的達成度. 為了實現更高的目標，在組織學習之前，教師依據教學內容、學情等預設學習支架至關重要.

教學設計

問題1：同時用兩種正多邊形鑲嵌平面，會有哪些情形？

支架1：根據正n邊形（3≤n≤12）每個內角的度數，思考哪兩個度數組合能得到360°.

枚舉：（3，3，6，6），（3，3，3，3，6），（3，3，3，4，4），（3，12，12），（4，8，8），（5，5，10）.

支架2：設每一個拼接點處正x邊形和正y邊形分別為m個和n個，能列出怎樣的等式？

m·+n·=360，即m·+n·=2.①

追問：該如何求解？

支架3：正整數m，n，x，y的范圍分別是什么？（1≤m<6，1≤n<6，x≥3，y≥3）

支架4：m+n的范圍是什么？

由①得m+n=2+2

+

>2，進一步分析得3≤m+n<6且為整數.

支架5：不妨設m≥n，m和n的取值有哪些情況？

m=2，

n=1或m=3，

n=1或m=2，

n=2或m=4，

n=1或m=3，

n=2.

活動：請類比上一環節的思路2，完成后續的推理.

當m=2，

n=1 時，y=2+，得x=5，

y=10或x=8，

y=4 或x=12，

y=3. 當m=3，

n=1 時，y=1+，無解. 當m=2，

n=2 時，y=2+，得x=3，

y=6或x=6，

y=3.當m=4，

n=1 時，y=，由x=3，

y=6或x=4，

y=2 或x=5，

y= ...得x=3，

y=6.當m=3，

n=2 時，y=，同理得x=3，

y=4.

問題2：六種情形對應的“鑲嵌”圖案見圖4. 觀察圖4，你有什么啟發？

共頂點內角的和為360°不一定能鑲嵌平面，需要所有點的周圍內角的和都達到360°.

所以用兩種正多邊形鑲嵌平面有如下五種情形：（4，8，8），（3，12，12），（3，3，6，6），（3，3，3，3，6），（3，3，3，4，4）.

說明：引導學生根據正n邊形（3≤n≤12）每個內角的度數組合得到360°，學生的“數感”得到訓練. 可以預判，學生面對四個未知數的等式極有可能無從下手，所以教師要提前預設多個學習支架，輔以幾何直觀，讓學生順利突破難點.

3. 完善結構體系

數學知識具有系統性、結構性，是相互聯系的有機整體. 若把某一數學知識體系看作一臺“機器”，與其相關的各個知識點就是一個個“零件”. 在教學過程中，教師應循序漸進，組織學生有序學習，關注知識的整體性，不斷完善結構體系.

教學設計

問題1：我們對用一種和兩種正多邊形鑲嵌平面做了研究. 接下來該研究什么？從哪個角度切入？

用三種正多邊形鑲嵌平面，從拼接點處正多邊形的數量切入.

追問1：每一個拼接點處正三角形和正方形分別至多有幾個？當個數分別取最大值時，有哪些情形？

2個；（3，3，4，12），（3，4，4，6）.

追問2：當正多邊形的邊數至少為5條時，在每一個拼接點處至多出現幾次？

1次，216°+60°+90°>360°.

追問3：若拼接點處每一種正多邊形只出現1次，有哪些情形？

支架1：設正多邊形的邊數分別為n，n，n（n<n<n），能列出怎樣的等式？

++=360，即++=.

支架2：當變量太多時，我們可以采用什么方法解決？（控制變量法）

①當n=3時，n=6+，得

n=7，

n=42 或

n=8，

n=24 或

n=9，

n=18 或

n=10，

n=15.②當n=4時，n=knEmoSpSzvCFkOWRap3/KogjRJs1MoXDo+zh1pbpJCo=4+，得

n=5，

n=20 或

n=6，

n=12. ③當n=5，n=6，n=7時，108°+120°+

°≠360°. ④當n=5，n=6，n=8時，108°+120°+135°>360°.

