探索二次根式的化簡速算方法

《二次根式》是人教版八年級第十六章的內容，內容包括二次根式的認識、二次根式的乘除和加減。在本章的學習實踐中，發現二次根式的化簡是學生學習的易錯點之一，尤其是當被開方數為分數時，學生普遍存在計算速度慢、計算易出錯、最后的結果沒有化為最簡二次根式的問題。本文中將著重探討被開方數為分數的二次根式的化簡，讓學生能更快、更輕松地掌握本章知識點。

首先，我們從直觀的角度，將被開方數為分數的二次根式的形式初步歸納如下幾種形式：1.被開方數分子為1，分母不是含完全平方因數的二次根式，例如：[12]，[15] ；2.被開方數分母為完全平方數，分子不含完全平方因數的二次根式，例如：[54]，[316]；3.被開方數分子為完全平方數，分母不含完全平方因數的二次根式，例如：[45]，[253]；4.被開方數分子分母互質且都不含完全平方因數的二次根式，例如：[23] ，[65]；5.被開放數分子、分母中都含有完全方數因數的二次根式，例如：[2750]；6.被開方數分子、分母有公因式的二次根式，例如[128]。

在下文中將使用字母a和b來代替數，并設定它們是互質并且不含有完全平方因數的數，且都大于零。另外，被開方數為可以直接開方的分數（例如[916]）的形式不在討論之列。

一、形式1：被開方數分子為1，分母不含有完全平方因數的二次根式

首先，我們來看常規的化簡方式，以[15] ，[12]，[13]為例：

[15]=[15]=[55×5]=[55]；[12]=[12] =[22×2] =[22]；[13] =[13] =[33×3]=[33]

通過觀察我們不難發現，當被開方數分子為1，分母又不含有完全平方因數時，化簡出來的形式都是[aa]的形式，因此我們可以將此類化簡歸納為：

[1a]=[aa]" （agt;0）

這樣，我們在教學中，可以引導學生對于此類二次根式進行一步到位的化簡。

二、形式2：被開方數分母為完全平方數，分子不含有完全平方數因數的二次根式

以[54] ，[316] 為例，我們來看看常規算法： [54]=[55] =[52]；[316]=[316]=[34] 。通過這兩道的化簡，我們發現，當被開方數的分母為完全平方數時，開方的結果就是分母，分子依然保留根號，因此對于這種形式的化簡可以簡單歸納為：[ba2]=[ba] （agt;0" bgt;0）。因此，當被開放數的分母為完全平方數的時候，直接將開方的結果做分母，分子保留根號。

三、形式3：被開方數的分子為完全平方數，分母不含有完全平方數因數的二次根式

以[45]為例，先來看常規化簡方法：[45]=[45]=[25]" =[255×5]=[255]，對于這種形式的化簡，可以結合[1a]=[aa]來進行化簡：[45]=[45]= 2 ×[15]= 2 ×[55]= [255]

我們發現，與分母為完全平方數的形式化簡類似，當分子為完全平方數時，開方的結果就是分子。因此，只需要把分子開方的結果作為分子，再利用 [1a]=[aa]迅速得出結果。對于這種形式的化簡，我們可以歸納為：[b2a]=[baa]（agt;0" bgt;0）。

四、形式4：被開方數的分子分母互質而且都不含有完全平方因數的二次根式

以[23]，[65]為例，首先，用常規方式進行化簡：[23] =[23]=[233×3]=[2×33]=[63]；[65]=[65]=[655×5]=[6×55] =[305]，通過觀察發現，[23]=[3×23]=[63]，[65]=[6×55]=[305]，也就是直接將分母根號去掉，分子保留根號，分子分母的乘積就是化簡之后的分子的被開方數。所以我們可以將此類化簡歸納為：[ba]=[aba]（agt;0" bgt;0）。

五、形式5：分子分母中都含有完全方數因數時，分子分母不能進行約分的二次根式

例如[2720]，結合前面的規律，我們可以將分子中的完全平方因數開方的結果做為分子，分母的完全方因數開方的結果做分母，剩下用[ba]=[aba]來計算。例如：[2720]=[32]×[35]=[32]×[3×55]=[31510]。

六、形式6：分子、分母有公因式的二次根式

例如[128]，我們可以將分子分母先約分，化簡為[32]，此時分子分母互質，再利用[ba]=[aba]進行化簡。如： [128]=[32]=[2×32]=[62]。

再如[506]，被開方數約分之后變為[253]，分子中含有完全平方數，我們將分子中的完全平方數開方的結果作為分子，再利用[1a] =[aa]進行化簡。過程如下：[506]=[253]=5×[33] =[533]。

如此，如果被開方數中的分子分母可以約分，約分后分數形式也無非是形式1到形式5。

七、結合例題綜合感受這些規律在二次根式的化簡中的運用

例一：化簡[18]，第一步：[18]=[122]" "→ 分母中含有完全平方因數，將完全平方因數開方的結果作為分母；第二步：[18]=[12]×[22]→[12] 實際就是[12]，因此可以利用[1a] =[aa]迅速得出化簡結果；第三步：[18]=[24]。此化簡中要注意，被開方數中的分子或者是分母中，無論誰含完全平方因數，都先將完全平方因數開方，并將分子中的完全平方數開方的結果作為分子，分母中的完全平方數開方的結果作為分母，剩下的就可以用以上形式1、形式2、形式3和形式4四種模式進行快速化簡。

例二：化簡[227]，首先，分母27中含有完全平方數9，直接開方的結果3作為分母，這樣根號下的被放開數就變為[23]，可以利用[ba]=[aba]（agt;0" bgt;0" "a、b互質，且都不含有完全平方因數）來進行計算。得出： [227]=[13]×[23]=[13]×[63]=[69]，通過進一步總結我們可以發現，所有被開方數為分數的二次根式的化簡，最終可以簡單歸納為如下三個要點。

（一）被開方數中的分子、分母可有公因數時先約分；約分后二次根式就有可能是形式1、2、3、4、5；

（二）約分之后，被開方數中的分子和分母含有完全平方因數時，把分子中的完全平方因數開方的結果作為分子，分母中的完全平方因數開方的結果作為分母，這樣可以完成形式2、3、5的化簡；

（三）通過前面的操作，二次根式要么是形式4或者形式1，即被開方數的分子和分母是互質且不再含有完全平方因數或者分子是1，就可以利用[ba]=[aba]來進行化簡。我們不難發現，[ba]=[aba]中包含了形式1（[1a]=[aa]）這種情況，但是在教學中，我們依然可以將[1a]=[aa]，作為一種直觀的化簡模型介紹給學生。通過實踐，我們發現在熟練掌握以上規律之后，無論處在那種層次的學生，對于被開方數為分數的二次根式的化簡，都可以做到只需要1至2步就完成，并且正確率和速度都有很大提高。