“三個(gè)理解”視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考

［摘 要］ “三個(gè)理解”是由章建躍博士所提出，該理念對(duì)當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)意義.研究者以“二次函數(shù)”的概念為例，基于“三個(gè)理解”的維度分別從“練習(xí)訓(xùn)練，初步建模”“溫故知新，抽象概念”“整體視域，類比探究”“對(duì)比思考，深刻理解”“鞏固訓(xùn)練，實(shí)際應(yīng)用”“總結(jié)提煉，反思升華”等環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐與思考.

［關(guān)鍵詞］ 三個(gè)理解；理解學(xué)生；理解教學(xué)；理解數(shù)學(xué)

章建躍博士認(rèn)為：一節(jié)好的數(shù)學(xué)課需要建立在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上，從而設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng). 其中，理解數(shù)學(xué)是教學(xué)的方向，理解學(xué)生可為課堂教學(xué)提供強(qiáng)有力的保障，理解教學(xué)又能讓課堂充滿生命力. 最值得關(guān)注的是理解數(shù)學(xué)為教學(xué)的基本前提，教師基于理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，著眼于學(xué)生關(guān)鍵能力與個(gè)體品質(zhì)的培養(yǎng)，可進(jìn)一步發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，為拔高數(shù)學(xué)思維，發(fā)展理性精神，提升核心素養(yǎng)夯牢根基. 本研究以“二次函數(shù)”的第一課時(shí)教學(xué)為例，分別從如下幾方面展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐與思考.

教學(xué)分析

學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)掌握了一次函數(shù)與反比例函數(shù)等基本函數(shù)知識(shí)，二次函數(shù)與這兩種函數(shù)有著高度相似性，即都以定義的形式表達(dá)，且和一元二次方程雷同. 從知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)上來(lái)看，二次函數(shù)的邏輯結(jié)構(gòu)和一次函數(shù)相似. 觀察知識(shí)的形成過(guò)程，可見(jiàn)這些函數(shù)都蘊(yùn)含了特殊到一般、類比、數(shù)形結(jié)合、一般到特殊等常用的數(shù)學(xué)思想，這些思想方法是學(xué)生發(fā)展邏輯推理、抽象、直觀想象、運(yùn)算等素養(yǎng)的基礎(chǔ)［1］. 基于學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平與知識(shí)特點(diǎn)來(lái)看，本節(jié)課具有較強(qiáng)的教育價(jià)值與意義.

教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

1. 練習(xí)訓(xùn)練，初步建模

課堂伊始，教師用多媒體展示如下幾個(gè)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題并解決問(wèn)題.

（1）李師傅準(zhǔn)備用一根長(zhǎng)16米的繩子圍一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為x米，y米，那么x，y之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的表達(dá)式.

（2）用長(zhǎng)寬分別為x米，y米的繩子圍成一個(gè)面積為16平方米的長(zhǎng)方形，那么x，y之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的表達(dá)式.

（3）已知a為正方體的棱長(zhǎng)，S為表面積，則S與a之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的表達(dá)式.

（4）圓的半徑r分別與該圓的周長(zhǎng)C與面積S之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的表達(dá)式.

（5）趙阿姨準(zhǔn)備用總長(zhǎng)度為16米的籬笆，圍一個(gè)長(zhǎng)為x米，面積為y平方米的長(zhǎng)方形小型家禽飼養(yǎng)場(chǎng)，那么x，y之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的表達(dá)式.

（6）某種矩形的鏡面的長(zhǎng)寬之比為2 ∶ 1，四周需要鑲邊框，假設(shè)鏡面的寬度是x米，鏡面的單價(jià)為每平方米120元，邊框的單價(jià)為每米30元，加工費(fèi)為每個(gè)成品45元. 那么一面鏡子的總金額y（元）和鏡面的寬x（米）之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖 以上6個(gè)問(wèn)題均與學(xué)生的實(shí)際生活相貼合，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察可逐步抽象出函數(shù)模型，并在各個(gè)實(shí)例的引導(dǎo)下逐步形成良好的數(shù)學(xué)邏輯推理、抽象與建模能力. 從某種意義上而言，這些豐富的生活實(shí)例也是學(xué)生自主概括與抽象二次函數(shù)概念的素材，為學(xué)生更好地理解教學(xué)提供基礎(chǔ).

