解答含參指數與對數函數單調性問題的步驟

含參指對函數的單調性問題不僅涉及了參數，還涉及了指數函數式、對數函數式.這類問題的難度一般較大.很多同學在面對這類問題時不知如何下手，下面結合實例探討一下，解答含參指對函數的單調性問題的思路.

一般地，對于指對函數問題，我們通常需運用導數法求解，通過對函數求導，討論導函數與函數單調性之間的關系來判斷出函數的單調性.若已知函數 f （x） 在區(qū)間 D 上單調，則①?x ∈ D ，f′（x） ≥ 0 恒成立? f （x） 在區(qū)間 D 上單調遞增；②?x ∈ D ，f′（x） ≤ 0 恒成立? f （x） 在區(qū)間 D 上單調遞減.

解答含參指對函數單調性問題的一般步驟為：

第一步，根據函數的解析式確定函數 y = f （x） 的定義域；

第二步，根據求導法則、求導公式對函數 f （x） 求導，得到導函數 f′（x） ；

第三步，通過通分、分解因式，利用求根公式等方式，將導函數化為幾個因式的積或商；

第四步，令 f′（x）= 0 ，求得各個因式的零點，并用零點將函數的定義域劃分為幾個子區(qū)間.若零點中含有參數，往往需對參數進行分類討論；

第五步，在各個子區(qū)間上討論導函數 f′（x） 的符號，可采用列表、畫圖的方式，根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數在各個子區(qū)間上的單調性.

值得注意的是，求導后得到的導函數可能為含參一次函數式、含參二次函數式、含參高次函數式、含參指數函數式、含參對數函數式，我們需要針對不同的函數類型分類討論函數的單調性.

下面舉例加以說明.

例1

解

有時候，我們根據函數的定義域和整式的性質，可以很快判斷出導函數的部分因式的符號，如本題中 f′（x） = a - 1 x = ax - 1 x （x gt; 0） .因此我們只需討論因式 ax - 1的符號即可判斷出函數的單調性.而要判斷一次式 ax - 1 的符號，需借助其函數圖象來進行分析、研究.

例2

解

該導函數涉及了指數函數式 ex （exgt; 0），其零點為 x = ln（-m - 1） ，所以我們只需討論 m + 1 的符號即可.用該零點將函數的定義域 R 劃分為兩個子區(qū)間 （-∞，ln（-m - 1）） 、（ln（-m - 1），+∞） ，并在這兩個區(qū)間上討論導函數的符號，進而根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性.

例3

解

對函數求導可得 f′（x）= （2x + a）（x - 1） x .由于 x gt; 0 ，所以只需討論函數 y =（2x + a）（x - 1） 的符號.該函數的零點為 x1 = - a 2 或 x2 = 1 ，其中含有參數 a ，需對兩個零點的大小進行比較，分 a lt; -2 、a = -2 、-2 lt; a lt; 0 、 a = 0、a gt; 0 幾種情況進行討論，借助函數 y =（2x + a）? （x - 1） 的圖象來確定函數的單調區(qū)間.對于二次導函數，往往需將其分解為兩個因式，然后在 x 軸上標出兩個零點 x1 、x2 ，并畫出函數的圖象，通過研究其圖象來判斷導函數的符號.

例4

解

若二次導函數無法進行因式分解，則需根據求根公式來求導函數的零點.首先要討論 Δ = b 2 - 4ac 的符號，分 Δ ≤ 0 、Δ gt; 0 兩種情況討論方程的根的分布情況；然后借助 y = ax 2 - 2x + 1 的圖象來求得問題的答案.

總之，解答含參指對數函數的單調性問題，需注意：（1）明確導函數最高次項的系數是否含有參數，若含有參數，則需分參數大于、等于、小于0三種情況進行討論；（2）對導函數進行合理的變形，將其化為幾個最簡因式的商、積，以便快速判斷出因式的符號；（3）對于涉及多個零點的導函數，通常要比較幾個零點的大小，以準確劃分出單調區(qū)間.

本文系 2024 年自治區(qū)“以校為本”小課題研究——利用高中數學實驗加強學生幾何直觀與空間想象能力的實踐研究（課題編號：XKT-2404002）階段性成果.

（作者單位：新疆昌吉州瑪納斯縣第一中學）