綜上，共有八種情形，對應的“鑲嵌”圖案如圖5所示. 從圖5③至5⑦可以看出，（3，7，42），（3，8，24），（3，9，18），（3，10，15），（4，5，20）不能鑲嵌平面.

所以用三種正多邊形鑲嵌平面有如下三種情形：（3，3，4，12），（3，4，4，6），（4，6，12）.

問題2：同時用至少四種正多邊形能鑲嵌平面嗎？

60°+90°+108°+120°>360°，不能.

說明：該部分首先引導學生確定研究的對象和切入口，然后通過分析得到（3，3，4，12），（3，4，4，6）兩種情形，將問題歸結為研究拼接點處每一種正多邊形只出現1次的情形. 隨后，借助學習支架和幾何直觀得到使用三種正多邊形鑲嵌平面的全部情形. 最后，推理得到至少四種正多邊形不能鑲嵌平面的結論. 從對一種正多邊形到兩種正多邊形，再到三種及以上正多邊形鑲嵌平面的研究，達成了對正多邊形鑲嵌平面知識的深度學習.

引領整合歸納，滲透數學的語言

整合歸納是促進良好知識結構形成的有效方式. 初中階段，數學語言主要表現為：數據觀念、模型觀念和應用意識［3］. 在對知識技能、思想方法、學習路徑等整合歸納時注重模型觀念和應用意識的滲透，能夠更好地達成“會用數學的語言表達現實世界”的課程目標.

教學設計

請從知識技能、思想方法、學習路徑等角度談一談你的收獲.

說明：引導學生從知識技能、思想方法、學習路徑等角度整合歸納，運用思維導圖（圖6、圖7）呈現，加深對知識技能的整體認知，對思想方法的理解感悟，為今后的研究提供路徑參考. 在整合歸納時注重模型觀念和應用意識的滲透，學科核心素養得到進一步培育.

深化遷移應用，落實深度學習

“遷移與應用”是知識向經驗轉化的必要途徑，是落實深度學習的重要環節. 它強調對學習結果的外化，一方面可以深化對所學知識的理解，另一方面可以錘煉學生面對新的問題情境時分析問題和解決問題的能力.

作業設計

1. 從用兩種或三種正多邊形鑲嵌平面的情形中至少選擇一種，借助幾何畫板或紙片設計一個美麗的鑲嵌圖案.

2. 如圖8，在正方形內部剪去一個不規則圖形并平移形成新的圖形. 以新圖形為基本圖形能否鑲嵌平面？畫圖說明.

3. 平面圖形的鑲嵌可以使用的基本圖形非常豐富. 如荷蘭藝術家埃舍爾的經典作品《騎士平面鑲嵌》（圖9）. 鑲嵌不僅限于平面圖形，如足球表面是由12塊正五邊形和20塊正六邊形鑲嵌構成的. 請課后通過互聯網或圖書查閱鑲嵌的更多知識，并分享給你的同伴.

說明：作業1是所學知識的具體實踐，鍛煉學生的動手操作能力. 作業2是從規則圖形的平面鑲嵌到不規則圖形的平面鑲嵌的遷移. 作業3是開放題，借助互聯網、圖書等途徑可以實現對鑲嵌更加深層次的學習. 作業設計的循序漸進，符合深度學習對結構層次拓展的要求.

在綜合與實踐教學過程中融入深度學習的理論，必將會對新一輪課程標準在實踐層面的推進產生積極影響. 教師在組織深度學習視域下綜合與實踐教學的過程中應緊扣“深”字：思維應“深”入，過程應“深”刻，結果應“深”化. 教師只有關注教學活動的體驗、學習理解的高度、結構拓展的層次，才能切實培養學生的學科核心素養.

參考文獻：

［1］李春密. 深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中物理）［M］. 北京：教育科學出版社，2020.

［2］朱立明，馮用軍，馬云鵬. 論深度學習的教學邏輯［J］. 教育科學，2019，35（3）：14-20.

［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.