見招拆招，妙解二次函數

二次函數的研究是初中函數的收官之作。在學習本章內容時，我們要思考，本章究竟研究了哪些內容，用到了哪些重要的思想方法？從知識和內容角度看，我們學習了函數的概念，函數的圖象與性質，函數與方程、不等式的關系，函數的應用等；從思想方法的角度看，我們用到了待定系數法、配方法等常用方法，還有貫穿研究函數過程始終的函數思想、轉化思想、數形結合思想等。

新構函數，靈活運用

二次函數最重要的性質就是它的對稱性和增減性。要想學好函數，我們就要結合圖象說性質，結合函數性質畫圖象。有些幾何最值問題，需要挖掘變量之間的關系，通過設恰當的未知數，求出變量間的函數表達式，再構造新函數模型，通過配方法求出最值。

例1 如圖1，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E。求△BCD的面積最大值。

【解析】設直線BC的函數表達式為y=kx+b。

∵直線BC過點B（3，0），C（0，3），

∴[0=3k+b，3=b，]解得：[k=-1，b=3。]

∴y=-x+3。

設D（m，-m2+2m+3），E（m，-m+3），

∴DE=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2

+3m。

∴S△BCD=[12]OB·DE=[32]（-m2+3m）=[-32]m2+[92]m（0＜m＜3）。

∴S△BCD=[-32]m2+[92]m=[-32]（m[-32]）2+[278]。

∵[-32]＜0，

∴當m=[32]時，S有最大值，最大值

為[278]。

【點評】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是掌握待定系數法，學會構建二次函數并利用配方法來求最值問題。

分類討論，嚴謹作答

在二次函數問題中，我們最常見的是與勾股定理、三角函數、相似三角形等知識點相結合的函數幾何綜合題。解決這類問題的關鍵是要善于將函數問題轉化為方程問題，并注意挖掘題目中的一些隱含條件。

例2 如圖2，二次函數y=x2-2x-3的頂點為P，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C。D是線段BP上的一個動點，過點D作DE⊥x軸于點E，E點的坐標為（a，0）。問：在BP上是否存在點D，使△DCE為直角三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】先求出點C的坐標（0，-3），點P的坐標（1，-4），直線PB表達式y=2x-6，再利用勾股定理表示出CE2=a2+9，DE2=4a2-24a+36，CD2=5a2-12a+9。因為題中并未給出哪個角是直角，所以我們需要分類討論：

①當∠DCE=90°時，則CE2+CD2=DE2，∴a2+9+5a2-12a+9=4a2-24a+36。解得a=-3+[32]或a=-3-[32]（舍去），∴點D的坐標為（-3+[32]，[62]-12）；

②當∠CDE=90°時，則CE2=CD2+DE2，∴5a2-12a+9+4a2-24a+36=a2+9，2a2

-9a+9=0。解得a=[32]或a=3（舍去）?！帱cD的坐標為（[32]，-3）。

綜上所述，點D的坐標為（-3+[32]，[62]-12）或（[32]，-3）。

【點評】本題主要考查了二次函數、一次函數與幾何綜合，運用分類討論思想是解答本題的關鍵。

我們在學習二次函數時，面對問題的變化，要能夠將知識遷移、融合，把“數”與“形”互相滲透，在變化中提升靈活轉化的能力，用好函數與方程思想。這樣，我們就能在學習二次函數的道路上走得更穩、學得更好。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區梅村實驗中學）