以生為本 引領探究 促進發展

［摘 要］ 新課改背景下的初中數學課堂教學中要重視體現學生的主體性，著力優化學生知識結構，發展學生綜合學力. 在“實數”一課教學中，教師以發展學生為目標，引導學生親歷概念的引入、概括、辨析、應用等過程，著力發揮學生主體價值，促進學生綜合能力和綜合素養的發展與提升.

［關鍵詞］ 發展學生；綜合能力；綜合素養

新課改背景下的數學概念教學要改變“灌輸式”的教學模式，貫徹“以生為本”的教學理念，充分展示概念的來龍去脈，以此促進學生對概念的理解與深化和學生學習能力的發展與提升. 在傳統概念教學中，教師往往直接呈現概念讓學生理解和記憶，這樣不僅難以讓學生全面深刻地理解概念，而且影響學生學習積極性，限制學生發展. 因此，在概念教學中，教師有必要更新教學策略，引導學生經歷概念形成過程，并提供機會引導學生多角度探究概念，以此促成深度的理解，有效激發學生潛能，將“一切為了孩子的發展”的教學目標落到實處.

“實數”一課是公認的比較難上的一節課，之所以難是因為無理數的概念學生很難體會，也很難將其與有理數建立聯系. 基于此，筆者認為教學中可以借助直觀幫助學生獲得豐富的感知，以此促進概念的理解和掌握. 另外，教學中應重視引導學生類比，以此將有理數與無理數建立聯系，幫助學生領悟概念的本質屬性，促進概念的內化. 下面呈現具體過程，供參考！

教學設計

1. 創設沖突，引入概念

周知，概念不是憑空臆造的，而是在現實生活中逐漸抽象概括而來的. 概念教學中，若教師將概念拋給學生，這樣無形中增加了數學的枯燥感，影響了學習興趣和學習信心的培養. 為了改變這一局面，教師可以從學生最近發展區出發，創設符合學生認知水平的具體事例，讓學生在問題的解決中理解引入新概念的重要性和必要性，以此點燃學生探索新知的熱情.

正方形的面積公式及平方根的概念都是學生熟悉的內容，教師通過創設實際問題將兩者建立聯系，繼而從解決問題的需要引入概念. 問題如下：

問題1 若正方形的面積分別為16，，2，你能求出對應的邊長嗎？

師生活動：問題給出后，學生輕松地給出面積為16的正方形邊長為4，面積為的正方形的邊長為. 不過，學生在求面積為2的正方形的邊長時卻犯了難，在教師的啟發下，學生得到該正方形的邊長為.

設計意圖 從小學階段的正方形的面積公式出發，讓學生獲得熟悉感和親切感，淡化數學知識的抽象感，為探究活動的順利開展做鋪墊. 通過問題的解決，學生發現有些正方形的邊長并不能用整數或整數之比來表示，由此引發認知沖突，繼而激發學生的好奇心和探究欲.

問題2 邊長為1的正方形的對角線是多少？

學生活動：學生通過探究發現，該正方形的對角線也不能用整數或整數之比來表示.

設計意圖 通過問題的解決讓學生體會有些數是無法用整數或整數之比來表示的，繼而為新數的引出做鋪墊.

2. 動手操作，感悟本質

活動1：現有一個面積是4的正方形ABCD，如果用它折出一個面積是1的正方形你會嗎？如果用它折出一個面積是2的正方形又該怎么折呢？正方形的邊長是多少？

師生活動：學生通過折疊2次可以得到面積為1的正方形. 學生在折疊面積為2的正方形時遇到了障礙，教師利用幾何畫板展示折疊過程，然后讓學生動手操作，由此得到了如圖1所示的面積為2的正方形.

活動2：若將兩個邊長為1的正方形拼成一個大的正方形，可以怎么拼？大正方形的邊長是多少？（允許裁剪）

師生活動：學生將兩個邊長為1的正方形沿對角戲剪開，從而拼成了如圖2所示的正方形.

設計意圖 活動1中，學生在折疊中遇到障礙，教師用幾何畫板展示過程，然后再讓學生動手操作，讓學生直觀感知是真實存在的. 活動2中，教師啟發學生通過“剪拼”得到面積為2的正方形. 學生將面積為1的正方形沿對角線剪開，得到4個面積相等的等腰直角三角形，最終拼成面積為2的正方形，由此通過動手操作讓學生真實地感知，這樣勢必會引發這樣的思考：到底是個怎樣的數，由此為后面探究活動的開展埋下伏筆.

