立足課堂編題 優化復習教學

［摘 要］ 帶領學生在復習課中自主編題，可進一步激活學生的思維，發展學生的應用意識與創新意識，培養學生的數學核心素養.文章以“全等三角形”的復習教學為例，立足于課堂編題活動的開展，分別從“展示教具揭露主題、編題探索判定方法、總結提煉發展能力”三個維度展開研究.通過學生自主編擬、分析與解決問題來優化數學復習教學，發展思維，培育數學核心素養.

［關鍵詞］ 復習；編題；教學

復習教學是對已學知識或方法的梳理與鞏固，對提升解題能力與數學思維具有重要意義.然而，當前的復習教學，部分教師只關注“教”的過程，對于學生“學”的過程關注度還不夠，由此導致學生無法真正厘清知識之間的聯系，難以構建完整的知識結構.探索發現，引導學生在復習課中自主編題，可進一步激活學生的思維，發展學生的應用意識與創新意識，培養學生的數學核心素養.

教學分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中關于“全等三角形”的內容，提出的教學要求為：理解全等三角形中的對應邊與對應角；掌握什么情況下兩個三角形全等；會用定理證明三角形全等［1］.該階段學生的幾何素養不高，雖然學生已經在新授課中掌握了什么是全等三角形，能根據圖形判斷出全等關系，但對判定方法的掌握程度依然還不夠.為此，復習教學時教師除了幫助學生鞏固基本概念與基本性質，還要加強學生對判定方法的理解，讓學生經歷自主畫圖探索的過程，有效提升幾何能力，為發展學生的數學核心素養夯實基礎.

教學過程設計

1. 展示教具揭露主題

教師展示常用的教具——等腰直角三角板，要求學生用自己的語言描述該三角形邊角間具備怎樣的聯系.

在這個問題的引導下，學生很快提出該三角形有兩個底角相等，存在一個直角，其中有兩條邊也是相等的.如圖1，在文字語言的描述下，將問題抽象為數學條件：△ABC中，∠C=90°，BC=AC，∠A=∠B.

教師充分肯定學生的發現，并著重強調該三角形的類型，由此揭露本節課復習的主題為“全等三角形”.并要求學生結合自身已有的學習經驗，回顧全等三角形的性質與判定方法.

學生自主回顧并總結，提出全等三角形的判定方法分別有如下五種：SAS，AAS，SSS，ASA，HL.

設計意圖 該階段學生對等腰三角形還處于一知半解的狀態，因此并不能理解等邊對等角與等角對等邊的性質，借助三角板這個等腰直角三角形作為課堂導入的素材，帶領學生提煉出此類三角形所具備的基本條件，為本節課的復習教學奠定了基礎. 同時，通過回顧全等三角形的判定方法，一方面揭露復習主題，另一方面為接下來的課堂教學做好鋪墊.

2. 編題探索判定方法

編題探索一

教師在課堂上展示一根戒尺與一個等腰直角三角板，讓學生感知這兩種常見的幾何圖形，并將戒尺上的一點置于三角板的直角頂點C上，保持接觸點不變的情況下任意旋轉戒尺，觀察戒尺與三角板之間存在怎樣的位置關系. 要求學生自主在草稿紙上畫出三角板ABC與戒尺NM的位置關系.

學生自主畫圖，教師巡視并點撥，從學生所畫圖形中選擇MN過線段AB的中點D（見圖2）的情況加以投影展示. 要求學生根據這幅圖自主編擬問題并解答.

生1：如果點D為線段AB的中點，那么就能通過SSS明確△ADC≌△BDC.

師：很好！根據“點D為線段AB的中點”這個條件，還可以獲得什么結論？

生2：根據這個條件可以推斷出AD與DC之間為垂直的關系.

教師又提出：若將AD⊥DC視為本題的已知條件，可推導出什么新的結論嗎？

在這個問題的啟示下，學生很快得出“CD為∠ACB的角平分線”的猜想，具體證明過程略.

設計意圖 選擇MN與AB相交這一特殊情況加以探索的靈感源自等腰三角形“三線合一”的性質，實物的展示與舊知的回顧拉近了學生與知識的距離，讓學生感知全等三角形判定定理并不復雜，這種相對簡單的邊角關系能讓學生快速獲得其中的等量關系.當然，隨著條件的轉化，問題也會發生改變，那么形成的問題則更豐富.

編題探索二

師：以上探索過程，我們選擇了一個非常特殊的情況，即直線與中線相重合的情況，接下來我們繼續旋轉戒尺，來探索MN旋轉到三角板外部之后的情況.如圖3，在增加兩個垂直條件的基礎上，我們來探索圖形間具有怎樣的聯系.

在教師的啟發下，學生很快就通過自主畫圖獲得了兩個全等三角形.在此基礎上，教師鼓勵學生自主分析線段DE，BE，AD之間具有的關系.有學生很快就舉手表示，用直尺度量法，可發現DE=BE+AD.

教師對該生的探索方法給予肯定，并表示此為測量獲得的結論，屬于猜想類別，是否準確還需加以證明，并要求學生自主證明該結論的正確性.

生3：根據同角的余角必然相等，獲得∠DCA=∠EBC，根據AAS可確定△EBC≌△DCA，由此可知CD=BE，CE=AD，所以DE=BE+AD.

師：非常好！現在我們繼續旋轉戒尺，讓MN落于△ABC的內部，由此可獲得怎樣的結論？

對于這個問題，學生自主畫圖（見圖4）并分析，提出“DE=AD-BE”的結論.

