基于BOPPPS教學模式培養數學思維的高等數學教學設計

摘要：文章以高等數學中的導數概念為例，探究基于BOPPPS教學模式的教學設計，以學生為中心，引導學生通過生活實例理解導數概念產生的背景，同時以簡單到復雜、陌生到熟悉的數學思維與分析特例的基本科學分析方法，由實際問題（教師引導）—數學問題（自主分析）—數學模型（自主分析與教師點撥）知識層層升階，通過BOPPPS教學模式，從知識、能力、素養三個方面實現導數概念教學目標的達成度。

關鍵詞：導數概念；BOPPPS教學模式；教學思維

一、研究背景

通過高等數學課程教學，教師可以培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力；培養學生熟練的運算能力和綜合運用所學知識分析和解決問題的實踐應用能力；培養學生學會建立數學模型，具備用數學方法解釋自然規律的科學思維。但高等數學涉及的概念、定理、公式、結論較多，要求學生具備嚴密的邏輯思維能力，因此高等數學課程教學研究很有必要。

第一﹐高等數學授課內容繁多且知識的應用背景比較陳舊，學生在有限的時間內須掌握的知識較多，且所學知識與實際生活幾乎脫節。第二，教師大多按照“定義—定理—證明—推論—例題—練習”的套路授課，授課模式單一，缺乏精心設計，學生難以集中注意力，且終結性評價“重結果、輕過程，重知識、輕能力”，強調通過考試評價學生的學習效果，不利于調動學生學習的積極性。第三，學生被動接受知識，很難真正參與學習，自主學習能力弱，同時師生之間、生生之間缺乏互動交流與思維的碰撞。為有效解決高等數學教學中存在的問題，教師要在教學中改進教學模式。

二、BOPPPS教學模式

BOPPPS教學模式將課程流程分解為六個部分：導言、學習目標、前測、參與式學習、后測、總結，以六個環節的英文首字母命名，各部分之間環環相扣。BOPPPS教學模式的教學框架如下。首先，引出教學內容，作為課堂的開端，引入方式新穎有趣，激發學生的學習興趣，并明確學習目標，掌握學習方向。其次，基于前測，診斷評價，了解學生的知識基礎，做到因材施教，并及時調整教學計劃。在教學中，學生處于主體地位。在該環節中，教師通過設置教學活動促進師生之間、生生之間進行互動。最后，檢測學習效果，有效評價教學過程，并系統概括知識點，厘清學習框架。

BOPPPS教學模式六個環節之間緊密聯系，其完整的教學框架為教師的教學過程作出了指導，使教師的教學設計具有較強的針對性和實用性。BOPPPS教學模式在教學方法上以學生為中心，要求學生主動參與學習，并及時獲得學生的反饋信息，調整后續教學環節，促進教學目標的順利達成，培養學生的自主學習能力。

三、基于BOPPPS教學模式的導數概念教學設計

導數概念是高等數學的基礎性內容，之前學生已學習函數極限等相關內容，之后將學習偏導數等相關內容，因此導數概念在高等數學這門課程中起著承上啟下的作用。同時，學生對導數的掌握程度對后期專業課程的學習也具有重要的影響。因此，導數概念不僅是學生理解、掌握微分和不定積分內容的基礎，還為學好后期數學課和專業課的重要鋪墊，更是學生今后繼續深造的重要基礎。

（一）BOPPPS——B（導言）

教師創設情境，采用案例式教學方式，播放關于我國高鐵的短視頻：短片中飛馳的高鐵是我國創新能力的標志，也是我國向世界遞出的一張名片。中國高鐵快且穩，如何從數學的角度來研究高鐵的快與穩？教師可以提出具體的數學問題。問題一：高鐵在運行的過程中，電子屏清晰地顯示了高鐵在變速行駛過程中每個時刻的速度，如何求解某時刻的速度？問題二：當高鐵駛入彎道時，為保持高鐵的平穩運行，彎道的設計會涉及曲線的彎曲程度，如何求解切線斜率？通過上述兩個問題，教師引出本節的教學內容：導數概念。

（二）BOPPPS——O（目標）

教師給出本節課的教學目標：第一，掌握函數的導數定義；第二，會求函數在某一點的導數；第三，理解導數的思想與方法。通過以上階段性小目標的達成，最終幫助學生實現學以致用的目的。

（三）BOPPPS——P（前測）

課前，教師要求學生復習預備知識：極限的基本概念、基本思想與計算，并在學習通發布導數概念課前測試，檢測學生對預備知識的掌握情況。

（四）BOPPPS——P（參與式學習）

首先，教師提出問題：變速直線運動的瞬時速度，即設質點運動位置的函數為s=f（t），求t0時刻的瞬時速度。

教師解析問題，引導學生將復雜問題轉化為簡單問題，將求解瞬時速度轉化成求解某時間段內的平均速度。通過師生互動，解決簡單問題后，還需要想辦法從簡單問題的解得出原復雜問題的解，這是本節的難點。為便于學生理解，教師通過動畫仿真，讓學生觀察隨著t無限趨近于t0，平均速度無限趨近于瞬時速度。通過對平均速度表達式取t趨近于t0的極限，便可得到t0時刻的瞬時速度。

