滲透數學核心素養 提升學生綜合學力

［摘 要］ 隨著教學改革的推進與深化，初中數學教學除了讓學生學習數學知識外，還應重視培養學生的數學核心素養，讓學生學會用數學的觀點和方法看世界，提高終身學習能力. 文章以“規律探究問題”為主題，闡述了解決此類問題對培養學生數學核心素養的重要作用.

［關鍵詞］ 數學核心素養；合理滲透；綜合學力

隨著課程改革的推進，素質教育越來越受到教育工作者的重視，學生核心素養的培養作為素質教育的重點內容也在逐漸完善. 培養學生具有良好的核心素養，已經成為各學科教師教學的主要目標. 數學核心素養并非通過教師的講授達成的，而是學生在日常學習過程中逐漸積累的，是一個長期且復雜的過程. 在日常教學中，教師應在教學的各個環節加以滲透，引導學生親歷數學知識的建構過程，從而有效落實數學核心素養.

當下，中考越來越重視考查學生的綜合能力和綜合素養，規律探究類問題因其內容豐富、綜合性強而成為中考的一個熱門考點. 這類試題通常涉及圖形變化規律探究、翻折變換規律探究、數字變化規律探究，在解決此類問題時，不僅需要學生具有扎實的基本功，而且對學生的觀察、分析、推理能力提出了更高的要求. 在探究規律的過程中，教師應以學生為主，應創造機會讓學生經歷觀察、分析、推理、探索等過程，讓學生在探索其中所蘊含規律的同時，加深對相關知識、思想、方法的理解，培養學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀等核心素養. 下面筆者結合教學實例談談如何在探索規律問題教學中合理滲透數學核心素養，提高學生的思維品質.

在圖形變化類規律探究中培養

數學核心素養

幾何圖形的變化有著較強的規律，是提高學生數形結合意識，培養學生抽象能力、幾何直觀、推理能力等素養的重要載體. 在探索圖形規律的過程中，教師應將主動權交給學生，讓學生發現、探索圖形和數字的排列規律，進而通過親歷理解并掌握找規律的方法，最終發展數學能力與數學素養.

例1 圖1是由若干大小相等的小正方形按一定的規律拼成的圖形，如果按照這樣的規律擺下去，第④個圖形中有幾個小正方形？第n個圖形中有幾個小正方形？

分析 例1不難，結合圖形易于發現，若添加一個小正方形剛好可以拼成一個大正方形，順著這一思路不難發現：第①個圖形中有22-1個小正方形；第②個圖形中有32-1個小正方形；第③個圖形中有42-1個小正方形，由此自然推導出第④個圖形有52-1個小正方形，第n個圖形中有（n+1）2-1個小正方形.

例2 圖2是由若干大小相等的三角形按照一定的規律拼成的圖形，如果繼續按照這一規律往下拼，第⑦個圖形中有幾個三角形？第n個圖形中有幾個三角形？

分析 結合圖形的特點易于發現，第①個圖形中有2×3-1個三角形；第②個圖形中有3×4-1個三角形；第③個圖形中有4×5-1個三角形. 以此類推，第⑦個圖形中有8×9-1個三角形；第n個圖形中有（n+1）×（n+2）-1個三角形.

分析以上兩題不難發現，解決此類問題時主要需要兩步，其一是將圖形抽象成數量；其二是觀察每個圖形對應數量之間的變化關系. 在具體實施過程中，教師應引導學生思考這樣幾個問題：（1）每個圖形中有幾個基本圖形？（2）各個圖形中圖形的數量如何表示？（3）每個圖形對應的數量之間存在怎樣的關系？在思考中，學生會經歷觀察、比較、歸納、猜想、推理等過程，其抽象能力、幾何直觀、推理能力等素養得到發展.

在翻折變換類規律探究中培養

數學核心素養

折疊型問題重點考查學生動手操作能力、空間想象能力、邏輯推理能力. 在解決此類問題時，教師應鼓勵學生去操作、觀察、抽象、歸納，以此發現蘊含其中的規律，學會用數學的思維思考現實世界.

例3 現在有一張長為1，寬為a

<a<1的矩形紙片，將其按照圖3那樣折疊，剪下邊長為a的正方形，這一過程稱之為第一次操作；將剩下的矩形按照圖4那樣折疊，剪下一個邊長等于矩形寬的正方形，這一過程稱之為第二次操作. 按照以上步驟重復下去，直到第n次操作后，剩下的圖形為正方形為止.