2. 溫故知新，抽象概念

依然借助多媒體展示一組式子，要求學(xué)生通過(guò)對(duì)式子的觀察，從中挑選出自己所熟悉的函數(shù)，并說(shuō)說(shuō)函數(shù)類別與相對(duì)應(yīng)的概念.

①y=4-x；②y=；③C=2πr；④S=5x2；⑤S=πr2；⑥y=360x2+240x+48；⑦y=-x2+7x.

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)類別的判定及定義的回顧，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)它們的概念均由其書(shū)寫(xiě)形式所確定，這一理解為接下來(lái)探索二次函數(shù)的概念奠定了方法基礎(chǔ).

師：觀察式子④⑤⑥⑦，說(shuō)說(shuō)它們之間具備怎樣的共同點(diǎn).

生1：這幾個(gè)式子中都出現(xiàn)了平方.

師：根據(jù)你們的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，該如何給這一類函數(shù)命名？說(shuō)明理由.

生2：應(yīng)該要出現(xiàn)“二次”這一詞語(yǔ)，考慮到都是函數(shù)，所以命名為“二次函數(shù)”.

師：從一次函數(shù)與反比例函數(shù)的定義出發(fā)，可否通過(guò)類比法為二次函數(shù)下個(gè)定義？

生3：一般情況下，二次函數(shù)為類似于y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）形式的函數(shù)，其中x為自變量，y屬于x的函數(shù).

師：表達(dá)的意思完全正確，你是怎么想到a≠0這一條件的？

生4：受一次函數(shù)與反比例函數(shù)概念的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)它們都是根據(jù)書(shū)寫(xiě)形式下的定義，由此聯(lián)想到二次函數(shù)的概念，也需關(guān)注a≠0的條件. 若a=0，那么函數(shù)表達(dá)式就是y=bx+c，缺乏“二次”這一項(xiàng)，自然不屬于二次函數(shù)的范疇.

教師肯定了學(xué)生的理解，并借助PPT展示完整的二次函數(shù)概念，要求學(xué)生注意關(guān)鍵性詞語(yǔ)與規(guī)范的表達(dá)方法.

設(shè)計(jì)意圖 建構(gòu)主義理論告訴我們，新知的建構(gòu)往往建立在舊知的基礎(chǔ)上. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)就是二次函數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ). 因此，在學(xué)生自主抽象概念時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，借助類比法獲得二次函數(shù)的定義. 如此設(shè)計(jì)，一方面能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)與理解，另一方面又能促使學(xué)生深刻理解概念間的聯(lián)系，獲得從整體視域觀察數(shù)學(xué)知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)架構(gòu)，為發(fā)展類比思想、邏輯推理能力做鋪墊.

3. 整體視域，類比探究

師：雖然二次函數(shù)的概念與大家認(rèn)知中的一次函數(shù)的概念有所區(qū)別，但這兩種都隸屬于函數(shù)家族，因此在研究方法上也存在很多共同點(diǎn). 現(xiàn)在，請(qǐng)大家類比一次函數(shù)的探索路徑，確定二次函數(shù)的研究方向.

如圖1，在教師的啟迪下，學(xué)生自主回顧一次函數(shù)的探索內(nèi)容與方法，并自主將這些方法類比到二次函數(shù)的研究中來(lái)，初步確定二次函數(shù)的研究過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比分析，基于整體視域下構(gòu)建探索框架，不僅滲透了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，還有效開(kāi)啟了學(xué)生的智慧，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主應(yīng)用已有經(jīng)驗(yàn)探索新的知識(shí)，獲得知識(shí)與方法的遷移. 此為提升學(xué)力的過(guò)程，對(duì)學(xué)生個(gè)體的發(fā)展具有重要意義.

