巧妙運用向量法，快速求得空間角

空間角是指異面直線之間所成的角、直線與平面所成的角、二面角.常見的空間角問題有求空間角的大小、取值范圍、余弦值、最值等.對于方便或容易建立空間直角坐標系的空間角問題，我們通常運用向量法求解.下面結合實例談一談如何運用向量法求空間角.

一、求異面直線所成的角

有時我們很難找到兩條異面直線所成角的平面角，此時可以根據立體圖形的特征建立空間直角坐標系，給各個點賦予坐標，求得兩條異面直線的方向向量，即可根據向量的夾角公式求解.若兩條異面直線的方向向量分別為 a、b ，則這兩條異面直線所成角的余弦值為 | | | | | | cos a，b = | | | | | | | | | | | | a?b |a| | | | | b .值得注意的是，異面直線所成角的范圍為（0°，90°].

例1

解

我們先根據正方形的性質以及線面垂直的性質定理得出 HA1 、HB1 、C1H 兩兩互相垂直；然后以 H 為原點，HA1 為 x 軸，HB1 為 y 軸，C1H 為 z 軸建立空間直角坐標系，即可快速求得 AC、 A1B1 ，進而根據向量的夾角公式求得兩條異面直線所成角的余弦值.在建立空間直角坐標系時，要尋找或者構造垂直關系，以找到三條互相垂直且交于一點的直線，快速確定坐標軸.

二、求直線與平面所成的角

平面外的直線與它在平面內的射影所成的銳角叫做這條直線與這個平面所成的角.直線與平面所成角的范圍為 é ? ù ? 0， π 2 .設直線 l 的方向向量為 a ，平面 α 的一個法向量為 n ，直線 l 與平面 α 所成的角為 θ ，由向量的夾角公式可得 cos lt;a，ngt;= a?n |a||n| ，則 sin θ = | cos lt;a，ngt; |.值得注意的是，當直線與平面平行（或直線在平面內）時，a 與 n 垂直，直線 l 與平面 α 所成的角為0；當直線與平面垂直時，a 與 n 平行，直線 l 與平面 α 所成的角為 π 2 .

例2

解

我們需先根據圖形的特點以及 AD ⊥ AB 的關系建立空間直角坐標系 A - xyz；然后求得各個點的坐標、直線 CD 的方向向量、平面 PAD 的法向量，即可根據向量的夾角公式求得直線 CD 與平面 PAD 所成的角.值得注意的是，直線與平面所成的夾角 θ 、直線與平面的法向量所成的夾角 n， CD 二者互為余角.

三、求二面角

運用向量法求二面角，需在建立空間直角坐標系后，求得兩個半平面的法向量，再根據向量的夾角公式求得兩個法向量的夾角，則該夾角或其補角即為二面角.如圖 3，若 AB 、CD 是二面角 α - l - β 的兩個半面內與棱 l 垂直的直線，則二面角的大小 θ =lt; AB， CD gt; . 如圖 4、5，若 n1 、 n2 分別是二面角 α - l - β 的兩個半平面的法向量，則 cos lt; n1， n2 gt;= n1 ? n2 | n1 || n2| ，二面角的余弦值為 cos θ = ±cos lt; n1， n2 gt; .值得注意的是二面角的范圍：[0，π] .

例3

解

一般地，我們要根據線面垂直的性質，即法向量垂直于平面內的兩條互不平行的直線，來建立方程組，據此求得平面的法向量.有些題目中沒有明確告知二面角是否為銳角，此時需結合圖形來判定所求的二面角為銳二面角還是鈍二面角.

總之，求解空間角問題，我們需注意以下幾點：（1）根據幾何圖形建立合適的空間直角坐標系.建立的坐標系不同，所求得的點的坐標、直線的方向向量、平面的法向量均有所不同；（2）在進行向量運算時，需注意平行、垂直關系的轉換：a ∥ b ? a∥ b ，a ⊥ b ? a⊥ b ；（3）注意空間角的取值范圍；（4）靈活運用向量的坐標運算法則以及夾角公式進行運算.

（作者單位：陜西省榆林市府谷縣第一中學）