例析配湊基本不等式的幾個技巧

基本不等式：若a、bgt;0，則≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.基本不等式常用于求代數(shù)式的最值、取值范圍以及證明不等式.運用基本不等式解題，需滿足三個條件：（1）兩個式子必須都大于0；（2）兩式之和或積為定值；（3）取等號時不等式成立.一般地，我們很容易找到第一、三個條件，卻很難找到第二個條件.那么，如何尋找第二個條件呢？關(guān)鍵是配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，下面我就和大家一起來探討一下.

一、分離常數(shù)

一般地，若代數(shù)式為分式，且分子的最高次數(shù)高于或等于分母的最高次數(shù)，則可以使用分離常數(shù)法來配湊基本不等式.先通過湊項將分式化為最簡形式，使得整式與分式分離，即將其化為“整式+分式”的形式；然后通過添項或湊系數(shù)等方式將整式配湊成最簡分式的分母的倍數(shù)，以使兩式之積為定值，這樣就可以直接運用基本不等式求最值.

例1.

解

將該分式的分子、分母同時除以 x 2 ，即可將分子化為常數(shù)，將分母化為三式之和：x 2 + x 2 + 4 x 2 ，而其積為定值，利用基本不等式的變形式abc 3 ≤ a + b + c 3 求解即可求得最值.

二、整體代換

有時根據(jù)題目中的條件很容易求得某個代數(shù)式的值，此時可以將該值代入目標(biāo)式中，通過整體代換來改變目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)、形式，如將和式化為積式，將積式化為和式，從而配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，這樣就能運用基本不等式快速求得問題的答案.

例2.已知agt;0，bgt;0，a+2b=1，求+的最小值.

解：

由于a+2b=1，所以將目標(biāo)式+乘以“1”，這樣不會改變其大小；再將“1”用a+2b替換，即可配湊出兩式、的和，且其積為定值，直接運用基本不等式就能求得最值.

三、換元

當(dāng)遇到較為復(fù)雜的目標(biāo)式時，通常可以用一個新元來代替其中的某個式子，以使目標(biāo)式得以簡化，并改變其結(jié)構(gòu)、形式，這便為我們配湊基本不等式找到了新的路徑，從而順利配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值.

例3.已知a，b為正實數(shù)，且2b+ab+a=30，試求y=的最小值.

解：

通過換元可將目標(biāo)式化為-2（t+）+34.而該式中的t+為兩式的和，且這兩式的積為定值，便可以利用基本不等式順利求得最值.

總而言之，運用基本不等式求最值，關(guān)鍵要根據(jù)目標(biāo)式的特征將代數(shù)式進(jìn)行合理的變形，通過分離常數(shù)、整體代換、換元等方式配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，再運用基本不等式求得最值.

（作者單位：江蘇省如皋市第二中學(xué)）