以上探索過程可抽象為如下數學問題：已知△ABC中的AC，BC相等，∠ACB為直角，且AD，BE分別與直線MN垂直.請證明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；③DE=AD-BE.

設計意圖 通過實操活動提煉數學問題，不僅促使學生掌握AAS判定定理，還促使學生從“K型圖”中轉化線段關系，由此對線段之間的和與差關系形成進一步的認識.

編題探索三

師：若將戒尺圍繞點A旋轉，又能編擬出怎樣的問題呢？首先來觀察MN落于△ABC內部的情況，即戒尺為角平分線時，AB，AC，CD之間會有怎樣的關系？

生4：這三者之間的關系為AB=AC+CD.

師：能描述得更具體一些嗎？

生5：如圖5，當AD為∠CAB的角平分線時，過點D作ED⊥AB，E為垂足，根據這些條件可求證AB=AC+CD.

師：還可以如何描述該輔助線？

生6：在線段AB上截取AE=AC，再將DE連接起來，此為截長法；也可以將AC延長至點F，令FA=AB，再將DF連接起來，此為補短法.

師：很好！這兩種方法的應用，均為了借助輔助線分析線段之間和差關系問題，其中作垂線段屬于特殊的截長法.那么此探索過程以數學形式編擬問題，該如何呈現？

生7：已知△ABC中的∠ACB為直角，AC=BC，AD為∠BAC的平分線，求證AB=AC+CD.

設計意圖 先猜想結論，而后再編題，有效降低了問題的難度，給學生的思維提供了明確的方向.這種教學方法，不僅讓學生能直接通過測量法獲得結論，還讓學生在解題過程中感知截長法、補短法的實際應用，明確截長法包含了作垂線段.

編題探索四

如圖6，在教師的引導下，學生編擬出來的問題為：已知△ABC中，∠ACB為直角，AC=BC，BD=CD，求證：2AD<AB+AC.

設計意圖 該環節同樣是求證猜想結論的過程，受思維定式的影響，有些學生會考慮借助刻度尺來分析結論，殊不知，此類問題只要掌握“倍長中線”的作法，就能借助補短法順利解決問題.

3. 總結提煉發展能力

教師要求學生基于整體的視角回顧本節課所編擬的幾道試題，提出判定三角形全等的條件有哪些，添加輔助線的方法有哪些，判定過程中涉及的數學思想方法有哪些等問題.

學生基于宏觀的視域觀察發現，借助全等三角形這一性質，不僅能直接獲得三角形角與線段之間存在的等量關系，還能挖掘出三角形線段之間的和差及不等關系.關于輔助線的添加，分別應用到了平行線、截長、補短等方法，尤其是作垂線段屬于一種特殊的截長法，而最后所探索的“倍長中線”則為特殊的補短法.本節課涉及特殊到一般、轉化、數形結合等數學思想方法.

設計意圖 引導學生從編題、添加輔助線、數學思想方法等方面進行梳理總結，不僅能夯實學生的知識基礎，還能幫助學生構建結構化的知識體系，感知數學學習的樂趣，從而有效發展數學核心素養.

教學思考

1. 以生為本是提高復習效率的基礎

新課標引領下的數學課堂，一改傳統“滿堂灌”的模式，學生已然成為課堂真正的主人.因此，每一項教學活動的開展，均需體現出“生本”理念.本節課，教師將編題活動貫穿教學的始終，整個過程都由學生自主完成，教師在必要時給予點撥，不僅凸顯了學生的地位，還有效提高了學生的復習效率，促使學生自主構建了完整的知識體系.

2. 自主編題是提高復習效率的關鍵

由學生自主提出問題，再去分析與探索問題，不僅能激活學生的思維，還能讓學生在探索中感知數學學習的樂趣，由此建立數學學習信心. 本節課，在整體回顧的基礎上，教師循循善誘地引導學生自主編出五類問題，分別用不同的方法來解決這些問題，真正踐行了深度學習理念，令課堂充滿智慧與活力.當然，自主編題并不是天馬行空地提出問題，而應立足于教材，以教材為出發點. 因為，教材是教師教學的基本依據，是實現教學目標的工具，更是學生獲得數學知識、數學思想方法，積累基本活動經驗并形成數學核心素養的重要載體［2］.

3. 創新意識是提高核心素養的根本

隨著社會的發展，各國之間人才的競爭實則為創新能力的競爭，創新意識是創新能力的萌芽階段，對學生個體的長效發展具有重要意義.因此，創新意識的培育對發展核心素養具有不可忽視的作用.本節課，編題活動的開展為“從無到有”的過程，從本質上來說就是培育學生創新意識的過程.放手讓學生自主編題，成功激活了學生的創新思維，為揭露知識本質奠定了基礎.

總之，復習教學中教師不僅要帶領學生進一步梳理知識脈絡，還要借助教學培育學生的反思習慣與創新意識，編題活動是實現這一目的重要方法之一.教師需在核心素養為導向的基礎上引導學生積極主動地參與學習、自主探索，以挖掘學生的潛能，發展學生的創新意識，實現數學教育的“育人”功能.

參考文獻：

［1］陳怡. 基于核心素養自主復習探究——“全等三角形的復習”教學實錄與反思［J］. 中學數學月刊，2021（2）：46-48.

［2］王曉麗，于彬. “大概念、大單元”視角下初中數學復習課教學案例——以“一次函數單元復習課”為例［J］. 中學數學，2022（7）：44-46.