由一道題談解答三角形內角問題的三種方法

解答三角形內角問題往往需靈活運用正余弦定理、勾股定理、三角函數的定義等.下面通過探究一道三角形內角問題的解法來談談解答此類問題的三種方法.

例題：在ΔABC中，D為BC邊上的一點，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若SΔADC=3-，則∠BAC=.

我們需結合圖形理清三角形的邊角關系，運用三角函數的定義、正余弦定理、勾股定理、三角形的面積公式等來建立更多的邊角關系，以求得∠BAC的大小.

一、運用三角函數的定義

我們可以將三角形的內角問題與三角函數的定義關聯起來，通過添加輔助線構造出直角三角形，這樣便可以根據正弦、余弦、正切函數的定義，用三角形三邊之間的比例關系來表示直角三角形的內角，從而求得問題的答案.

解：如圖1所示，過點A作AH⊥BC于點H.

因為SΔADC=DA?DC sin 60。=3-，

所以DC=2（-1）.

因為AH⊥BC，∠ADH=60。，

所以DH=AD cos 60。=1.

所以HC=2（-1）-DH=2-3，

則BD=CD=-1，

故BH=BD+DH=，AH=ADsin 60。=，

所以AH=BH，∠BAH=45。.

在RtΔAHC中，tan∠HAC=A（H）H（C）=2-，

故∠HAC=15。，

所以∠BAC=∠BAH+∠CAH=60。.

我們根據三角形的特征作垂線AH，即可構造出兩個直角三角形ΔAHC和ΔAHD.再在這兩個直角三角形中，根據勾股定理和三角函數的定義求出各條邊，以及∠BAH、∠CAH的大小，進而求得∠BAC的大小.

二、建系法

在解題時，我們可以根據三角形的特征，以一條邊、中垂線、高線為坐標軸來建立平面直角坐標系；然后求得各個點的坐標，便可以根據兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式求得線段的長，根據直線的斜率公式、傾斜角、到角公式等來求三角形的內角.

解：如圖2所示，以D為原點，BC為x軸建立平面直角坐標系xOy.

由題意可知A（1，），B（1-，0），C（2-2，0），

所以kAB=tan∠ABC=1，∠ABC=45。，

則kAC=tan∠ACE=-（2+），故∠ACE=105。.

所以∠BAC=∠ACE-∠ABC=105。-45。=60。.

在建立坐標系后，可以根據直線的斜率公式求得直線AB、AC的斜率，以確定兩條直線的傾斜角，進而求得三角形的內角.在建立平面直角坐標系時，要使更多的點落在坐標軸上，這樣才便于快速求得各個點的坐標.

三、運用向量的數量積公式

向量是連接幾何與代數之間的橋梁.在解答三角形內角問題時，可以給三角形的三邊賦予方向，以構造出向量.這樣便可以直接利用向量的數量積公式來建立三角形的邊、角之間的關系，進而求得三角形的內角.

解：因為SΔADC=DA?DC sin 60。=3-，

所以DC=2（-1），BD=-1.

設=，=，則=-2，||=2，||=-1.由=-=-可得||2=（-）2=||2+||2-2?=6，故||=.由=-=-2-可得：||2=（+2 2=4||2+||2+4?=24-12，則||=

又因為BC=BD+DC=3BD=3-3，所以由=-可得：||2=（-）2=||2+||2-2?，則cos∠BAC=，所以∠BAC=60。.

運用向量的數量積公式解題，關鍵在于根據向量的模的公式，通過向量運算求得所求角的兩邊的邊長.

可見，求解三角形內角問題，需注意：（1）合理添加輔助線；（2）靈活運用三角形的性質、正余弦定理、勾股定理、三角函數的定義等；（3）合理運用轉化思想，將問題轉化為向量問題、平面解析幾何問題來求解.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學）