4. 對(duì)比思考，深刻理解

師：通過(guò)以上分析，我們不僅概括出二次函數(shù)的概念，還明確了探索二次函數(shù)的方向. 接下來(lái)，請(qǐng)大家回歸到二次函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0），思考如下幾個(gè)問(wèn)題：①以上式子④⑤⑥⑦中的a，b，c分別是什么？②分析下列函數(shù)有哪些是關(guān)于y和x的二次函數(shù)（PPT展示，略）？說(shuō)明理由.

隨著師生積極的互動(dòng)，對(duì)于二次函數(shù)的判定提煉出如下幾個(gè)要點(diǎn)：①必須是符合一般表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c的整式；②x作為自變量，最高次數(shù)必須為2；③確定a≠0，若a為0，則缺少ax2這一項(xiàng)，與概念不符.

問(wèn)題1：二次函數(shù)一般形式中的自變量x的取值范圍有沒(méi)有限制？

問(wèn)題2：棱長(zhǎng)為a的正方體表面積S=6a2，a的取值范圍有沒(méi)有特定要求？

通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中的自變量x受問(wèn)題本身?xiàng)l件的影響，為了訓(xùn)練學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，教師繼續(xù)提出如下問(wèn)題，要求學(xué)生分別說(shuō)說(shuō)在下列情況下各個(gè)自變量的取值范圍是什么.

（1）圓的面積公式S=πr2，其中自變量r的取值范圍是什么？

（2）用一根長(zhǎng)16米的繩子圍一個(gè)長(zhǎng)方形，面積y與長(zhǎng)x之間的關(guān)系為y=-x2+8x，其自變量x的取值范圍是什么？

（3）某種矩形的鏡面的長(zhǎng)寬之比為2 ∶ 1，四周需要鑲邊框，假設(shè)鏡面的寬度是x米，鏡面的單價(jià)為每平方米120元，邊框的單價(jià)為每米30元，加工費(fèi)為每個(gè)成品45元. 那么一面鏡子的總金額y（元）和鏡面的寬x（米）之間的關(guān)系為y=240x2+180x+45，其中自變量x的取值范圍是什么？

設(shè)計(jì)意圖 從函數(shù)的定義來(lái)看，它體現(xiàn)的是現(xiàn)實(shí)世界一些變化規(guī)律的模型. 實(shí)例的應(yīng)用讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)思想，并感知在不同背景下，函數(shù)自變量的取值范圍有著顯著差別，這一發(fā)現(xiàn)可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用意識(shí)，并讓學(xué)生切身感知解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需符合生活實(shí)際意義.

5. 鞏固訓(xùn)練，實(shí)際應(yīng)用

練習(xí)1：若明確y=（m-3）xlvvo79d4sRg9DtYeeu2HBit0KyL+7UZHtr8cp7EOTNE=m 2-7+4x為一個(gè)二次函數(shù)，那么m的取值范圍是什么？

練習(xí)2：用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)下列實(shí)際情況，并分別說(shuō)明各個(gè)函數(shù)所屬類型以及自變量的取值范圍.

①在一張長(zhǎng)、寬分別為30厘米、20厘米的卡紙上剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為x厘米的正方形，那么卡紙剩余部分面積S與邊長(zhǎng)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

②某廠3月份用煤200噸，若4，5月份的月平均增長(zhǎng)率為x，那么5月份用煤量y與增長(zhǎng)率x之間可用怎樣的函數(shù)表達(dá)式描述？

設(shè)計(jì)意圖 這兩道經(jīng)典問(wèn)題意在訓(xùn)練學(xué)生的解題習(xí)慣，讓學(xué)生在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不僅考慮回歸到概念本身去分析問(wèn)題，還能從實(shí)際出發(fā)，全面剖析問(wèn)題.

6. 總結(jié)提煉，反思升華

引導(dǎo)學(xué)生從本節(jié)課的知識(shí)、思想方法、研究注意事項(xiàng)等方面展開(kāi)總結(jié)，提出存在的疑惑，并展望后續(xù)將要繼續(xù)探索什么內(nèi)容. 基于總結(jié)的基礎(chǔ)上，用思維導(dǎo)圖的方式體現(xiàn)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).