（1）第二次操作時，剪下的正方形的邊長是______.

（2）若第三次操作后，剩下的圖形為正方形，試求a的值. （用含a的式子表示）

分析 （1）結合以上操作過程容易發現，每次剪下的正方形的邊長為原矩形的寬，所以研究剪下正方形的邊長，實則研究矩形的寬. 解題過程中需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是寬. 先從第一次操作談起，該矩形的長為1，寬為a

<a<1，所以剪下的正方形的邊長為a，剩下的矩形的兩條鄰邊的長分別為a，1-a，由已知易得a>1-a，所以第二次剪下來的正方形的邊長為1-a.

（2）經過第二次操作后，得到的矩形相鄰兩邊的長分別為1-a，a-（1-a）=2a-1，此時問題的焦點是比較1-a和2a-1的大小. 對于含字母的代數式比較大小，最易于想到的就是作差，（1-a）-（2a-1）=2-3a，顯然這里很難判斷兩者的大小關系，為此在解題的過程中需要分兩種情況討論，即①1-a>2a-1；②1-a<2a-1.

①當1-a>2a-1，即a<時，第三次操作時剪下的正方形的邊長為2a-1. 又第三次操作后，剩下的圖形為正方形，所以2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=.

②當1-a<2a-1，即a>時，第三次操作時剪下的正方形的邊長為1-a，則1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=.

在解決圖形翻折變化類問題時，不僅需要在腦海中對翻折前后圖形的形狀形成清晰的認識，而且需要準確把握翻折前后圖形之間的邊長關系. 若想做到這兩點，需要學生具有良好的空間想象能力和邏輯推理能力. 在日常教學中，通過此類問題的訓練，可以有效提高學生幾何直觀和推理能力等素養.

在數字變化類規律探究中培養

數學核心素養

對于數字變化類規律探究問題，命題者通常給定一些數字、代數式、等式或不等式，然后要求答題者從中猜想蘊含其中的規律. 解答此類問題不僅需要學生掌握相關的知識技能，而且需要學生具有觀察問題、分析問題、歸納問題、解決問題的能力. 它既是規律探究的基礎，又是規律探究的重點.

例4 觀察下列等式：

①9×0+1=1；

②9×1+2=11；

③9×2+3=21；

④9×3+4=31；

…

（1）請按照規律寫出第5個等式；

（2）請按照規律寫出第n個等式.

分析 觀察以上四個等式的規律不難發現，第1項都是9，第2項是從0開始的整數，第3項是從1開始的整數，第3項比第2項大1，第4項是整十再加1，根據以上觀察不難寫出答案：（1）第5個等式為9×4+5=41；（2）第n個等式為9（n-1）+n=10（n-1）+1.

例5 觀察下列等式：

①a==-1；

②a==-；

③a==2-；

④a==-2；

…

（1）按照上述規律，請寫出第n個等式；

（2）a+a+a+…+a=______.

分析 根據已知條件容易寫出第n個等式a==-，a+a+a+…+a=（-1）+（-）+（2-）+…+（-）=-1.

對于數字變化類規律探究題，解題的一般思路是觀察各式左右兩邊的規律，通過橫縱（所謂橫向對比指的是比較同一不等式不同部分的數量關系，縱向對比指的是比較不同等式間相同位置的數量關系）對比找到蘊含其中的規律，在此基礎上加以歸納、猜想、計算、證明，問題即可迎刃而解. 通過解決此類問題，學生的推理能力及運算能力等素養將得到發展.

結束語

在生活和數學中，存在著大量有規律的事物，以及事物變化趨勢的問題. 在日常教學中，教師要重視引導學生探索蘊含其中的規律，并用數學知識進行描述和解答，這樣不僅可以激發學生的學習興趣，而且對培養學生的數學建模思想和數學應用意識等有著重要的作用，有利于促進“三會”目標的達成.

規律探究問題設計獨特、新穎，蘊含著豐富的數學思想方法，解決此類問題時沒有固定的方法可以套用，更多的是需要學生通過觀察、實驗、猜想、推理、驗證等過程得到結果，其是訓練、考查學生思維靈活性和創新性的重要題型. 同時，通過解決此類問題，不僅可以拓寬學生的數學視野，而且可以培養學生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力等素養.

總之，教師要從學生的認知規律出發，充分利用各種教學資源，引導學生經歷猜想、歸納、驗證等學習過程，在訓練學生基礎知識和基本技能的同時，發展學生的數學核心素養.