經歷“再創造”，生長“數學味”

［摘 要］ 數學學習應讓學生充分經歷“再創造”的過程，從而在充分體驗下生長“數學味”，水到渠成地發展數學思維與創新精神.文章從“再創造”理論的內涵談起，結合“旋轉中的三角板”的復習課，聚焦“再創造”展開，提出培養學生“再創造”能力的數學課堂需以“再創造”理論搭建課堂框架，以“再創造”的活動催生“再創造”，以“發展為本”的教學理念實現“再創造”.

［關鍵詞］ 再創造；數學味；課堂教學

引領學生經歷個性化的、主動的學習過程，培養學生數學思維與創新精神已然成為一線教師的共同愿景. 然而落實在具體教學中卻困難重重，我們常常會發現置身于數學課堂中學生“只聽不思、只學不問、只知不識”的現象，這樣的學習狀態足以引發我們的深思. 筆者認為，數學學習應讓學生充分經歷“再創造”的過程，從而在充分體驗下生長“數學味”，水到渠成地發展數學思維與創新精神.

“再創造”理論的內涵

數學教育需溝通生活實際，培養與發展學生認識客觀現象，發現數學問題的能力. 聚焦“再創造”理論的數學教學，首先，要摒棄傳統教學的灌輸式、一言堂以及死記硬背等方式，而應以探究式、引導式教學貫穿課堂. 其次，“再創造”理論下的數學課堂要從數學知識的本質出發，為學生構造“再創造”的時空，讓學生借助操作、推理、想象、類比、歸納、反思等方式自主獲取知識、感悟思想、積累經驗、發展思維、提高素養. 以什么作為突破口實施教學，可使學生真正經歷“再創造”、生長“數學味”呢？現在結合“旋轉中的三角板”的復習課，聚焦“再創造”展開，談談筆者的教學實踐.

聚焦“再創造”的教學過程

1. 情境導入，激發“再創造”

教具準備：投影儀，一副三角板，三角形紙片（與三角板大小相同）等.

師：既然本節課是一節復習課，那就讓我們拋開課本，老師帶你們玩“旋轉中的三角板”，如何？三角板是我們學習數學的好助手，我們畫線段、量長度、畫特殊角、作平行線等都離不開三角板. 你們試過一副三角板的組合運用嗎？（學生紛紛搖頭）

師：看來玩過的同學不多，這樣的組合不僅好玩，還蘊含各種知識奧秘，下面就讓我們一起深入探索吧！

師：（先將含有45°的直角三角板舉起來）同學們看一看，這個三角板有什么特點？

生1：有一個90°的角，另外兩個角度是一樣的.

師：生1用簡潔的語言描述了角的本質特征，很不錯！那這一塊呢？（舉起一塊含有30°角的直角三角板）

生2：這也是一個直角三角形，有一個角是90°，其余兩個銳角分別為30和60.

師：那現在角的度數呢？邊的長度呢？（旋轉該三角板，使得位置發生了變化）

生3：角的度數與邊的長度均沒有變化.

師：可見，旋轉一個圖形，其位置發生了改變，但角的度數與邊的長度不會改變.

評析 從數學現實著手創設教學情境可以激發“再創造”的動機. 以弗賴登塔爾提出的現實數學教育理論為基礎，可以看出現實數學教育包括三種. 第一，學生通過教科書獲得知識；第二，以課標為基礎，提出教學需求和目標；第三，學生掌握新舊知識的前后聯系. 教師在設計教學時需溝通好這些客觀現實和知識體系來創設教學情境，激發學生“再創造”的動機，自然而然地培養學生“再創造”的能力. 課始，筆者以趣味性、新穎性的教學情境，為學生營造生機勃勃的學習氛圍，并以“這樣的組合不僅好玩，還蘊含各種知識奧秘”來激發學生的求知欲. 之后，再從學生的現實思維與知識著手拋出問題，引領學生快速入課. 這樣的導入，起點較低且十分生動，喚醒學生儲備的知識，為學生積極主動地探索和再創造“旋轉中的三角形”做好鋪墊.