設(shè)計(jì)意圖 全方位地回顧整個(gè)教學(xué)過(guò)程，可幫助學(xué)生從整體視域掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)，為提煉思想方法，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)服務(wù). 正如章建躍博士所言：數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本大法.

思考與感悟

1. 理解數(shù)學(xué)是教學(xué)的基礎(chǔ)

隨著新課改的深入推進(jìn)，廣大教育工作者越來(lái)越清楚認(rèn)識(shí)到，若想促進(jìn)學(xué)生的長(zhǎng)期可持續(xù)發(fā)展，就要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值，發(fā)揮知識(shí)的內(nèi)在力量，為提升學(xué)力夯實(shí)基礎(chǔ). 縱觀當(dāng)前的教育現(xiàn)狀，有一種默認(rèn)的潛在假設(shè)，即教師已經(jīng)完全掌握了教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，在理解數(shù)學(xué)方面是無(wú)懈可擊的. 殊不知，有很多教學(xué)質(zhì)量低下的根本原因就在于教師對(duì)知識(shí)特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系等認(rèn)識(shí)不到位，導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程中難以準(zhǔn)確把握教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，無(wú)法設(shè)置具有啟發(fā)性的問(wèn)題，由此大大降低了教學(xué)實(shí)效.

基于以上分析，教師作為課堂的執(zhí)教者，首先應(yīng)豐富自己的認(rèn)知，在授課前就要追本溯源，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的形成與發(fā)展過(guò)程產(chǎn)生明確的認(rèn)識(shí). 教師一旦擁有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，那么在教學(xué)時(shí)則能“信手拈來(lái)”，讓學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)的精髓. 由此可見(jiàn)，理解數(shù)學(xué)是教學(xué)的基礎(chǔ). 本節(jié)課教學(xué)之前，研究者就針對(duì)章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)與二次函數(shù)概念特征等進(jìn)行了深入剖析，為課堂教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 理解學(xué)生是教學(xué)的關(guān)鍵

學(xué)生是課堂真正意義上的主人，若想讓教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果，就要對(duì)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平、思維層次等產(chǎn)生明確的認(rèn)識(shí). 以“二次函數(shù)”的知識(shí)為著力點(diǎn)，該怎樣讓學(xué)生自主領(lǐng)略“二次”這一特征，并自主抽象出相應(yīng)的概念呢？此為教師需重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容. 本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了一次函數(shù)與反比例函數(shù)，若想進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知，最好的辦法就是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比遷移的方法，自主探索并建構(gòu)新知，對(duì)不同函數(shù)間的聯(lián)系產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí).

為了達(dá)成以上目標(biāo)，研究者在課堂伊始就展示了一些不同的式子，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)式子④⑤⑥⑦的共性分析，獲得“二次”這一核心要素，再結(jié)合式子特征，初步形成“二次函數(shù)”的概念. 究竟該如何描述這個(gè)概念呢？為了提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，教師并沒(méi)有直接呈現(xiàn)結(jié)論，而是鼓勵(lì)學(xué)生自主類比一次函數(shù)與反比例函數(shù)的概念，給二次函數(shù)下定義. 這種基于理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，充分尊重學(xué)生的教學(xué)行為，讓課堂充滿智慧.

3. 理解教學(xué)是教學(xué)的核心

針對(duì)不同的群體，不同的知識(shí)，采取的教學(xué)方法也有一定的差別. 不論哪種教學(xué)方式的應(yīng)用，都應(yīng)以學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知作為起點(diǎn). 教師需重點(diǎn)關(guān)注的是怎樣引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去描述一些現(xiàn)象，也可設(shè)計(jì)一些具有啟迪性的情境或問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探索欲，促使學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，為建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課就應(yīng)用了大量的生活實(shí)際問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的思考，學(xué)生在潛移默化中形成了“三會(huì)”與“四能”. 此為基于理解教學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的教學(xué)方案，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)源自生活，具有為生活服務(wù)的作用.

參考文獻(xiàn)：

［1］魏國(guó)兵. 學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)引，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)——以“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施為例［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2018（12）：13-17.