3. 深入探究，引出概念

問題3 通過動手實踐可以感知是真實存在的，那么到底多大呢？

師生活動：教師先讓學生獨立推導，學生分別計算1.1，1.2，1.3， 1.4，1.5的平方，感知是在1.4和1.5之間的數. 為了讓學生更加直觀地感知的大小，教師用Excel表格中的求平方功能繼續計算，1.412=1.9881，1.422=2.0164，從而發現是1.41和1.42之間的數. 在此基礎上，教師繼續用Excel表格中的計算功能計算小數點后三位時，是什么范圍的數，由此可得是1.414和1.415之間的數，這樣可以繼續無限制地計算下去.

設計意圖 在此過程中，教師充分發揮現代信息技術的優勢，用無限逼近思想引導學生提煉無理數的本質屬性，即無限、不循環. 這樣通過以上實踐活動，為概念的抽象積累豐富的感性素材，此時引出無理數和實數的概念自然也就水到渠成了.

問題4 我們知道在數軸上可以表示有理數，那么無理數呢？它能否在數軸上表示呢？

師生活動：教師啟發學生從最熟悉的π和入手，讓學生思考能否在數軸上準確地表示出來. 在教師的啟發和指導下，學生以正方形和圓為背景，借助“形”尋找“數”. 學生以坐標軸為中心，先畫一個邊長為2的正方形ABCD（如圖3），然后連接各邊中點，得到邊長為的正方形EFGH，再轉換到圖4，這樣以數軸原點為圓心，以邊長為1的正方形的對角線為半徑畫圓，從而得到了. 在研究π的過程中，學生將其與半徑為1的半圓周長建立聯系，一致認為可以在數軸上表示π. 為了讓學生更加直觀地感知π在數軸上的位置，教師利用幾何畫板進行演示，得到圖5.

設計意圖 教師引導學生與有理數相類比，讓學生真實地感知這些數是真實存在，并可以在數軸上表示出來，體會實數和數軸上的點有一一對應的關系.

4. 概念辨析，促進深化

問題5 判斷下列說法是否正確？如果不正確請給出理由.

（1）無理數都是無限小數；

（2）所有無限小數都是無理數；

（3）帶根號的數都是無理數.

師生活動：教師讓學生以小組為單位進行思考辨析，學生列舉了許多實例進行說明，課堂氣氛活躍.

設計意圖 辨析是深化概念理解的重要途徑之一，其可以很好地檢測學生對概念的理解深度. 該環節教師鼓勵學生合作、爭辯，以此通過思考辨析讓學生正確、全面、深刻地理解無理數的概念.

問題6 在研究時，運用無限逼近思想來解釋是無理數，如果運用已有經驗進行推理驗證，是否可以更好地解釋是無理數呢？

師生活動：在教師的啟發和指導下，學生利用反證法證明了結論，證明過程如下：假設是有理數，必有=（p，q為互質的正整數）. 兩邊平方得2=，所以p2=2q2，由此可知p為偶數，設p=2k（k為正整數），則4k2=2q2，即q2=2k2，由此可知q也為偶數，顯然其與p，q互質相矛盾. 因此假設不成立，所以為無理數. 學生得到該推理證明后，教師順勢讓學生思考：無理數能否用分數表示？以此通過推理辨析進一步深化無理數概念的理解.

設計意圖 教學中，教師引導學生運用特殊化一般的思想方法進一步說明是無理數，以此加強學生對無理數概念的理解，培養學生邏輯推理能力. 另外，教學中，教師結合教學內容進行適時追問，以此讓學生明晰無理數不能用分數表示.

5. 鞏固應用，提升能力

例1 下列各數中，______是有理數，______是無理數. （請將序號填寫在橫線上）

①π，②，③，④0，⑤，⑥0，⑦-，⑧-4π.