其次，教師提出問題：平面曲線的切線斜率，即設曲線C：y=f（x），求它在M（x0，f（x0））點處的切線MT斜率k。

對于此問題，教師采用小組合作教學方法，要求學生小組討論：參考第一個問題，以小組形式討論第二個問題，并將討論結果提交至學習通。通過小組合作，教師引導，學生討論得到切線斜率的求解結果。

以小組討論形式，能發揮學生的主體作用，提高學生自主探究、合作學習和溝通能力。不僅如此，學生以小組合作學習的方式完成教師安排的任務，能實現“知識、能力、素質”三位一體的教學目標。

通過求解瞬時速度與切線斜率，教師引出這兩個問題涉及的理論早在17世紀便由英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在研究力學和幾何學中已經建立起來了，由此使得微積分得以迅速發展，這兩位偉大的數學家被稱為微積分的創始人。教師結合數學文化開展課程思政，融入數學史和數學家故事，通過介紹數學家的科學精神，不僅可以使學生了解更多數學發展史，向學生展示數學文化史與數學發展的關系，而且能促進素質文化教育與人文素質教育的結合。

最后，教師順著數學家的生平事跡，一起探索導數的奧秘：通過讓學生觀察瞬時速度與切線斜率表達式的共性“差商的極限”，將具體問題抽象化，總結得到函數在某一點處導數的定義；通過歸納抽象得到導數定義，引導學生用理論指導實踐，進一步借助導數的定義給出導數的物理意義與幾何意義；通過引導學生探究導數的意義，讓學生更加直觀地了解導數。

（五）BOPPPS——P（后測）

教師為鞏固學生對導數定義的掌握，在學習通平臺設置后測問題，檢測學生對導數定義的掌握情況，并根據學生對知識點的掌握情況進行適當補充與講解。

強化練習1：設高鐵在運行過程中，其路程與時間的關系為S=2t2+30t-40，求高鐵在t=10s時的瞬時速度。

考查要點：通過分析，根據導數的物理意義，將求高鐵在t=10s時的瞬時速度轉化成函數在t=10的導數。

強化練習2：過山車是一種富有刺激性的娛樂項目，那種風馳電掣、有驚無險的快感讓不少人著迷，但設計者必須保證過山車的安全問題。假設其中一段軌道近似滿足函數y=f（x）=x4-1.5x2+5，其區間為[0，2]，該軌道在處的陡峭程度是多少？

考查要點：培養學生數學建模的能力，將實際問題轉化為數學問題并求解。通過分析，根據導數的幾何意義，將求軌道在x=1處的陡峭程度轉化成函數在x=1的導數。

（六）BOPPPS——S（總結）

通過學習，學生初步認識什么是導數，導數是如何計算的。在導數概念教學過程中，教師要有意識地引導學生轉變思維，以學生既有知識為基礎，喚醒學生的知識記憶，并進行相應拓展和提高，幫助他們全面認識、理解所學內容，學會應用導數解決相應問題。

本節課通過鏈接舊知——極限思想，由平均速度得到瞬時速度，由割線斜率得到切線斜率，將平均速度與割線斜率抽象得到平均變化率，對平均變化率取極限便得到變化率，由此得出本節課的核心內容：導數概念。教師通過建構知識結構，加工整理數學概念，幫助學生深入理解數學知識。教師和學生共同給出導數概念的思維導圖，通過思維導圖讓學生建立知識點之間的關聯，進一步從知識、能力、素養三個方面，檢驗導數概念的教學目標是否達成，最后通過布置線下作業與線上作業引導學生自主學習，鞏固導數概念。導數概念思維導圖如圖1所示。

四、結論

教師基于BOPPPS教學模式講解導數概念，能讓學生在導數概念的學習過程中充分發揮主觀能動性和主體作用。學生在課前和課后通過小組合作的方式，依托網絡教學平臺的數字資源、教學公眾號和數學軟件形成教學閉環，環環相扣，實現自主學習、互助學習、思想碰撞，隨時隨地、多維度地學習、交流，以較好地解決本節內容的重點和難點。

例如，教師可以通過“中國高鐵快又穩”的案例，激發學生內心的民族自豪感和愛國熱情；通過圖片－動畫－仿真對導數的重點和難點內容進行分析，構建學生的空間感；通過教材與文獻對導數的不同分析，促進學生辯證思維與質疑精神的養成；通過“中國速度——高鐵快又穩”引出瞬時速度與切線斜率以及過山車的陡峭程度，引導學生運用數學的思維方式觀察、分析、解決日常生活的問題。

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基金項目：茅臺學院2023年度教育教學研究與改革項目“基于學生中心理念的‘BOPPPS+學習通’混合式教學模式改革研究”，項目編號：2023001。

（作者單位：茅臺學院）