三類函數(shù)問題的解法剖析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊.常見的函數(shù)問題有函數(shù)解析式問題、單調(diào)性問題、最值問題、周期性問題、函數(shù)應(yīng)用問題等.函數(shù)問題通常會側(cè)重于考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì).筆者對下列三類問題的解法進行了總結(jié)，下面結(jié)合實例作詳細的介紹.

一、函數(shù)運算問題

函數(shù)運算問題側(cè)重于考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本公式和運算性質(zhì)，常用的有 （ an ） n = a、loga M N = logaM - logaN、loga（MN）= logaM + logaN、logaN = logm N logma、logaMn = n logaM（n ∈ R） 等.解答函數(shù)運算問題，需根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征選用合適的運算公式和性質(zhì)進行運算.

例1

解

本題中涉及了指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式，我們需根據(jù)公式logaN = b ? ab = N （a gt; 0，a ≠ 1，N gt; 0） 進行指對數(shù)互化，靈活運用對數(shù)的運算性質(zhì)loga（MN）= logaM +logaN和換底公式logaN = logbNlogba，來建立 a、b、c 之間的關(guān)系.

二、函數(shù)圖象問題

函數(shù)圖象問題的常見命題形式有：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間.解答函數(shù)圖象問題，需熟練掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c、冪函數(shù)y=xa、指數(shù)函數(shù)y=ax、對數(shù)函數(shù)y=loga x等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并學(xué)會通過平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換等作出復(fù)雜函數(shù)的圖象，以通過研究函數(shù)的圖象順利獲得答案.

例2.函數(shù)f（x）=的圖象為（）.

解：

該函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，我們無法直接畫出函數(shù)的圖象，需仔細研究函數(shù)的解析式，令x=-x、xlt;0、xgt;1，將其分別代入函數(shù)的解析式，以判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，并求得函數(shù)的取值范圍.

例3.

解：

我們需先仔細研究函數(shù)的圖象，明確函數(shù)的單調(diào)性、最高點、最低點，以及圖象的變化趨勢；然后選取合適的特殊值代入函數(shù)的解析式中，通過排除法找到與圖象相符的函數(shù)解析式.

三、函數(shù)應(yīng)用問題

函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用較為廣泛.解答函數(shù)應(yīng)用問題，首先需要根據(jù)題意確定自變量、因變量，建立合適的函數(shù)模型；然后將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入函數(shù)式中來建立關(guān)系式，進而利用基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象求得問題的答案.

例4.某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時間t（單位：年）之間的關(guān)系為y=y0?ekt，其中y0為初始量，k為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%，則該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）

A.20 B.16 C.12 D.7

解：

題目中已告知自變量與因變量的關(guān)系式y(tǒng)=y0?ekt，我們只需根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求得ek=；再將其代入ekt=10%中，即可利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)獲解.

例5.某工廠統(tǒng)計資料顯示，一種產(chǎn)品的次品率p與日產(chǎn)量x（件）（x∈N且0lt;x≤100）之間的關(guān)系如下表：

解：

對于問題（1），我們需先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出次品率p與日產(chǎn)量x之間的關(guān)系，并建立關(guān)系式；再根據(jù)題意構(gòu)造出關(guān)于日贏利額y和日產(chǎn)量x的函數(shù).對于問題（2），需根據(jù)問題（1）中得出的函數(shù)解析式進行換元，令t=108-x，通過分離常數(shù)配湊出基本不等式，進而求出最值；最后還需檢驗所求的值是否滿足生活實際情況.

總的來說，在解答函數(shù)問題時，同學(xué)們不僅要靈活運用基本初等函數(shù)的基本公式、定義、性質(zhì)、圖象，還要重點研究函數(shù)的解析式、定義域、特殊值，以通過函數(shù)運算，研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，獲得問題的答案.

（作者單位：江蘇省如東高級中學(xué)）