例2 請將以下實數在如圖6所示的數軸上表示出來，并比較它們的大小. （用“<”連接）

-，，-，π，1.5

<D：＼數學教學通訊中旬＼2024數學教學通訊中旬（11期）＼2024數學教學通訊中旬（11期） c＼8-72.tif>[圖6][-1][0][1][2][3][4][-2][-3]

設計意圖 例1旨在進一步強化學生對有理數和無理數概念的理解，同時通過分類明確一個數不是無理數就是有理數. 設計例2旨在引導學生將其與有理數的定義、性質、分類、表達等內容相類比，讓學生知道無理數不僅可以在數軸上表示，而且無理數也有相反數、絕對值，由此通過知識遷移讓學生明晰，相反數、絕對值的概念同樣適用于無理數. 教學時，教師先讓學生在數軸上表示各數，一是讓學生理解實數與數軸上的點一一對應；二是讓學生學會用近似值表示無理數.

6. 歸納概括，建構體系

教學中，教師以學生認知規律為起點，引導學生經歷概念的引入、抽象、辨析、應用等過程，促進了概念的理解與深化. 在此基礎上，教師可以引導學生與有理數、實數概念建立聯系，以此形成實數知識的學習框架圖（如圖7）.

設計意圖 教學中，教師要提供時間讓學生進行歸納總結，讓學生用最精練的數學語言將課堂教學中的重點內容以框架圖的方式呈現出來，在學生的腦海中形成清晰的知識脈絡，構建完善的知識體系. 在此環節，教師指導學生將實數、有理數、無理數等相關概念建立聯系，凸顯教學重難點，有利于培養學生整體意識，發展學生數學素養.

教學思考

1. 強調類比遷移，引導學生主動建構體系

數學教學不單是教授知識，更重要的是培養學生的能力. 類比遷移法是一種重要的教學方法，其有利于學生自主探究能力的培養和學生知識體系的建構. 類比思想是一種重要的數學思想方法，通過類比遷移，不僅可以實現舊知的鞏固，而且可以促進新知的理解，有利于學生學習和創新能力的發展與提升. 在新時代背景下，教師有必要引導學生將一些相關或相似的知識相類比，以此提升教學質量和學習品質，發展學生自主學習能力.

數學是一門邏輯性較強的學科，新知識的學習一般建立在原有認知基礎之上. 在實際教學中，教師要認真研究教材、認真研究學生，探明新知與舊知的聯結點，引導學生通過經歷類比、抽象、歸納等活動理解新知識，掌握新方法，提高學生創造力. 在教學無理數定義、分類、性質、表達時，教師有意識地引導學生與有理數相關知識的學習方法相類比，以此為無理數的學習提供方法和途徑，有效地吸引了學生的注意力，讓無理數相關知識的學習變得更加輕松、順暢，促進學生知識體系的建構與完善.

2. 由直觀到抽象，促進概念的理解與深化

數學概念具有高度的抽象性. 為了讓學生能夠更好地理解抽象的概念，教師應從學生已有經驗出發，通過創設有效的活動幫助學生積累豐富的感性素材，引導學生經歷由直觀到抽象的過程，以此讓學生更好地理解概念、應用概念.

在本課教學中，為了突破無理數這一難點，教師以為研究對象，通過“折”、“剪”、“拼”等方式讓學生感知的存在性. 然后讓學生思考在數軸上如何表示，以此將“數”與“形”建立聯系，使抽象的“數”變得更加具體化、直觀化. 最后教師又讓學生在數軸上表示數，讓學生學會用近似值來表示無理數. 這樣通過一系列動手實踐活動，使抽象的概念變得更加形象、具體，有利于加深學生對無理數概念的理解，有利于課堂教學有效性的提升.

3. 強調生本價值，提升學生自主學習能力

新課程重點強調學生的主體地位，重視學生自主學習能力的發展. 在概念教學中，教師要提供機會讓學生參與概念形成、發展、應用等過程，體會數學知識是不斷發展變化的，以此讓學生學會用發展的眼光看數學，培養學生創新意識.

在本課教學中，教師首先從學生已有經驗出發，通過創設認知沖突讓學生感知已有知識已經很難解決現有問題，由此感知擴充數的重要性和必要性. 接下來教師又以學生最近發展區為出發點，引導學生親歷感知、探索的大小、數軸表示等過程，讓學生學會用數學方法研究新知識、探索新問題. 在此過程中，教師堅持以學生為主體，以發現學生素養為導向，提供機會讓學生主動發現，主動建構，以此增強學生數學學習信心，發展學生數學綜合能力和綜合素養.

總之，在數學教學中，教師作為課堂教學的組織者和引導者，要認真研究教學內容，找準新舊知識的聯結點，引導學生主動類比、主動探究、主動建構，以此逐漸完善學生個體知識結構，發展學生數學核心素養.