巧用遞推思想求解多次碰撞問題

【摘要】本文聚焦一道多次碰撞的例題，介紹遞推思想在解決此類復雜問題中的應用．通過剖析例題，詳細展示如何借助遞推法構建物理量間的邏輯關聯，逐步推導物體運動狀態與碰撞結果，化解多次碰撞分析難題，提升學生物理思維與解題能力，凸顯遞推思想于高中物理教學及學習的實用價值．

【關鍵詞】高中物理；遞推思想；多次碰撞

在高中物理力學問題中，碰撞問題是重點與難點，多次碰撞更是復雜棘手，難點在于涉及多物體、多階段的運動．傳統的整體分析法易顧此失彼，遞推思想則按碰撞次序，逐次挖掘規律、遞推物理量，將復雜過程拆解為系列簡單關聯環節，契合認知與解題邏輯，是攻克多次碰撞問題的“利刃”．

1遞推思想求解多次碰撞問題的案例分析

例如圖1，在足夠長的光滑水平軌道上有一質量為mA=1kg的足夠長的木板A，質量為mB=4kg的滑塊B置于A的左端，A與B間的動摩擦因數為μ=0.2．在水平軌道上隔一定距離依次放著2025個相同的滑塊，滑塊的質量均為m=1kg，編號依次為1，2，3……2025．開始時木板A靜止，現使滑塊B瞬間獲得水平向右的初速度v0=5m/s，當A、B剛達到共速時，木板A恰好與滑塊1發生第1次彈性碰撞，經過一段時間，當A、B再次剛達到共速時，木板A恰好與滑塊1發生第2次彈性碰撞，之后每次A、B剛達到共速時，木板A都恰好與滑塊1發生彈性碰撞，直至最后木板A與滑塊1發生2025次碰撞．重力加速度大小取g=10m/s2，滑塊間的碰撞均為彈性碰撞，每次碰撞時間極短，滑塊均可視為質點．求：

（1）木板A與滑塊1第1次碰撞前，A與B組成的系統產生的熱量Q；

（2）木板A與滑塊1第1次碰撞后瞬間，滑塊1的速度大小v塊l；

（3）從滑塊B開始向右運動到木板A即將與滑塊1發生第2025次碰撞時，A與B組成的系統損失的總能量ΔE（可用分數表示，如表達式：abn，a、b、n為具體數值）．

解析（1）將木板A與滑塊B視為一個系統，因為水平軌道光滑，木板A與滑塊B所受合力為零，因此木板A與滑塊B組成的系統在水平方向上動量守恒．設木板A與滑塊B第一次共速時的速度為v共1，設正方向，則有mBv0=mA+mBv共1，

可得v共1=45v0=4m/s，

由能量守恒定律可知，木板A與滑塊B減少的機械能轉化為了系統產生的熱量Q，即Q=12mBv20－12mA+mBv2共1，

解得Q=10J．

（2）木板A與滑塊1發生彈性碰撞時，將木板A與滑塊1視為一個系統，由于碰撞時間極短，碰撞時內力遠大于外力，因此木板A與滑塊1組成的系統在水平方向上動量守恒，設，

則有mAv共1=mAv1+mv塊1，12mAv2共1=12mAv21+12mv2塊1，

解得木板A的速度v1=0，

滑塊1的速度v塊1=v共1=4m/s，

即木板A與滑塊1發生了速度交換，木板A碰撞后速度為0，滑塊1獲得了木板A碰撞前的速度4m/s．

（3）與木板A發生第1次碰撞后的滑塊1，勻速滑向滑塊2，并與之發生彈性碰撞，設碰撞后滑塊2的速度為v，

則有mv共l=mv′共l+mv，12mv2塊1=12mv′2塊1+12mv2，

解得滑塊2的速度v=4m/s，

滑塊1的速度v′塊1=0，

即滑塊1和滑塊2碰撞后速度交換，滑塊2將繼續碰撞滑塊3，速度繼續交換，后面的滑塊繼續重復，木板A發生第1次碰撞后速度變為0，木板A與滑塊B組成一個系統，設木板A第2次與滑塊1碰撞前的速度為v塊2，mBv共1=mA+mBv共2，v共2=45v共1=165m/s，

接下來木板A將以v共2的速度與滑塊1發生彈性碰撞，碰撞后速度交換，木板A的速度變為0，重復以上碰撞，木板A和滑塊1碰撞后，再次與滑塊B共速時，共速速度為上一次共速速度的45，

即v共N=45v共N－1，

因此，木板A即將與滑塊1發生第2025次碰撞時v共2025=452025v0，

從滑塊B開始向右運動到木板A即將與滑塊1發生第2025次碰撞時，由能量守恒定律有A與B組成的系統損失的能量

ΔE=12mBv20－12mB+mAv2共2025，

解得ΔE=50－1252×454050J．

點評本例中，木板A與滑塊1發生了多次碰撞，問題看起來比較復雜，但本例的第（2）問較簡單，木板A與滑塊1發生彈性碰撞，木板A與滑塊1發生了速度交換，木板A碰撞后速度為0，重復以上碰撞，木板A和滑塊1碰撞后，再次與滑塊B共速時，共速速度為上一次共速速度的45，根據此規律，運用遞推思想即可得v共N=45v共N－1，木板A即將與滑塊1發生第2025次碰撞時，v共2025=452025v0．

2教學啟示

在高中物理教學領域，多次碰撞問題宛如一座復雜的“迷宮”，而遞推思維恰是指引方向的“線索”．教師肩負著“筑路搭橋”的重任，強化遞推思維“建模”是關鍵之舉．講解伊始，不能僅呈現結論性公式，而要將推導全程如抽絲剝繭般細致展示，從基礎物理量設定、守恒定律方程羅列，到數學變換、遞推式歸納，步步為營．

起步階段，引入簡單且具典型性示例，像質量懸殊的兩小球在光滑平面的單次彈性碰撞，以此為“敲門磚”，讓學生在熟悉情境里觀察、模仿推導邏輯，明晰如何借物理規律搭建遞推“骨架”．隨著知識積累，復雜的多物體多次碰撞題，鼓勵學生自主“建模”，在錯誤嘗試與修正中深化理解．

3結語

遞推思想高中物理多次碰撞問題，融合物理原理與數學邏輯，將復雜“碰撞鏈”拆解為規律“環節串”，深挖遞推關系、精準求解物理量，促思維進階，是深物理、提分增效“法寶”，值得師生深入研習、廣泛運用．

參考文獻：

[1]徐穎超.高中物理利用遞推法求解多次碰撞問題[J].數理天地（高中版），2024，（12）：18-19.

[2]段石峰.2024年高考湖南卷壓軸題“多次碰撞問題”的研究[J].物理教師，2024，45（09）：75-77.