立足基本關(guān)系，尋“變”中之“不變”

二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，我們可以通過二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系判斷相應(yīng)的一元二次方程根的情況，揭示其根的幾何意義，也可以通過求解一元二次方程的根，得到二次函數(shù)圖象與x軸的交點。在實際運(yùn)用中，許多問題常常基于以上基本關(guān)系進(jìn)行拓展、變式，下面我們一起來看看如何尋找“變”中之“不變”。

例題 二次函數(shù)y=mx2+2mx+c（m、c是常數(shù)且m≠0）的圖象過點A（3，0），則方程mx2+2mx+c=0的根為 。

【分析】二次函數(shù)y=mx2+2mx+c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程mx2+2mx+c=0的根，故x=3是該方程的一個根。根據(jù)二次函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸的對稱性，可以求出圖象與x軸的另一個交點，也就求出方程的另一個根了。

解：∵函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=[-2m2m]=-1，且圖象與x軸的一個交點為（3，0），∴圖象與x軸的另一個交點為（-5，0）。∴關(guān)于x的一元二次方程mx2+2mx+c=0的根為x1=3，x2=-5。

變“0”為“非零常數(shù)”

拓展1 若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的兩根，且0＜a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是 。

【分析】可以將a、b看成方程（x-a）（x

-b）=0的兩根，m、n看成方程（x-a）（x-b）=

1的兩根。類比a、b是二次函數(shù)y=（x-a）（x

-b）的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，m、n則是二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）的圖象與直線y=1的兩個交點的橫坐標(biāo)，依題意畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）圖象的草圖，可根據(jù)圖象求解。

解：依題意，如圖1，畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）的大致圖象。∵m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的兩根，∴m、n是二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）的圖象與直線y=1的兩個交點的橫坐標(biāo)，如圖1所示。由圖1可知，m＜a＜b＜n。

變“等式”為“不等式”

拓展2 如圖2，直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）交于A（-1，p）、B（4，q）兩點。則關(guān)于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（ ）。

A.x＞-1 B.x＞4

C.-1＜x＜4 D.x＜-1或x＞4

【分析】從圖象上看，不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是y=mx+n的圖象（直線）位于y=ax2+bx+c（a＜0）的圖象（拋物線）上方部分對應(yīng)的自變量x的取值，故借助圖象就能“讀”出相應(yīng)不等式的解集。觀察圖2，當(dāng)x＜-1或x＞4時，直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c的上方，所以原不等式的解集為x＜-1或x＞4。故選D。

變“確定關(guān)系”為“不確定關(guān)系”

拓展3 新定義：對于三個數(shù)a、b、c，我們用max｛a，b，c｝表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，如max｛-1，0，2｝=2。若直線y=[-12]x+b與函數(shù)y=max｛x+1，3-x，-x2+2x+3｝的圖象有且只有兩個交點，則b的取值范圍為 。

【分析】根據(jù)新定義，我們不能確定三個數(shù)中哪個最大，故不能確定新函數(shù)的表達(dá)式。本題若采用代數(shù)方法，會涉及復(fù)雜的分類討論。通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)，新函數(shù)的圖象是確定的（如圖3），所以可以利用數(shù)形結(jié)合來解決。根據(jù)b的不同取值，直線上下平移，其在l1和l2之間（不包含l1、l2）以及在l3上方（不包含l3）的位置時滿足條件。

解：依題意，畫出函數(shù)y=max｛x+1，3-x，-x2+2x+3｝的圖象，如圖3。

若直線y=[-12]x+b經(jīng)過（0，3），得b=3；若直線y=[-12]x+b經(jīng)過（2，3），得b=4。若直線y=[-12]x+b與拋物線有且只有1個交點，即處于l3的位置時，方程[-12]x+b=-x2

+2x+3有兩個相等的實數(shù)根，即Δ=0，解得b=[7316]。故答案為：3＜b＜4或b＞[7316]。

【總結(jié)歸納】基于二次函數(shù)與一元二次方程的基本關(guān)系，我們借助圖形直觀，可以很容易搭建起溝通方程、不等式、函數(shù)三大數(shù)學(xué)模型的橋梁。

（作者單位：江蘇省無錫市僑誼實驗中學(xué)）