2. 探究“旋轉”，經歷“再創造”

探究1：將一副三角板按照如圖1所示的方式放置，兩直角頂點重合于點O，兩斜邊AB，CD相交于點P. 在這樣的情況下，同學們還能估算出其他角分別是多少度嗎？

學生活動：在開放性問題與探究活動的引導下，學生標字母、算角度、找答案，一氣呵成，極好地復習了三角形內角和的性質與三角形內外角的關系等舊知識，促進了數學知識體系的構建.

探究2：如圖2，先將含有30°角的Rt△COD固定住，再將含有45°角的Rt△AOB按順時針方向繞著點O旋轉，使得AO⊥CD，你能求出∠BOD和∠AOC的度數嗎？

學生活動：學生知道三角形旋轉，其內角度數不會發生改變，得出∠BOD=120°，∠AOC=60°.

探究3：將含有45°角的Rt△AOB按順時針方向繞著點O繼續旋轉，AO正好過CD這條斜邊的中點，你能求出∠BOD和∠AOC的度數嗎？

學生活動：由于本題包含的定理“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，多數學生已遺忘，因此解題存在些許困難. 但不少學生從前面的探究經驗中獲得了感悟，并借助已知條件得出了結果.

探究4：通過探究2和探究3，試著猜想旋轉過程中∠BOD和∠AOC可能有哪些數量關系，并證明你的猜想.

學生活動：由于探究4是探究2和探究3問題的深化與變式，也是一個開放性問題，因此具有較大的挑戰性. 學生在深度思考、操作和探索后，啟動了腦海中的元認知，基于圖形旋轉的不變性，設∠AOD=α，得出∠BOD=90°+α，∠AOC=90°-α，最終相加得到∠BOD+∠AOC=180°.

探究5：根據以上問題，請試著設計變式問題.

學生活動：學生在深度研討后，實現了“再創造”，并得出以下變式. 將含有45°角的Rt△AOB繞著點O任意旋轉，使得∠BOD=105°，你能求出此時∠AOC的度數嗎？

實驗操作1：將含有45°角與含有30°角的直角三角板按如圖3所示的方式放置，將Rt△DMN（含有30°角的直角三角板）的直角頂點與Rt△ABC（含有45°角的直角三角板）的斜邊的中點D重合放在一起.

實驗操作2：如圖4，將Rt△DMN以順時針的方向繞點D旋轉，讓其直角邊分別與AB，AC相交于點E和點F.

（1）在旋轉期間，哪些線段的長度有變化，變化是如何進行的？

（2）猜一猜AE與CF之間的數量關系，并說一說你是如何想的.

（3）通過實驗觀察，你能得出什么結論？把你的想法寫下來，作為小組交流作業.

學生活動：對于學生最難理解的“圖形旋轉”問題，筆者通過設計動手操作的活動，引導學生在活動中“再創造”. 對于問題（3），學生經過操作、猜想和交流，通過添加輔助線的方法即可得出各種各樣的結論，如AE=CF. 與此同時，學生在思考后，創意生成了如下操作變式. 如圖4，若Rt△DMN（含有30°角的直角三角板）以順時針的方向，繞著BC的中點D旋轉，其直角邊分別與BA，AC的延長線相交于點E，F，則CF=AE是否還成立？進一步地，學生借助前面問題的解決經驗，思考得出，可以連接AD，通過“ASA”定理證明△ADE≌△CDF，繼而得證.

評析 在教學中，若想將學生的創造思維激發出來，除了要“帶動”學生原有的知識外，還要通過適當的提點，讓學生更好地感受濃郁的數學氣息，促進新知識的自然構建. 猜想、操作是“再創造”的前提，這里也正是由于學生擁有了充足的操作時空，才能充分體驗到三角形旋轉過程中的變和不變，從而了解旋轉圖形中的“等”與“不等”之間的關系，以此深化學生對知識的理解與認識，同時促成原有三角形知識的重大突破，促進學生的個性發展.

