理考點 明思路 促提高

二次函數是初中數學核心知識板塊之一。縱觀各地中考，其關于二次函數的考查方式比較靈活，一方面強調基礎，重視實用性；另一方面將二次函數與三角形、四邊形、圓、方程、不等式等知識結合，考查同學們解決綜合問題的能力。下面結合各地的中考題，對二次函數的考點進行歸類與分析。

二次函數的圖象及其性質

例1 （2023·江蘇揚州）已知二次函數y=ax2-2x+[12]（a為常數且a＞0），下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數圖象一定不經過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減??；④當x＞0時，y隨x的增大而增大。其中所有正確結論的序號是（ ）。

A.①② B.②③ C.② D.③④

【解析】我們要熟練掌握二次函數的圖象及其性質。a＞0時，拋物線開口向上，對稱軸為直線x=[1a]＞0，當x＜0時，y隨x的增大而減小。當x＞[1a]時，y隨x的增大而增大，且函數與y軸交于點（0，[12]）。所以函數圖象一定不經過第三象限，可能經過第一、二、四象限。故選B。

二次函數的表達式

例2 （2024·浙江）已知二次函數y=x2+bx+c（b、c為常數）的圖象經過點A

（-2，5），對稱軸為直線x=[-12]。（1）求二次函數的表達式；（2）若點B（1，7）向上平移2個單位長度，向左平移m（m＞0）個單位長度后，恰好落在y=x2+bx+c的圖象上，求m的值；（3）當-2≤x≤n時，二次函數y=x2+bx+c的最大值與最小值的差為[94]，求n的取值范圍。

【解析】準確求出二次函數的表達式一般是解決二次函數問題的第一步。我們需仔細審題，根據已知條件，靈活選用適當的表達式（一般式、頂點式、交點式）。（1）由對稱軸x=[-b2]，得b=1。又∵函數圖象過點A（-2，5），得c=3。（2）由題意，點B（1，7）向上平移2個單位長度，向左平移m個單位長度（m＞0）后為（1-m，9），又在y=x2+x+3的圖象上，∴9=（1-m）2

+（1-m）+3?！鄊=4或m=-1（舍去）。（3）根據（1）的表達式，可得最小值為[114]，由條件可得最大值為5，而當x=-2或1時，y=5，解決本題的關鍵點在于分三種情況討論，即n＜[-12]、[-12]≤n≤1和n＞1，結合圖象可得[-12]≤n≤1。

二次函數綜合問題

例3 （2023·江蘇無錫）二次函數y=a（x-1）（x-5）（a＞[12]）的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，過點M（3，1）的直線將△ABC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則a的值為 。

【解析】本題是一道難度很大的壓軸題，綜合考查二次函數、三角形、相似形等知識，解題的第一個突破口在于先根據已知條件判定點M必在△ABC內部。由條件“直線將△ABC分成兩部分”，可知當分成兩個三角形時，直線必過三角形的一個頂點，因為平分面積，則過點M的直線必為中線；當分成三角形和梯形時，過點M的直線必與△ABC的一邊平行，則必有“A”型相似且相似比為1∶[2]。再畫出圖形分別求解即可。

與二次函數有關的新題型

例4 （2024·上海）對于一個二次函數y=a（x-m）2+k（a≠0）中存在一點P（x′，y′），使得x′-m=y′-k≠0，則稱2[x′-m]為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=[-12]x2+[13]x+3的“開口大小”為 。

【解析】新定義是中考的熱點題型，解題關鍵是理解“新定義”，仔細讀題，收集并處理題中的重要信息，學會類比學過的相關知識解決問題?！邟佄锞€

y=[-12]x2+[13]x+3=[-12]（x[-13]）2+[5518]，∴x′[-13]=

[-12]（x′[-13]）2+[5518][-5518]，解得x'[-13]=-2。∴拋物線y=[-12]x2+[13]x+3的“開口大小”為2[x'-13]=4。

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學）