3. 深入反思，鞏固“再創造”

問題1：回顧本節課的整個探究過程，我們經歷了哪些數學知識的再探索，有什么收獲？

學生活動：①拿一副三角板作為道具，針對三角形的邊與角的關系展開復習； ②將三角形的旋轉作為研究內容，分析旋轉過程中“等”與“不等”的關系；③在實踐操作與合作探究中掌握自主編題的技術，讓自身的“再創造”思維與能力得到發展.

問題2：除去前面探究的旋轉方法，你是否還有其他方法？

學生活動：學生再一次針對本題展開實驗操作，交換兩塊三角板的位置，即改變旋轉中心，如圖5，移動三角板，Rt△MDN（含有45°角的直角三角板）的直角頂點D與Rt△ABC（含有30°角的直角三角板）的斜邊BC上的垂足D重合，將Rt△MDN按照順時針方向，繞點D旋轉，其直角邊與AB，AC分別相交于點E，F，則∠AED與∠CFD之間有什么樣的數量關系？如果DE與DF之間存在著比例的關系，那么的值是多少？盡管此題是前面問題的變式，但前面問題是基于三角形全等的實際問題，而本題涉及的是三角形相似，顯然學生有這樣大的創造力確實十分喜人.

評析 再現教學過程，可以促成“再創造”的鞏固. 當然，再現和反思教學過程并非簡單地發現和創造，更多的是需要在教師的引導下鞏固“再創造”，這里需要重點凸顯的是教師的引導. 本課的實踐表明，給予學生充分的操作時空，學生能還課堂以精彩. 這一環節中，筆者以問題引發學生反思，以知道引導學生操作，讓學生在“做數學”中鞏固“再創造”，最終由最原始的復現走向深度變式，讓學生的發散性思維能力以及二次創造能力得到有效提升. 就這樣，用意猶未盡的結尾為學生打造了無限的創造空間，使數學課堂久久彌漫著濃濃的“數學味”.

感悟與反思

1. 以“再創造”理論搭建課堂框架

縱觀本課的教學，不難發現，整節課用弗賴登塔爾的“再創造”理論搭建課堂框架. 筆者基于數學知識的特質，為學生打造“再創造”通道，引導學生在一系列探究活動中，獲取知識、感悟思想、培養思維、發展素養. 首先，筆者從學生的數學現實著手創設情境，引導學生自主自發地操作實踐，激發“再創造”的欲望；其次，筆者牢牢把握住每一次引導學生動手操作的時機，讓學生在“做數學”的過程中進行“再創造”，形成“數學化”的思想.

2. 以“再創造”的活動催生“再創造”

本節課中，筆者設計了多種形式的探究活動，一是通過簡單的模仿性活動，有效激活學生的“再創造”；二是通過變式操作活動，為學生的“再創造”提供通道；三是通過延伸操作問題，為學生提供“做數學”的通道，讓學生實現“再創造”. 正是有了這樣符合學生認知規律的循序漸進的活動，才能引導學生多方位、多角度地觀察、探索和交流，有效操控“圖形的旋轉”，最終學會舉一反三，使“再創造”抵達學生的心靈深處.

3. 以“發展為本”的教學理念實現“再創造”

在素養本位的導向下，數學育人功能主要體現在培養學生初具思想、創新精神、理性思維和數學素養，其中創新精神和理性思維應作為數學活動設計的核心. 為此，教師在設計教學時需基于“發展為本”的教學理念，溝通數學與現實的聯系，牢牢把握數學本質，通過一些具體探究活動引導學生步步深入思考與操作，讓學生在舉一反三中實現“再創造”，讓數學課堂散發濃郁的“數學味”.

總之，在教學中，教師要善于設計有效的活動，讓學生對知識的理解逐步走向深處，以促進學生理性思維和創新能力的發展；要引導學生展開有價值的思維活動，從而在獲得豐富的活動體驗的同時經歷“再創造”的過程，形成積極的情感態度，促進“數學味”的生長.